考研數(shù)學二13年真題.doc

2013年考研數(shù)學二真題及答案一、選擇題 18小題每小題4分，共32分設，當時， （ ）（A）比高階的無窮小 （B）比低階的無窮?。–）與同階但不等價無窮小 （D）與等價無窮小2已知是由方程確定，則（ ）（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2設，則（ ）（）為的跳躍間斷點 （）為的可去間斷點（）在連續(xù)但不可導 （）在可導設函數(shù)，且反常積分收斂，則（ ）（A） （B） （C） （D）設函數(shù)，其中可微，則（ ）（A） （B）（C） （D）6設是圓域的第象限的部分，記，則（ ）（A） （B） （C） （D）7設，均為階矩陣，若，且可逆，則（A）矩陣C的行向量組與矩陣A的行向量組等價（B）矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價（C）矩陣C的行向量組與矩陣B的行向量組等價（D）矩陣C的列向量組與矩陣B的列向量組等價8矩陣與矩陣相似的充分必要條件是（A） （B），為任意常數(shù)（C） （D），為任意常數(shù)二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）9 10設函數(shù)，則的反函數(shù)在處的導數(shù) 11設封閉曲線L的極坐標方程為為參數(shù)，則L所圍成的平面圖形的面積為 12曲線上對應于處的法線方程為 13已知是某個二階常系數(shù)線性微分方程三個解，則滿足方程的解為 14設是三階非零矩陣，為其行列式，為元素的代數(shù)余子式，且滿足，則= 三、解答題15（本題滿分10分）當時，與是等價無窮小，求常數(shù)16（本題滿分10分）設D是由曲線，直線及軸所轉成的平面圖形，分別是D繞軸和軸旋轉一周所形成的立體的體積，若，求的值17（本題滿分10分）設平面區(qū)域D是由曲線所圍成，求18（本題滿分10分）設奇函數(shù)在上具有二階導數(shù)，且，證明：（1）存在，使得；（2）存在，使得19（本題滿分10分）求曲線上的點到坐標原點的最長距離和最短距離20（本題滿分11）設函數(shù)求的最小值；設數(shù)列滿足，證明極限存在，并求此極限21（本題滿分11）設曲線L的方程為（1）求L的弧長（2）設D是由曲線L，直線及軸所圍成的平面圖形，求D的形心的橫坐標22本題滿分11分）設，問當為何值時，存在矩陣C，使得，并求出所有矩陣C23（本題滿分11分）設二次型記（1）證明二次型對應的矩陣為 ；（2）若正交且為單位向量，證明在正交變換下的標準形為 一.選擇1.【詳解】顯然當時，故應該選（C）2. 【分析】本題考查的隱函數(shù)的求導法則信函數(shù)在一點導數(shù)的定義【詳解】將代入方程得，在方程兩邊求導，得，代入，知，故應該選（A）3. 【詳解】只要注意是函數(shù)的跳躍間斷點，則應該是連續(xù)點，但不可導應選（）4.【詳解】，其中當且僅當時才收斂；而第二個反常積分，當且僅當才收斂從而僅當時，反常積分才收斂，故應選（）5. 【詳解】應該選（A）6. 【詳解】由極坐標系下二重積分的計算可知所以，應該選（B）7. 【詳解】把矩陣A，C列分塊如下：，由于，則可知，得到矩陣C的列向量組可用矩陣A的列向量組線性表示同時由于B可逆，即，同理可知矩陣A的列向量組可用矩陣C的列向量組線性表示，所以矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價應該選（B）8. 【詳解】注意矩陣是對角矩陣，所以矩陣A=與矩陣相似的充分必要條件是兩個矩陣的特征值對應相等從而可知，即，為任意常數(shù)，故選擇（B）二.填空9.【詳解】10. 【詳解】由反函數(shù)的求導法則可知11. 【詳解】所以答案為12. 【詳解】當時，所以法線方程為，也就是13. 【詳解】顯然和是對應的二階常系數(shù)線性齊次微分方程兩個線性無關的解，由解的結構定理，該方程的通解為，其中為任意常數(shù)把初始條件代入可得，所以答案為14. 【詳解】由條件可知，其中為A的伴隨矩陣，從而可知，所以可能為或0但由結論可知，可知,伴隨矩陣的秩只能為3，所以三.解答題15. 【分析】主要是考查時常見函數(shù)的馬克勞林展開式【詳解】當時，所以，由于與是等價無窮小，所以16. 【詳解】由微元法可知；由條件，知17. 【詳解】18. 