N平方加1型的素?cái)?shù)是無(wú)窮多的

關(guān)于形如N2+1的素?cái)?shù)問(wèn)題摘要：本文建立了一種篩法,用這種篩法證明了形如的素?cái)?shù)是無(wú)窮多的. 關(guān)鍵詞：素?cái)?shù) 剩余類(lèi) 篩法予備知識(shí)要討論形如的素?cái)?shù)問(wèn)題,除1以外,只須對(duì)是偶數(shù)的情況加以研究.引理一:形如的素?cái)?shù)可以表為一偶一奇兩數(shù)的平方和, 并且表法是唯一的. 其中s表示偶數(shù),t表示奇數(shù),1引理二:若為合數(shù),則它能表為一偶一奇兩數(shù)的平方和. 其中u表示偶數(shù),v表示奇數(shù),并且v1.因?yàn)檫@里只討論是偶數(shù)的情況,由引理一極易推得.引理三:若成立,則(沒(méi)有的素因子)由純的素因子組成.2引理四:若成立,則,即 證明:見(jiàn)3.引理五:若含有素因子,則除以所得的商也能表為一偶一奇兩數(shù)的平方和.即 其中x表示偶數(shù),y表示奇數(shù).證明:見(jiàn)1,4.一個(gè)基本定理由 將上面等式的第三部分展開(kāi)得: 比較,得: 即滿(mǎn)足的的的數(shù)必含素因子P.為了確定,我們將化簡(jiǎn), 繼續(xù)比較,得到以下四個(gè)一次方程組,并加以討論.從這個(gè)方程組解得: , 此與s,x為偶數(shù)相矛盾, 即這種情況是不存在的.從這個(gè)方程組解得: .從這個(gè)方程組解得: ,.從這個(gè)方程組解得: , 此與s,x為偶數(shù)相矛盾, 即這種情況也是不存在的.所以得到:即 將代入得: 式說(shuō)明:對(duì)于任意給定的形如的素?cái)?shù),總有滿(mǎn)足 的兩類(lèi),這樣的使為含有素因子的合數(shù). 于是我們得到基本定理.定理一:對(duì)于任意給定的形如的素?cái)?shù)P,總存在這樣的,即以為模的兩個(gè)剩余類(lèi)的,對(duì)于如此的,它的平方加1為含有素因子的合數(shù). 即 . 有下式成立 . 計(jì)算方法 以下我們給出滿(mǎn)足的兩類(lèi)的計(jì)算方法. 取以為模, 由于h的任意性, 不妨設(shè)4h含有因子s, 則變?yōu)? 由于的任意性, t可以整除p,但是 ,除t=1以外, t不能整除s.所以,除t=1以外,不能用求出滿(mǎn)足的兩類(lèi). 為此需要加以變換.由于的任意性,不妨設(shè),并且設(shè)一并代入得 由任意性,取適當(dāng)?shù)氖?則 .這樣以來(lái).公式就給出了求滿(mǎn)足的兩類(lèi)的具體計(jì)算方法.我們還可以給出求滿(mǎn)足的另外一種具體計(jì)算方法.將加以變形 取以p為模,由于h任意性,不妨設(shè)含有因子t,則變?yōu)?由的任意性,不妨設(shè)設(shè) ,將這兩個(gè)式子同時(shí)代入得: 由于的任意性,取適當(dāng)?shù)氖?得 公式就又給出了滿(mǎn)足的兩類(lèi)的又一種方法.例1:對(duì)=5.求出兩類(lèi),使含有因子5.解: .可以用公式直接計(jì)算. .因?yàn)闉樗財(cái)?shù), 它也是的素?cái)?shù),所以對(duì)于形如的素?cái)?shù).求出兩類(lèi), 使含有素因子,可利用公式 直接計(jì)算.例2:對(duì) =193.求出兩類(lèi),使含有因子193.解: 方法一:利用公式將代入得:方法二:利用公式,將 代入得由公式和公式求出的兩類(lèi)N表面上是不一致的,實(shí)際上是一致的. 為了形式的一致,我們對(duì)用方法一求出兩類(lèi)稍加變形得:一般說(shuō)來(lái),對(duì)于以為模的兩個(gè)剩余類(lèi)pmR.如果約定 ，不管用公式,還是用公式求出的兩類(lèi)是唯一確定的.至于具體計(jì)算時(shí)究竟用那個(gè)公式, 要看用那個(gè)公式使計(jì)算簡(jiǎn)單一點(diǎn)而定. H篩法由基本定理及求滿(mǎn)足的兩類(lèi)的具體計(jì)算方法加以深究. 實(shí)際上是創(chuàng)立了一種特殊的新的篩法,這里我們記為H篩法.即用這種篩法,用形如的素?cái)?shù)去篩N,篩出的使都是合數(shù),而留下的都是的素?cái)?shù).H篩法是用下述辦法進(jìn)行的:是所有偶數(shù).