高中數(shù)學(xué) 精講優(yōu)練課型 第三章 函數(shù)的應(yīng)用 3.2.2 函數(shù)模型的應(yīng)用舉例 第2課時 指數(shù)型、對數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用舉例課件 新人教版必修1.ppt

第2課時指數(shù)型 對數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用舉例 知識提煉 1 指數(shù)函數(shù)模型 1 表達(dá)形式 f x 2 條件 a b c為常數(shù) a 0 b 0 b 1 2 對數(shù)函數(shù)模型 1 表達(dá)形式 f x 2 條件 m n a為常數(shù) m 0 a 0 a 1 abx c mlogax n 即時小測 1 思考下列問題 1 依據(jù)散點(diǎn)圖選擇函數(shù)模型時主要依據(jù)函數(shù)的什么性質(zhì) 提示 主要依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)值增長速度的快慢 2 數(shù)據(jù)擬合時 得到的函數(shù)為什么需要檢驗 提示 因為根據(jù)已給的數(shù)據(jù) 作出散點(diǎn)圖 根據(jù)散點(diǎn)圖選擇我們比較熟悉的 最簡單的函數(shù)進(jìn)行擬合 但用得到的函數(shù)進(jìn)行估計時 可能誤差較大或不切合客觀實(shí)際 此時就要再改選其他函數(shù)模型 2 某種放射性元素的原子數(shù)y隨時間x的變化規(guī)律是y 1024e 5x 則 a 該函數(shù)是增函數(shù)b 該函數(shù)是減函數(shù)c x d 當(dāng)x 0時 y 1 解析 選b 顯然該函數(shù)是減函數(shù) b正確 c d變形或求值錯誤 3 某電子產(chǎn)品的價格為a元 降價10 后 又降價10 銷售量猛增 該公司決定再提價20 提價后這種電子產(chǎn)品的價格為 a 0 972元b 0 972a元c 0 96元d 0 96a元 解析 選b a 1 10 2 1 20 0 972a 4 已知函數(shù)f x 定義在 0 上 測得f x 的一組函數(shù)值如表 試在函數(shù)y y x y x2 y 2x 1 y lnx 1中選擇一個函數(shù)來描述 則這個函數(shù)應(yīng)該是 解析 通過表中數(shù)值 畫出散點(diǎn)圖 可判斷此圖象增長的比較緩慢 更符合y lnx 1來描述 答案 y lnx 1 知識探究 知識點(diǎn)指數(shù)型 對數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用舉例觀察如圖所示內(nèi)容 回答下列問題 問題1 應(yīng)按照怎樣的步驟解應(yīng)用題 問題2 根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)的特點(diǎn)如何建立擬合函數(shù)模型 總結(jié)提升 1 解函數(shù)模型確定的應(yīng)用題的基本步驟 1 審題 弄清題意 分清條件和結(jié)論 理順數(shù)量關(guān)系 初步選擇模型 2 建模 將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言 將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言 利用數(shù)學(xué)知識 建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型 3 求模 求解數(shù)學(xué)模型 得出數(shù)學(xué)模型 4 還原 將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問題的意義 2 擬合函數(shù)模型的應(yīng)用題的解題步驟 1 作圖 即根據(jù)已知數(shù)據(jù) 畫出散點(diǎn)圖 2 選擇函數(shù)模型 一般是根據(jù)散點(diǎn)圖的特征 聯(lián)想哪些函數(shù)具有類似的圖象特征 找?guī)讉€比較接近的函數(shù)模型嘗試 3 求出函數(shù)模型 求出 2 中找到的幾個函數(shù)模型的解析式 4 檢驗 將 3 中求出的幾個函數(shù)模型進(jìn)行比較 驗證 得出最適合的函數(shù)模型 題型探究 類型一指數(shù)函數(shù)模型 典例 1 2015 懷柔高一檢測 某企業(yè)生產(chǎn)總值的月平均增長率為p 則年 1年為12個月 平均增長率為 2 2015 漢沽高一檢測 醫(yī)學(xué)上為研究傳染病傳播中病毒細(xì)胞的發(fā)展規(guī)律及其預(yù)防 將病毒細(xì)胞注入一只小白鼠體內(nèi)進(jìn)行試驗 經(jīng)檢測 病毒細(xì)胞的個數(shù)與天數(shù)的記錄如下表 已知該病毒細(xì)胞在小白鼠體內(nèi)的個數(shù)超過108的時候?qū)⑺劳?