天津市薊州等部分區(qū)2019屆高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

天津市薊州等部分區(qū)2019屆高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)全集,則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合的交集、并集和補集的運算，即可求解.【詳解】由題意，全集，則，則，故選A.【點睛】本題主要考查了集合的混合運算問題，其中解答中熟記集合的交集、并集和補集的運算是解答問題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.2.設(shè)變量滿足約束條件 則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（ ）A. 1B. 2C. 7D. 8【答案】C【解析】試題分析：作出可行域及目標(biāo)函數(shù)線如圖:平移目標(biāo)函數(shù)線使之經(jīng)過可行域，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)線過點時縱截距最大，此時也最大由，則故C正確考點：線性規(guī)劃3.閱讀下邊的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，則輸出的值為( )A. 8B. 4C. -4D. -20【答案】B【解析】【分析】由題意，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，逐次計算，即可求得輸出的結(jié)果，得到答案.【詳解】由題意，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，第1次循環(huán)，不滿足條件；第2次循環(huán)，不滿足條件；第3次循環(huán)，不滿足條件；第4次循環(huán)，滿足條件，此時輸出，故選B.【點睛】識別算法框圖和完善算法框圖是近年高考的重點和熱點解決這類問題：首先，要明確算法框圖中的順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)；第二，要識別運行算法框圖，理解框圖解決的問題；第三，按照框圖的要求一步一步進行循環(huán)，直到跳出循環(huán)體輸出結(jié)果，完成解答近年框圖問題考查很活，常把框圖的考查與函數(shù)和數(shù)列等知識考查相結(jié)合4.已知，則的大小關(guān)系為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接求解 【詳解】解：，的大小關(guān)系為：故選【點睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識比較三個數(shù)的大小，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題 5.設(shè)，則“”是“”的A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷【詳解】由，可知“”是“”的必要不充分條件故選B【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，利用三角函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)6.在中，為的中點，則（ ）A. B. C. 3D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平面向量的線性表示與數(shù)量積的定義,計算即可【詳解】解：如圖所示，中，是的中點，故選【點睛】本題考查了平面向量的線性表示與數(shù)量積的運算問題，是基礎(chǔ)題7.函數(shù)（其中）的圖象如圖所示，為了得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象上所有點（ ）A. 向右平移個單位長度B. 向左平移個單位長度C. 向右平移個單位長度D. 向左平移個單位長度【答案】C【解析】【分析】由函數(shù)的最值求出，由周期求出，由五點法作圖求出的值，可得的解析式，再根據(jù)的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論【詳解】解：由函數(shù)（其中，的圖象可得，求得再根據(jù)五點法作圖可得，求得，函數(shù)故把的圖象向右平移個單位長度，可得函數(shù)的圖象，故選【點睛】本題主要考查由函數(shù)的部分圖象求解析式，的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題8.已知雙曲線左、右焦點分別為,過點且垂直于軸的直線與該雙曲線的左支交于兩點，分別交軸于兩點，若的周長為12，則當(dāng)取得最大值時，該雙曲線的漸近線方程為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由題意，的周長為24，利用雙曲線的定義，可得，進而轉(zhuǎn)化，利用導(dǎo)數(shù)的方法，即可得出結(jié)論【詳解】解：由題意，的周長為24，時，取得最大值，此時，即漸近線方程為 故選：B.【點睛】本題考查雙曲線的定義,考查導(dǎo)數(shù)知識的運用,考查學(xué)生分析解決問題的能力,知識綜合性強二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，滿分30分，）9.