2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)2.10函數(shù)模型及其應(yīng)用教學(xué)案蘇教版.docx

第十節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用最新考綱1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長特征，結(jié)合具體實(shí)例體會直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義.2.了解函數(shù)模型（如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型）的廣泛應(yīng)用.1.常見的幾種函數(shù)模型（1）一次函數(shù)模型：ykxb（k0）.（2）反比例函數(shù)模型：yb（k，b為常數(shù)且k0）.（3）二次函數(shù)模型：yax2bxc（a，b，c為常數(shù)，a0）.（4）指數(shù)函數(shù)模型：yabxc（a，b，c為常數(shù)，b0，b1，a0）.（5）對數(shù)函數(shù)模型：ymlogaxn（m，n，a為常數(shù)，a0，a1，m0）.（6）冪函數(shù)模型：yaxnb（a0）.2.三種函數(shù)模型之間增長速度的比較函數(shù)性質(zhì)yax（a1）ylogax（a1）yxn（n0）在（0，）上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢因n而異圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個(gè)x0，當(dāng)xx0時(shí)，有l(wèi)ogaxxnax3.解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟（四步八字）（1）審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；（2）建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；（3）解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；（4）還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題.形如f（x）x（a0）的函數(shù)模型稱為“對勾”函數(shù)模型：（1）該函數(shù)在（，和，）內(nèi)單調(diào)遞增，在，0）和（0，上單調(diào)遞減.（2）當(dāng)x0時(shí)，x時(shí)取最小值2，當(dāng)x0時(shí)，x時(shí)取最大值2.一、思考辨析（正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”）（1）函數(shù)y2x與函數(shù)yx2的圖象有且只有兩個(gè)公共點(diǎn).（）（2）冪函數(shù)增長比直線增長更快.（）（3）不存在x0，使ax0xlogax0.（）（4）f（x）x2，g（x）2x，h（x）log2x，當(dāng)x（4，）時(shí)，恒有h（x）f（x）g（x）.（）答案（1）（2）（3）（4）二、教材改編1.某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則下列說法中錯(cuò)誤的是（）（注：結(jié)余收入支出）A.收入最高值與收入最低值的比是31B.結(jié)余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同D.前6個(gè)月的平均收入為40萬元D由題圖可知，收入最高值為90萬元，收入最低值為30萬元，其比是31，故A正確；由題圖可知，7月份的結(jié)余最高，為802060（萬元），故B正確；由題圖可知，1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同，故C正確；由題圖可知，前6個(gè)月的平均收入為（406030305060）45（萬元），故D錯(cuò)誤.2.在某個(gè)物理實(shí)驗(yàn)中，測量得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)如下表：x0.500.992.013.98y0.990.010.982.00則對x，y最適合的擬合函數(shù)是（）A.y2xB.yx21C.y2x2 D.ylog2 xD根據(jù)x0.50，y0.99，代入計(jì)算，可以排除A；根據(jù)x2.01，y0.98，代入計(jì)算，可以排除B，C；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)ylog2x，可知滿足題意，故選D.3.生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費(fèi)用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個(gè)月生產(chǎn)某種商品x萬件時(shí)的生產(chǎn)成本為C（x）x22x20（萬元）.一萬件售價(jià)為20萬元，為獲取更大利潤，該企業(yè)一個(gè)月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為萬件.18利潤L（x）20xC（x）（x18）2142，當(dāng)x18時(shí)，L（x）有最大值.4.