但注射某種藥物 可殺死其體內(nèi)該病毒細(xì)胞的98 1 為了使小白鼠在試驗過程中不死亡 第一次最遲應(yīng)在何時注射該種藥物 精確到天 lg2 0 3010 2 第二次最遲應(yīng)在何時注射該種藥物 才能維持小白鼠的生命 精確到天 解題探究 1 典例1中12月底的生產(chǎn)總值是多少 提示 設(shè)原來的生產(chǎn)總值為a 則12月底的生產(chǎn)總值為a 1 p 12 2 典例2中屬于哪方面的數(shù)學(xué)問題 應(yīng)首先建立哪兩個量之間的關(guān)系 提示 這個問題屬于增長率問題 首先建立病毒細(xì)胞的個數(shù)與天數(shù)之間的關(guān)系式 然后通過研究函數(shù)關(guān)系式對問題作出解答 解析 1 設(shè)原來的生產(chǎn)總值為a 則12月底的生產(chǎn)總值為a 1 p 12 故年平均增長率為 1 p 12 1 答案 1 p 12 1 2 1 由題意知第一次注射藥物前病毒細(xì)胞的個數(shù)y關(guān)于天數(shù)n n n 的函數(shù)關(guān)系式為y 2n 1 n n 為了使小白鼠在試驗過程中不死亡 則2n 1 108 兩邊取對數(shù) 解得n 27 即第一次最遲應(yīng)在第27天注射該種藥物 2 由題意知第一次注射藥物后小白鼠體內(nèi)剩余的病毒細(xì)胞個數(shù)為226 2 再經(jīng)過x天后小白鼠體內(nèi)的病毒細(xì)胞個數(shù)為226 2 2x 由題意226 2 2x 108 兩邊取對數(shù)得26lg2 lg2 2 xlg2 8 解得x 6 即再經(jīng)過6天必須注射藥物 即第二次最遲應(yīng)在第33天注射藥物 方法技巧 解決有關(guān)增長率問題的關(guān)鍵和措施 1 解決這類問題的關(guān)鍵是理解增長 衰減 率的意義 增長 衰減 率是所研究的對象在 單位時間 內(nèi)比它在 前單位時間 內(nèi)的增長 衰減 率 切記并不總是只和開始單位時間內(nèi)的比較 2 具體分析問題時 應(yīng)嚴(yán)格計算并寫出前3 4個單位時間的具體值 通過觀察 歸納出規(guī)律后 再概括為數(shù)學(xué)問題 最后求解數(shù)學(xué)問題即可 變式訓(xùn)練 光線每透過1塊玻璃 其強(qiáng)度就要減弱 要使光線的強(qiáng)度減弱到原來的以下 則至少要透過塊這樣的玻璃 解析 設(shè)剛開始的光線強(qiáng)度為1 則透過1塊這樣的玻璃后 光線強(qiáng)度為1 透過2塊這樣的玻璃后 光線強(qiáng)度為透過3塊這樣的玻璃后 光線強(qiáng)度為則透過n塊這樣的玻璃后 光線強(qiáng)度為令 即0 9n n 10 4 故至少要透過11塊這樣的玻璃 才能使光線的強(qiáng)度減弱到原來的以下 答案 11 類型二對數(shù)函數(shù)模型 典例 2015 濟(jì)寧高一檢測 大西洋鮭魚每年都要逆流而上 游回產(chǎn)地產(chǎn)卵 經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速可以表示為函數(shù)v log3 單位是m s 是表示魚的耗氧量的單位數(shù) 1 當(dāng)一條鮭魚的耗氧量是900個單位時 它的游速是多少 2 某條鮭魚想把游速提高1m s 那么它的耗氧量的單位數(shù)是原來的多少倍 解題探究 典例 2 中 游速提高1m s 的含義是什么 提示 游速提高1m s實(shí)質(zhì)是v2 v1 1 解析 1 由v 可知 當(dāng) 900時 2 由v2 v1 1 即所以耗氧量為原來的9倍 延伸探究 1 改變問法 在典例中若條件不變 求解的問題改為 當(dāng)一條鮭魚的耗氧量是8100個單位時 它的游速是多少 解析 將 8100代入函數(shù)關(guān)系式 得v log381 4 2 