運用凸函數(shù)性質(zhì)證明不等式.doc

運用凸函數(shù)性質(zhì)證明不等式（何仲永 浙江 諸暨輕工技校 311800 ） 摘要 ：本文僅從函數(shù)圖像的凹凸性角度證明一些常見的不等式，在明確函數(shù)凹凸性性質(zhì)的基礎(chǔ)上，用具體例子加以例析。 關(guān)鍵詞：函數(shù)；凹凸性；不等式；證明。不少不等式的證明，看起來很難，但運用凸函數(shù)性質(zhì)證明，可以少走彎路，使解題更合理些。凸函數(shù)性質(zhì)：1.如果y=f(x)在a,b上是上凸函數(shù)，設(shè) ，那么2.如果y=f(x)在a,b上是下凸函數(shù)，設(shè)，那么 當(dāng)且僅當(dāng)f(x)為常數(shù)函數(shù)時，等號成立圖二圖一 結(jié)論：上凸函數(shù)函數(shù)值的平均不大于平均的函數(shù)值；下凸函數(shù)函數(shù)值的平均不小于平均的的函數(shù)值。特別是簡單的初等函數(shù)，它的上凸與下凸可以直觀從圖像中看出，當(dāng)然也可以從二階導(dǎo)數(shù)來判別：為上凸的函數(shù)；為下凸的函數(shù)。將上面的性質(zhì)加以推廣1.如果y=f(x)在a,b上是上凸的函數(shù)，設(shè)xi在（a,b）內(nèi)，那么2.如果y=f(x)在a,b上是下凸函數(shù)，設(shè)xi在（a,b）內(nèi)，那么當(dāng)且僅當(dāng)，f(x)為常數(shù)函數(shù)時，等號成立。（證明從略）凸函數(shù)的性質(zhì)在理論上很重要，它有時是證明不等式的有力工具，僅舉幾例加以說明。例1：在 ABC中，求證：證明一：sinA+sinB+sinC令C為定角:C為定角，為定值，要使為最大值，只有當(dāng)A=B時才成立，由于A.B.C對稱，有最大值，當(dāng)且僅當(dāng)A=B=C=60時才能達到下面直接應(yīng)用凸函數(shù)性質(zhì)證明證法二：如圖三, y=sinx為上凸函數(shù)，因此有上凸函數(shù)值平均不大于平均的函數(shù)值的結(jié)論0yx圖三y=sinx 證畢如果題目改成,A,B,C,D(0.)求sinA+sinB+sinC+sinD的極大值。用一般三角函數(shù)變換，幾乎不能很快達到目的，使用上凸函數(shù)性質(zhì)，解法簡捷。為上凸函數(shù)，故有當(dāng)A=B=C=D時sinA+sinB+sinC+sinD最大值為同樣更一般的題目：已知，則證明：y=sinx,為上凸函數(shù)，故 =nsin例2.已知ai0(I=1,2n)，求證證明：這道題證法有很多，這里僅應(yīng)用凸函數(shù)性質(zhì)來證明。如圖四：當(dāng)x0,y=lnx為上凸函數(shù)，就有0yxy=lnx圖四（1，0） 例3.已知求證：證明：當(dāng) ,考察函數(shù)y=lncosx圖像是上凸還是下凸？可以和求導(dǎo)或描圖,求導(dǎo)：y=lncosx y或作圖 x0 圖五 兩種方法均可得出函數(shù)為上凸函數(shù)，因此有函數(shù)值的平均不大于平均的函數(shù)值，所以 在ABC中，coscoscos的極大值問題可套用上述結(jié)論： = 當(dāng)，即為正三角形時，乘積有極大值為類似這樣問題：已知AIA1+A2+A3+A4+A5 =,求cosA1cosA2cosA3cosA4cosA5的最大值?？商子蒙鲜鼋Y(jié)果，用凸函數(shù)理論順利解決 =， 應(yīng)用凸函數(shù)解決不