用長度為24的材料圍一矩形場地，中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為.3設(shè)隔墻的長度為x（0x6），矩形面積為y，則yx2x（6x）2（x3）218，當(dāng)x3時(shí)，y最大.考點(diǎn)1用函數(shù)圖象刻畫變化過程判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問題中兩變量變化過程相吻合的2種方法（1）構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象.（2）驗(yàn)證法：當(dāng)根據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時(shí)，則根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選擇出符合實(shí)際情況的答案.1.（2019遵義模擬）如圖，有一直角墻角，兩邊的長度足夠長，若P處有一棵樹與兩墻的距離分別是4 m和a m（0a12）.不考慮樹的粗細(xì)，現(xiàn)用16 m長的籬笆，借助墻角圍成一個(gè)矩形花圃ABCD，設(shè)此矩形花圃的最大面積為u，若將這棵樹圍在矩形花圃內(nèi)，則函數(shù)uf（a）（單位：m2）的圖象大致是（）ABC DB設(shè)AD的長為x m，則CD的長為（16x）m，則矩形ABCD的面積為x（16x）m2.因?yàn)橐獙Ⅻc(diǎn)P圍在矩形ABCD內(nèi)，所以ax12.當(dāng)0a8時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)x8時(shí)，u64；當(dāng)8a12時(shí)，ua（16a）.畫出函數(shù)圖象可得其形狀與B選項(xiàng)接近，故選B.2.有一個(gè)盛水的容器，由懸在它的上空的一條水管均勻地注水，最后把容器注滿，在注水過程中時(shí)間t與水面高度y之間的關(guān)系如圖所示.若圖中PQ為一線段，則與之對應(yīng)的容器的形狀是（）AB C DB由函數(shù)圖象可判斷出該容器必定有不同規(guī)則的形狀，且函數(shù)圖象的變化先慢后快，所以容器下邊粗，上邊細(xì).再由PQ為線段，知這一段是均勻變化的，所以容器上端必是直的一段，故排除A，C，D，選B.3.汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是（）A.消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米B.以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多C.甲車以80千米/小時(shí)的速度行駛1小時(shí)，消耗10升汽油D.某城市機(jī)動車最高限速80千米/小時(shí)，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油D根據(jù)圖象知消耗1升汽油，乙車最多行駛里程大于5千米，故選項(xiàng)A錯(cuò)；以相同速度行駛時(shí)，甲車燃油效率最高，因此以相同速度行駛相同路程時(shí)，甲車消耗汽油最少，故選項(xiàng)B錯(cuò)；甲車以80千米/小時(shí)的速度行駛時(shí)燃油效率為10千米/升，行駛1小時(shí)，里程為80千米，消耗8升汽油，故選項(xiàng)C錯(cuò)；最高限速80千米/小時(shí)，丙車的燃油效率比乙車高，因此相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油，故選項(xiàng)D對.準(zhǔn)確掌握常見函數(shù)模型圖象的變化趨勢是解決此類問題的關(guān)鍵.考點(diǎn)2應(yīng)用所給函數(shù)模型解決實(shí)際問題求解所給函數(shù)模型解決實(shí)際問題的3個(gè)關(guān)注點(diǎn)（1）認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù).（2）根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).（3）利用該模型求解實(shí)際問題.小王大學(xué)畢業(yè)后，決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè).經(jīng)過市場調(diào)查，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本為3萬元，每生產(chǎn)x萬件，需另投入流動成本為W（x）萬元，在年產(chǎn)量不足8萬件時(shí)，W（x）x2x（萬元）.在年產(chǎn)量不小于8萬件時(shí)，W（x）6x38（萬元）.每件產(chǎn)品售價(jià)為5元.通過市場分析，小王生產(chǎn)的商品能當(dāng)年全部售完.（1）寫出年利潤L（x）（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)解析式；（注：年利潤年銷售收入固定成本流動成本）（2）年產(chǎn)量為多少萬件時(shí)，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？