所以一條鮭魚的耗氧量是8100個單位時 它的游速是2m s 2 改變問法 在典例中若條件不變 計算一條鮭魚靜止時耗氧量的單位數(shù) 解析 令v 0 得則 100 所以一條鮭魚靜止時耗氧量為100個單位 方法技巧 對數(shù)函數(shù)應(yīng)用題的解題思路有關(guān)對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用題一般都會給出函數(shù)關(guān)系式 要求根據(jù)實(shí)際情況求出函數(shù)關(guān)系式中的參數(shù) 或給出具體情境 從中提煉出數(shù)據(jù) 代入關(guān)系式求值 然后根據(jù)值回答其實(shí)際意義 補(bǔ)償訓(xùn)練 1 衡量地震級數(shù)的 里氏 是指地震強(qiáng)度 即地震時震源釋放的能量 的常用對數(shù)值 顯然里氏級別越高 地震的強(qiáng)度也就越大 如日本1923年的地震是里氏8 9級 美國舊金山1906年的地震是里氏8 3級 試計算一下 日本1923年的地震強(qiáng)度是美國舊金山1906年的地震強(qiáng)度的多少倍 解析 設(shè)日本1923年的地震強(qiáng)度為x 美國舊金山1906年的地震強(qiáng)度為y 則8 9 lgx 8 3 lgy 所以x 108 9 y 108 3 所以 100 6 4 即日本1923年的地震強(qiáng)度約是美國舊金山1906年的地震強(qiáng)度的4倍 2 2015 臨汾高一檢測 我們知道 人們對聲音有不同的感覺 這與它的強(qiáng)度有關(guān)系 聲音的強(qiáng)度i用瓦 米2 w m2 表示 但在實(shí)際測量時 常用聲音的強(qiáng)度水平li表示 它們滿足以下公式 li 10 lg 單位為分貝 li 0 其中i0 1 10 12w m2 這是人們平均能聽到的最小強(qiáng)度 是聽覺的開端 回答以下問題 1 樹葉沙沙聲的強(qiáng)度是1 10 12w m2 耳語的強(qiáng)度是1 10 10w m2 恬靜的無線電廣播的強(qiáng)度是1 10 8w m2 試分別求出它們的強(qiáng)度水平 2 某一新建的安靜小區(qū)規(guī)定 小區(qū)內(nèi)公共場所的聲音的強(qiáng)度水平必須保持在50分貝以下 試求聲音強(qiáng)度i的范圍為多少 解題指南 1 代入公式li 10 lg即可求解 2 列出li滿足的條件 解不等式 解析 1 由題意可知 樹葉沙沙聲的強(qiáng)度是i1 1 10 12w m2 則 1 所以 10lg1 0 即樹葉沙沙聲的強(qiáng)度水平為0分貝 耳語的強(qiáng)度是i2 1 10 10w m2 則 102 所以 10lg102 20 即耳語的強(qiáng)度水平為20分貝 恬靜的無線電廣播的強(qiáng)度是i3 1 10 8w m2 則 104 所以 10lg104 40 即恬靜的無線電廣播的強(qiáng)度水平為40分貝 2 由題意知 0 li 50 即0 10lg 50 所以 1 105 即10 12 i 10 7 所以新建的安靜小區(qū)的聲音強(qiáng)度i大于或等于10 12w m2 同時應(yīng)小于10 7w m2 延伸探究 1 在本題條件下 若某電子音樂播放器發(fā)出的音樂強(qiáng)度水平為60分貝 試求該電子播放器的強(qiáng)度 解析 由10 lg 60 即lg 6 所以 106 即i 106 1 10 12 1 10 6w m2 2 若安靜小區(qū)為了進(jìn)一步提高居民的生活居住環(huán)境 規(guī)定小區(qū)內(nèi)公共場所的聲音的強(qiáng)度水平必須保持在40分貝以下 試求聲音強(qiáng)度i的范圍為多少 解析 由題意知 0 li 40 即0 10lg 40 所以 1 104 即10 12 i 10 8 所以新建的安靜小區(qū)的聲音強(qiáng)度i大于或等于10 12w m2 同時應(yīng)小于10 8w m2 類型三建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問題 典例 1 下列函數(shù)關(guān)系中 可以看作是指數(shù)型函數(shù)y kax k r a 0且a 1 模型的是 a 豎直向上發(fā)射的信號彈 從發(fā)射到落回地面 信號彈的高度與時間的關(guān)系 不計空氣阻力 b 我國人口年自然增長率為1 這樣我國人口總數(shù)隨年份的變化關(guān)系c 