第二學(xué)期《線性代數(shù)》期終考試試卷 B卷

復(fù)旦大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院2011-2012學(xué)年第二學(xué)期線性代數(shù)期終考試試卷B卷 共 9頁(yè)課程代碼：COMP120004.02考試形式：開(kāi)卷 閉卷2012年 9月（本試卷答卷時(shí)間為120分鐘，答案必須寫(xiě)在試卷上，做在草稿紙上無(wú)效）專(zhuān)業(yè)學(xué)號(hào)姓名成績(jī) 題號(hào)一二三四五六七八九十總分得分一、 名詞解釋?zhuān)?0%）1. 矩陣的秩2. 齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系3. 線性空間的維數(shù)4. 分別寫(xiě)出非齊次方程組的解存在與齊次方程組的解存在的充分必要條件5. 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形二、 選擇題（10%）1. 在階行列式中將第行第列的元素乘以，其值變?yōu)?。A. B. C. D. 2. 改變一個(gè)階行列式的每一個(gè)元素為原來(lái)的一半，其值將變?yōu)?。A. B. C. D. 3. 假設(shè)都為階矩陣，為正整數(shù)，下列正確的是 。A. 若，則B. C. D. 4. 假設(shè)，其中為階矩陣，為階矩陣，則 。A. B. C. D. 5. 階實(shí)反對(duì)稱(chēng)矩陣的全體按矩陣通常的加法與數(shù)乘構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間，此空間的維數(shù)為 。A. B. C. D. 三、 填空題（10%）1. 在階行列式中位于某行，某列交叉點(diǎn)的個(gè)元素全為0，且，則 。2. 假設(shè)是矩陣，則齊次方程組只有零解的充要條件是 ；有非零解的充要條件是 。3. 假設(shè)矩陣，是矩陣的伴隨矩陣，= 。4. 假設(shè)是四階矩陣，它的特征值分別是1，-1，2，-2。則行列式= 。5. 假設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，其中是奇數(shù)。且，生成子空間的維數(shù)為 。四、 是非題（10%）1. 假設(shè)是矩陣，對(duì)于非齊次線性方程組，有，則此方程必相容。【 】2. 假設(shè)是矩陣，其秩為，則中必定存在一個(gè)階子式不為零。 【 】3. 假設(shè)是矩陣，它的個(gè)行向量線性相關(guān)，則它的個(gè)列向量也線性相關(guān)?！?】4. 假設(shè)為實(shí)數(shù)域，為復(fù)數(shù)域，則是復(fù)數(shù)域上的線性空間。 【 】5. 假設(shè)都是階對(duì)稱(chēng)矩陣，且，則與相似。 【 】五、 行列式計(jì)算（10%）1. 行列式 六、 計(jì)算逆陣（10%）1. 七、 計(jì)算非齊次方程組的通解(10%)：1. 八、 計(jì)算題（10%）1. 已知線性空間的向量組：，（1）計(jì)算子空間的維數(shù)和一個(gè)基；（2）確定在這個(gè)基下的坐標(biāo)；（3）向量是否屬于子空間。九、 證明題（20%）1. 假設(shè)是階矩陣，試證: (1) 矩陣可以分解成實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣與實(shí)反對(duì)稱(chēng)矩陣之和； (2) 若，其中是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，是實(shí)反對(duì)稱(chēng)矩陣，而且，則。2. 設(shè)是數(shù)域上的維線性空間，是空間上的線性變換，在數(shù)域上有個(gè)不同的特征值，證明：（1）的特征向量都是的特征向量的充要條件是；（2）若，則是的線性表示，其中表示上的恒等變換。