首先用5去篩,篩出兩類(lèi),這兩類(lèi),使都是含有因子5的合數(shù).然后用13去篩,篩出兩類(lèi),這兩類(lèi),使都是含有因子13的合數(shù).其次用17去篩,篩出兩類(lèi),這兩類(lèi),使都是含有因子17的合數(shù). .依次用素?cái)?shù)去篩,篩出兩類(lèi),這兩類(lèi),使都是含有因子的合數(shù).形如N2+1的素?cái)?shù)是無(wú)限多的我們注意到:用5去篩,有的N,使為合數(shù).用13去篩 , 有的N,使是合數(shù).用17去篩,有的N,使是合數(shù)，,用素?cái)?shù)去篩,有的N,使是合數(shù).我們又注意到:在的數(shù)中,含因子5的占,含因子13的占,.,含因子pJ的占J.既含因子5,又含因子13的 ,.,既含因子5,又含因子13,.,又含因子pJ的占如果用5去篩,那末去掉含因子5的,把所有作為1. 那末剩余部分是如果單獨(dú)用13去篩,那末剩余部分是.如果既用5去篩, 又用13去篩.那末剩余部分是 如果單獨(dú)用17去篩,那末剩余部分是.因既含因子5, 又含因子13,同時(shí)又含因子17的,占 所以同時(shí)用5, 13,17去篩,那末剩余部分是 .仿上進(jìn)行下去,同時(shí)用5,13,17,., 去篩, 那末剩余部分是 從另一方面分析:如果用5去篩, 剩余部分是.剩余部分再用13去篩又可篩去所以把用5篩后的剩余部分作為1,剩余部分再用13去篩,那末剩余部分仍為 .對(duì)于整個(gè)來(lái)說(shuō),用5,13同時(shí)篩之后,剩余部分應(yīng)為,之后再用17去篩,剩余部分作為1,仍然可以再篩去.那末用5,13,17篩過(guò)以后,整個(gè)剩余部分為 .把這種分析方法重復(fù)下去,用5,13,17,., 同時(shí)去篩,那末中剩余部分為 容易看出,是一回事. 對(duì)的值作以估計(jì)： 由于.其次說(shuō)明：從開(kāi)始到共有：個(gè)偶數(shù),而 個(gè)偶數(shù)的每個(gè)數(shù)平方后再加上1,稱(chēng)為數(shù)組M.定理二:形如的素?cái)?shù)是無(wú)限多的.證明:假如形如的素?cái)?shù)是有限的,不妨設(shè)最大的為,則小于的所有形如的素?cái)?shù),由小到大排列為.用可以把以?xún)?nèi)的含素因子的合數(shù)挑選出來(lái).由引理三數(shù)組M只含的素因子.我們用.去篩數(shù)組M.因?yàn)樾稳绲乃財(cái)?shù)是有限個(gè)的.所以對(duì)數(shù)組M的所有數(shù).用去篩.應(yīng)該篩凈,而沒(méi)有剩余.即剩余部分應(yīng)該等于零.（一）另一方面,由上面的分析用.去篩.對(duì)于大于N的數(shù),用.中的每一個(gè)只能篩去其中的，那末用.篩后剩余部分為：數(shù)組M用篩后,剩余的偶數(shù)個(gè)數(shù)為:這說(shuō)明用去篩數(shù)組M的所有的數(shù)是篩不凈的.（二）（一）與（二）矛盾.產(chǎn)生矛盾的原因，是由假設(shè)形如的素?cái)?shù)是有限個(gè)所造成的.這就證明了形如的素?cái)?shù)是無(wú)限多的. 我們不僅證明了形如的素?cái)?shù)是無(wú)限的.而且對(duì)于已知的的素?cái)?shù)，對(duì)于下一個(gè)形如的素?cái)?shù)的范圍作出了估計(jì)., 與之間至少還有兩個(gè)形如的素?cái)?shù).參考文獻(xiàn):1,柯召,孫琦 數(shù)論講義高等教育出版社年月第版第頁(yè)2 閔嗣鶴 嚴(yán)世健初等數(shù)論人民教育出版社年月第二版第頁(yè)3胡育昆 王凌云 胡鮮芳 “關(guān)于形如表素?cái)?shù)的討論”洛陽(yáng)師專(zhuān)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版).4華羅庚數(shù)論導(dǎo)引科學(xué)出版社年月第一版第頁(yè)。About the Prime Numbers of N2+ 1 Ma Guo-xiang (Luoyang fourth Railway school,471002)Abstract:By using the primary way in this thesis,we have found a sifting methed