如果某人ts內(nèi)騎車行駛了1km 那么此人騎車的平均速度與時間的函數(shù)關(guān)系d 信件的郵資與其質(zhì)量間的函數(shù)關(guān)系 2 2015 邯鄲高一檢測 為了估計山上積雪融化后對下游灌溉的影響 在山上建立了一個觀察站 測量最大積雪深度x與當(dāng)年灌溉面積y 現(xiàn)有連續(xù)10年的實(shí)測資料 如表所示 1 描點(diǎn)畫出灌溉面積隨積雪深度變化的圖象 2 建立一個能基本反映灌溉面積變化的函數(shù)模型 并畫出圖象 3 根據(jù)所建立的函數(shù)模型 估計若今年最大積雪深度為25cm 則可以灌溉土地多少公頃 解題探究 1 典例1中y kax有怎樣的變化趨勢 提示 此函數(shù)為指數(shù)型函數(shù) 變化趨勢符合指數(shù)函數(shù)的變化規(guī)律 2 典例2中如何應(yīng)用表中的數(shù)據(jù) 提示 可首先根據(jù)表中數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖 然后通過觀察圖象判斷問題所適用的函數(shù)模型 解析 1 選b a中信號彈的高度先增加再減少 不符合y kax的變化 b中若已知人口數(shù)為m 則x年后有m 1 1 x 符合y kax c d中函數(shù)關(guān)系也不符合指數(shù)型函數(shù)變化規(guī)律 2 1 描點(diǎn) 作圖 如圖 甲 所示 2 從圖 甲 中可以看到 數(shù)據(jù)點(diǎn)大致落在一條直線附近 由此 我們假設(shè)灌溉面積y與最大積雪深度x滿足一次函數(shù)模型y a bx a b為常數(shù)且b 0 取其中的兩組數(shù)據(jù) 10 4 21 1 24 0 45 8 代入y a bx 得用計算器可得a 2 2 b 1 8 這樣 得到一個函數(shù)模型 y 2 2 1 8x 作出函數(shù)圖象如圖 乙 可以發(fā)現(xiàn) 這個函數(shù)模型與已知數(shù)據(jù)的擬合程度較好 這說明它能較好地反映積雪深度與灌溉面積的關(guān)系 3 由 2 得到的函數(shù)模型為y 2 2 1 8x 則由y 2 2 1 8 25 求得y 47 2 即當(dāng)積雪深度為25cm時 可以灌溉土地約為47 2公頃 延伸探究 典例2 3 中估計若今年最大積雪深度改為30cm 問可以灌溉土地多少公頃 解析 由 2 得到的函數(shù)模型為y 2 2 1 8x 則由y 2 2 1 8 30 求得y 56 2 即當(dāng)積雪深度為30cm時 可以灌溉土地約為56 2公頃 方法技巧 建立函數(shù)擬合與預(yù)測的基本步驟 變式訓(xùn)練 圖中一組函數(shù)圖象 它們分別與其后所列的一個現(xiàn)實(shí)情境相匹配 情境a 一份30分鐘前從冰箱里取出來 然后被放到微波爐里加熱 最后放到餐桌上的食物的溫度 將0時刻確定為食物從冰箱里被取出來的那一刻 情境b 一個1970年生產(chǎn)的留聲機(jī)從它剛開始的售價到現(xiàn)在的價值 它被一個愛好者收藏 并且被保存得很好 情境c 從你剛開始放水洗澡 到你洗完后把水排掉這段時間浴缸里水的高度 情境d 根據(jù)乘客人數(shù) 每輛公交車一趟營運(yùn)的利潤 其中情境a b c d分別對應(yīng)的圖象是 解析 對于a 加熱時升溫快 然后再變涼 易知為 對于b 過時的物品價值先下降 直到收藏后價值才會升值 因此顯然為 對于c 由于洗澡一般是間歇性用水 所以易知水高度函數(shù)圖象有多重折線 因此顯然為 對于d 乘客人數(shù)越多 利潤越大 顯然是 答案 補(bǔ)償訓(xùn)練 環(huán)境污染已經(jīng)嚴(yán)重危害人們的健康 某工廠因排污比較嚴(yán)重 決定著手整治 一個月時污染度為60 整治后前四個月的污染度如下表 污染度為0后 該工廠即停止整治 污染度又開始上升 現(xiàn)用下列三個函數(shù)模擬從整治后第一個月開始工廠的污染模式 f x 20 x 4 x 1 g x x 4 2 x 1 h x 30 log2x 2 x 1 其中x表示月數(shù) f x g x h x 分別表示污染度 問選用哪個函數(shù)模擬比較合理 并說明理由 解析 用h x 模擬比較 理由 因為f 2 40 g 2 26 7 h 2 30 f 3 20 g 3 6 7 h 3 12 5 由此可得h x 更接近實(shí)際值 所以用h x 模擬比較合理 規(guī)范解答指數(shù) 對數(shù)函數(shù)模型在實(shí)際