是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) _【答案】【解析】【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡求值【詳解】，故答案【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題10.已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則_【答案】1【解析】【分析】先求，再代入得解.【詳解】解：，（1），故答案為1.【點睛】本題考查型導(dǎo)函數(shù)求法，屬于基礎(chǔ)題.11.已知長方體的長、寬、高分別為2，1，2，則該長方體外接球的表面積為_【答案】【解析】分析】由題意，長方體的長寬高分別為，所以其對角線長為，求得球的半徑為，利用球的表面積公式，即可求解.【詳解】由題意，長方體的長寬高分別為，所以其對角線長為，設(shè)長方體的外接球的半徑為，則，即，所以球的表面積為.【點睛】本題主要考查了球的表面積和球的組合體問題，其中解答中根據(jù)長方體的對角線長等于其外接球的直徑，求得球的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.12.已知直線與圓相交于兩點，且線段的中點P坐標(biāo)為，則直線的方程為_【答案】【解析】【分析】把圓的標(biāo)準化為標(biāo)準方程，找出圓心的坐標(biāo)，由垂徑定理得到圓心與弦的中點連線與弦垂直，根據(jù)圓心的坐標(biāo)及的坐標(biāo)求出半徑所在直線的斜率，根據(jù)兩直線垂直時斜率的乘積為，求出直線的斜率，再根據(jù)的坐標(biāo)及求出的斜率寫出直線的方程即可【詳解】解：把圓的方程化為標(biāo)準方程得：，可得圓心，直線的斜率為1，直線的斜率為，則直線的方程為：，即故答案為【點睛】此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：垂徑定理，兩直線垂直時斜率滿足的關(guān)系，直線斜率的求法，以及直線方程求法，靈活運用垂徑定理是解本題的關(guān)鍵13.已知，且，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件，轉(zhuǎn)化為，然后得到，再結(jié)合基本不等式確定其最值即可【詳解】解：，恒成立，且，= 因為恒成立，故答案為【點睛】本題重點考查了基本不等式及其靈活運用，注意基本不等式的適應(yīng)關(guān)鍵：一正、二定（定值）、三相等（即驗證等號成立的條件），注意給條件求最值問題，一定要充分利用所給的條件，作出適當(dāng)?shù)淖冃?，然后巧妙的利用基本不等式進行處理，屬于基礎(chǔ)題14.已知函數(shù)若關(guān)于的方程恰有兩個互異的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】利用分段函數(shù)，求出的零點，然后在求解時的零點，即可得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)，當(dāng)時，方程，可得，解得，函數(shù)由一個零點，當(dāng)時，函數(shù)只有一個零點，即在上只有一個解，因為函數(shù)開口向上，對稱的方程為，所以函數(shù)在為單調(diào)遞減函數(shù)，所以，即，解得，即實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)的零點的應(yīng)用，以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中把函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，借助二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運算能力.三、解答題 （本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.為維護交通秩序，防范電動自行車被盜，天津市公安局決定，開展二輪電動自行車免費登記、上牌照工作.電動自行車牌照分免費和收費(安裝防盜裝置)兩大類，群眾可以 自愿選擇安裝.已知甲、乙、丙三個不同類型小區(qū)的人數(shù)分別為15000，15000，20000.交管部門為了解社區(qū)居民意愿，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取10人進行電話訪談.（）應(yīng)從甲小區(qū)和丙小區(qū)的居民中分別抽取多少人?（）設(shè)從甲小區(qū)抽取的居民為，丙小區(qū)抽取的居民為.現(xiàn)從甲小區(qū)和丙小區(qū)已抽取的居民中隨機抽取2人接受問卷調(diào)查.（）試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；（）設(shè)為事件“抽取的2人來自不同的小區(qū)”，求事件發(fā)生的概率.【答案】（）甲小區(qū)抽取3人、丙小區(qū)抽取4人（）(i)見解析(ii) 【解析】【分析】（）利用分層抽樣的性質(zhì)能求出應(yīng)從甲、乙、丙三個不同類型小區(qū)中分別抽取得3人，3人，4人（）（）從甲小區(qū)抽取的3位居民為，丙小區(qū)抽取的4人分別為利用列舉法能求出所有可能結(jié)果（）由（）可得基本事件總個數(shù)，為事件“抽取的2人來自不同的小區(qū)”利用列舉法能求出事件發(fā)生的概率【詳解】（）因為三個小區(qū)共有50000名居民，所以運用分層抽樣抽取甲、丙小區(qū)的人數(shù)分別為：甲小區(qū)：（人）；丙小區(qū)：（人）.即甲小區(qū)抽取3人、丙小區(qū)抽取4人 （）(i)設(shè)甲小區(qū)抽取的3人分別為，丙小區(qū)抽取的4人分別為，則從7名居民中抽2名居民共有21種可能情況： , (ii)顯然，事件包含的基本事件有: 共12種，所以. 