第二學期《線性代數(shù)》期終考試試卷 B卷

復旦大學計算機科學技術(shù)學院2011-2012學年第二學期線性代數(shù)期終考試試卷B卷 共 9頁課程代碼：COMP120004.02考試形式：開卷 閉卷2012年 9月（本試卷答卷時間為120分鐘，答案必須寫在試卷上，做在草稿紙上無效）專業(yè)學號姓名成績 題號一二三四五六七八九十總分得分一、 名詞解釋（10%）1. 矩陣的秩2. 齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系3. 線性空間的維數(shù)4. 分別寫出非齊次方程組的解存在與齊次方程組的解存在的充分必要條件5. 二次型的標準形與規(guī)范形二、 選擇題（10%）1. 在階行列式中將第行第列的元素乘以，其值變?yōu)?。A. B. C. D. 2. 改變一個階行列式的每一個元素為原來的一半，其值將變?yōu)?。A. B. C. D. 3. 假設(shè)都為階矩陣，為正整數(shù)，下列正確的是 。A. 若，則B. C. D. 4. 假設(shè)，其中為階矩陣，為階矩陣，則 。A. B. C. D. 5. 階實反對稱矩陣的全體按矩陣通常的加法與數(shù)乘構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間，此空間的維數(shù)為 。A. B. C. D. 三、 填空題（10%）1. 在階行列式中位于某行，某列交叉點的個元素全為0，且，則 。2. 假設(shè)是矩陣，則齊次方程組只有零解的充要條件是 ；有非零解的充要條件是 。3. 假設(shè)矩陣，是矩陣的伴隨矩陣，= 。4. 假設(shè)是四階矩陣，它的特征值分別是1，-1，2，-2。則行列式= 。5. 假設(shè)向量組線性無關(guān)，其中是奇數(shù)。且，生成子空間的維數(shù)為 。四、 是非題（10%）1. 假設(shè)是矩陣，對于非齊次線性方程組，有，則此方程必相容?！?】2. 假設(shè)是矩陣，其秩為，則中必定存在一個階子式不為零。 【 】3. 假設(shè)是矩陣，它的個行向量線性相關(guān)，則它的個列向量也線性相關(guān)。【 】4. 假設(shè)為實數(shù)域，為復數(shù)域，則是復數(shù)域上的線性空間。 【 】5. 假設(shè)都是階對稱矩陣，且，則與相似。 【 】五、 行列式計算（10%）1. 行列式 六、 計算逆陣（10%）1. 七、 計算非齊次方程組的通解(10%)：1. 八、 計算題（10%）1. 已知線性空間的向量組：，（1）計算子空間的維數(shù)和一個基；（2）確定在這個基下的坐標；（3）向量是否屬于子空間。九、 證明題（20%）1. 假設(shè)是階矩陣，試證: (1) 矩陣可以分解成實對稱矩陣與實反對稱矩陣之和； (2) 若，其中是實對稱矩陣，是實反對稱矩陣，而且，則。2. 設(shè)是數(shù)域上的維線性空間，是空間上的線性變換，在數(shù)域上有個不同的特征值，證明：（1）的特征向量都是的特征向量的充要條件是；（2）若，則是的線性表示，其中表示上的恒等變換。