【詳解】證明：（1）由于為奇函數(shù)，則，由于在上具有二階導數(shù)，由拉格朗日定理，存在，使得（2）由于為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)，由（1）可知存在，使得，且，令，由條件顯然可知在上可導，且，由羅爾定理可知，存在，使得即19. 【分析】考查的二元函數(shù)的條件極值的拉格朗日乘子法【詳解】構造函數(shù)令，得唯一駐點，即考慮邊界上的點，；距離函數(shù)在三點的取值分別為，所以最長距離為，最短距離為120. 【詳解】（1），令，得唯駐點，當時，函數(shù)單調遞減；當時，函數(shù)單調遞增所以函數(shù)在處取得最小值（2）證明：由于，但，所以，故數(shù)列單調遞增又由于，得到，數(shù)列有界由單調有界收斂定理可知極限存在令，則，由（1）的結論可知21. 【詳解】（1）曲線的弧微分為，所以弧長為（2）設形心坐標為，則22. 【詳解】顯然由可知，如果C存在，則必須是2階的方陣設，則變形為，即得到線性方程組，要使C存在，此線性方程組必須有解，于是對方程組的增廣矩陣進行初等行變換如下，所以，當時，線性方程組有解，即存在矩陣C，使得此時，所以方程組的通解為，也就是滿足的矩陣C為，其中為任意常數(shù)23. 【詳解】證明：（1）所以二次型對應的矩陣為 證明（2）設，由于則，所以為矩陣對應特征值的特征向量；，所以為矩陣對應特征值的特征向量；而矩陣A的秩，所以也是矩陣的一個特征值故在正交變換下的標準形為 嚴歌苓說，人之間的關系不一定從陌生進展為熟識，從熟識走向陌生，同樣是正常進展。人與人之間的緣分，遠沒有想像中的那么牢固，也許前一秒鐘還牽手一起經(jīng)歷風雨，后一秒就說散就散，所以，你要懂得善待和珍惜。人與人相處，講究個真心，你對我好，我就對你好，你給予真情，我還你真意，人心是相互的。兩個人在一起，總會有人主動，但主動久了，就會累，會傷心，心傷了就暖不回來了，凡事多站在對方的角度想一想，多一份忍耐和謙就，就不會有那么多的怨氣和誤解，也少了一些擦肩而過。做人不要太苛刻，太苛無友，人無完人，每個人都有這樣或那樣的缺點，重在包容。 包容是一種大度，整天笑呵呵的人并不是他沒有脾氣和煩惱，而是心胸開闊，兩個懂得相互包容的人，才能走得越久。人與人相處，要多一份真誠，俗語說，你真我便真。常算計別人的人，總以為自己有多聰明，孰不知被欺騙過的人，就會選擇不再相信，千萬別拿人性來試人心，否則你會輸?shù)皿w無完膚。人與人相處不要太較真，生活中我們常常因為一句話而爭辯的面紅耳赤，你聲音大，我比你嗓門還大，古人說，有理不在聲高，很多時候，讓人臣服的不是靠嘴，而是靠真誠，無論是朋友親人愛人都不要太較真了，好好說話，也是一種修養(yǎng)。俗語說，良言一句三冬暖， 你對我好，我又豈能不知，你謙讓與我，我又怎能再得寸進尺，你欣賞我，我就有可能越變越好，你尊重我，我也會用尊重來回報你，你付出愛，必會得到更多的愛。與人相處，要多一份和善，切忌惡語相向，互相傷害就有可能永遠失去彼此，每個人心中都有一座天平，每個人心中都藏一份柔軟，表面再強勢的人，內心也是渴求溫暖的。做人要學會謙虛，虛懷若谷。人人都喜歡和謙虛的人交往，司馬懿說：“臣一路走來，沒有敵人，看見的都是朋友和師長”.這就是胸懷。有格局的人，心中藏有一片海，必能前路開闊，又何愁無友。人與人相處，開始讓人舒服的也許是你的言語和外表，但后來讓人信服的一定是你的內在。就如那句，欣賞一個人，始于顏值，敬于才華，合于性格，久于善良，終于人品。人這一生，遇見相同的人不容易，遇見正確的人更不容易，只有選擇了合適的相處方式，帶上真誠與人相處，才會走得更長，更遠更久。人與人相處，要多一份真誠，俗語說，你真我便真。常算計別人的人，總以為自己有多聰明，孰不知被欺騙過的人，就會選擇不再相信，千萬別拿人性來試人心，否則你會輸?shù)皿w無完膚。人與人相處不要太較真，生活中我們常常因為一句話而爭辯的面紅耳赤，你聲音大，我比你嗓門還大，古人說，有理不在聲高，很多時候，讓人臣服的不是靠嘴，而是靠真誠，無論是朋友親人愛人都不要太較真了，好好說話，也是一種修養(yǎng)。俗語說，良言一句三冬暖， 你對我好，我又豈能不知，你謙讓與我，我又怎能再得寸進尺，你欣賞我，我就有可能越變越好，你尊重我，我也會用尊重來回報你，你付出愛，必會得到更多的愛。與人相處，要多一份和善，切忌惡語相向，互相傷害就有可能永遠失去彼此，每個人心中都有一座天平，每個人心中都藏一份柔軟，表面