故抽取的2人來自不同的小區(qū)的概率為【點睛】本題考查分層抽樣、用列舉法計算隨機事件所含基本事件數(shù)、古典概型及其概率計算公式等基礎(chǔ)知識，考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力16.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知（1）求角C的大?。?）若，的面積為，求的周長【答案】（）（）. 【解析】【分析】（）利用正弦定理化簡已知等式可得值，結(jié)合范圍，即可得解的值（）利用正弦定理及面積公式可得，再利用余弦定理化簡可得值，聯(lián)立得從而解得周長【詳解】（）由正弦定理，得，在中，因為，所以故， 又因為0C，所以 （）由已知，得.又，所以. 由已知及余弦定理，得， 所以，從而.即 又，所以的周長為.【點睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題17.如圖，四棱錐中，底面四邊形為菱形，為等邊三角形.（）求證：；（）若，求直線與平面所成的角.【答案】（）見解析 （）. 【解析】【分析】（）取中點E，連結(jié)，由已知可得，又，即可證平面，從而可得（）先證明，可得平面，由線面角定義即可知即為所求【詳解】（）因為四邊形為菱形，且 所以為等邊三角形取線段的中點,連接，則. 又因為等邊三角形，所以因為平面，平面，且，所以直線平面， 又因為，所以 （）因為為等邊三角形，且其邊長為，所以，又，所以，所以. 因為，所以面， 所以為直線與平面所成的角. 在中，所以故直線和平面所成的角為.【點睛】本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)及線面角求法，屬于基礎(chǔ)題 18.已知數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，且，（1）求和通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，等差數(shù)列的公差為，列出方程組，求得的值，即可得到數(shù)列的通項公式；（2）由（1）得， 利用乘公比錯位相減法，即可求解數(shù)列的和.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，等差數(shù)列的公差為，依題意有，即， 解得或（舍），數(shù)列的通項公式為，數(shù)列的通項公式為（2）由（1）得， =，-得【點睛】本題主要考查等差、等比數(shù)列的通項公式及求和公式、數(shù)列求和的“錯位相減法”，此類題目是數(shù)列問題中的常見題型，對考生計算能力要求較高，解答中確定通項公式是基礎(chǔ)，準確計算求和是關(guān)鍵，易錯點是在“錯位”之后求和時，弄錯等比數(shù)列的項數(shù)，能較好的考查考生的邏輯思維能力及基本計算能力等.19.已知函數(shù)，其中（）討論的單調(diào)性；（）當(dāng)時，證明：；（）求證：對任意正整數(shù)n，都有（其中e2.7183為自然對數(shù)的底數(shù)）【答案】（）見解析（）見解析（）見解析【解析】【分析】（1）分別在和兩段范圍內(nèi)討論導(dǎo)函數(shù)的正負，從而得到單調(diào)區(qū)間；（2）將問題轉(zhuǎn)化為證明，通過導(dǎo)數(shù)求得，從而證得所證不等式；（3）根據(jù)（2）可知，令，則可得，累加可得到所證結(jié)論.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增,當(dāng)時，令，解得：當(dāng)時， 所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增,綜上，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增;（2）當(dāng)時，要證明，即證，即,設(shè)則，令得，,當(dāng)時，當(dāng)時，所以為極大值點，也為最大值點 所以，即故當(dāng)時，; （3）由（2）（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）,令， 則 ,所以,即所以.【點睛】本題考查討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)最值證明不等式問題、與自然數(shù)相關(guān)的不等式的證明問題.對于導(dǎo)數(shù)中含自然數(shù)的問題的證明，關(guān)鍵是對已知函數(shù)關(guān)系中的自變量進行賦值，進而得到與相關(guān)的不等關(guān)系，利用放縮的思想進行證明，屬于難度題.20.已知橢圓：的焦距為8，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構(gòu)成正三角形（1）求的方程；（2）設(shè)為的左焦點，為直線上任意一點，過點作的垂線交于兩點,.（i）證明：平分線段（其中為坐標(biāo)原點）；（ii）當(dāng)取最小值時，求點的坐標(biāo)【答案】（1）；（2）見解析【解析】【分析】（1）由已知，根據(jù)橢圓的焦距為8，其短軸的兩個端點與長軸的個端點構(gòu)成正三角形，求得的值，即可求得橢圓的方程；（2）（）設(shè)點的坐標(biāo)為，驗證當(dāng)時，平分顯然成立；當(dāng)由直線的方程和橢圓的方程聯(lián)立方程組，求解中點的坐標(biāo)，即可得到結(jié)論；（）由（）可知，求得和，得到，利用基本不等式，即可求解.【詳解】（1）由已知，得. 因為，易解得. 所以，所求橢圓的標(biāo)準方程為