最大利潤是多少？解（1）因?yàn)槊考唐肥蹆r(jià)為5元，則x萬件商品銷售收入為5x萬元，依題意得，當(dāng)0x8時(shí)，L（x）5x3x24x3；當(dāng)x8時(shí)，L（x）5x335.所以L（x）（2）當(dāng)0x8時(shí)，L（x）（x6）29.此時(shí)，當(dāng)x6時(shí)，L（x）取得最大值L（6）9萬元，當(dāng)x8時(shí)，L（x）35352352015，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x10時(shí)，L（x）取得最大值15萬元.因?yàn)?15，所以當(dāng)年產(chǎn)量為10萬件時(shí)，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大，最大利潤為15萬元.解決實(shí)際問題時(shí)，應(yīng)注意自變量的取值范圍，如本例中x（0，）.一個(gè)容器裝有細(xì)沙a cm3，細(xì)沙從容器底部一個(gè)細(xì)微的小孔慢慢地勻速漏出，t min后剩余的細(xì)沙量為yaebt（cm3），經(jīng)過8 min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子，則再經(jīng)過min，容器中的沙子只有開始時(shí)的八分之一.16當(dāng)t0時(shí)，ya，當(dāng)t8時(shí)，yae8ba，e8b，容器中的沙子只有開始時(shí)的八分之一時(shí)，即yaeb ta，eb t（e8 b）3e24b，則t24，所以再經(jīng)過16 min.考點(diǎn)3構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題的步驟構(gòu)造二次函數(shù)、分段函數(shù)模型國慶期間，某旅行社組團(tuán)去風(fēng)景區(qū)旅游，若每團(tuán)人數(shù)在30或30以下，飛機(jī)票每張收費(fèi)900元；若每團(tuán)人數(shù)多于30，則給予優(yōu)惠：每多1人，機(jī)票每張減少10元，直到達(dá)到規(guī)定人數(shù)75為止.每團(tuán)乘飛機(jī)，旅行社需付給航空公司包機(jī)費(fèi)15 000元.（1）寫出每張飛機(jī)票的價(jià)格關(guān)于人數(shù)的函數(shù)；（2）每團(tuán)人數(shù)為多少時(shí)，旅行社可獲得最大利潤？解（1）設(shè)每團(tuán)人數(shù)為x，由題意得0x75（xN*），每張飛機(jī)票價(jià)格為y元，則y即y（2）設(shè)旅行社獲利S元，則S即S因?yàn)镾900x15 000在區(qū)間（0,30上為增函數(shù)，故當(dāng)x30時(shí)，S取最大值12 000.又S10（x60）221 000，x（30,75，所以當(dāng)x60時(shí)，S取得最大值21 000.故當(dāng)x60時(shí)，旅行社可獲得最大利潤.解題過程謹(jǐn)防2種失誤（1）二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性等解決，但一定要密切注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯(cuò).（2）求分段函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)先求出每一段上的最值，然后比較大小得解.構(gòu)造yx（a0）模型某養(yǎng)殖場需定期購買飼料，已知該養(yǎng)殖場每天需要飼料200千克，每千克飼料的價(jià)格為1.8元，飼料的保管費(fèi)與其他費(fèi)用平均每千克每天0.03元，購買飼料每次支付運(yùn)費(fèi)300元.求該養(yǎng)殖場多少天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費(fèi)用最少.解設(shè)該養(yǎng)殖場x（xN*）天購買一次飼料，平均每天支付的總費(fèi)用為y元.因?yàn)轱暳系谋９苜M(fèi)與其他費(fèi)用每天比前一天少2000.036（元），所以x天飼料的保管費(fèi)與其他費(fèi)用共是6（x1）6（x2）6（3x23x）（元）.從而有y（3x23x300）2001.83x3572357417，當(dāng)且僅當(dāng)3x，即x10時(shí)，y有最小值.故該養(yǎng)殖場10天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費(fèi)用最少.利用模型f（x）ax求解最值時(shí)，要注意自變量的取值范圍及取得最值時(shí)等號成立的條件.構(gòu)建指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型（1）世界人口在過去40年翻了一番，則每年人口平均增長率約是（參考數(shù)據(jù)lg 20.301 0,100.007 51.017）（）A.1.5%B.1.6%C.1.7% D.1.8%（2）十三屆全國人大一次會議政府工作報(bào)告指出：過去五年來，我國經(jīng)濟(jì)實(shí)力躍上新臺階.國內(nèi)生產(chǎn)總值從54萬億元增加到82.7萬億元，年均增長7.1%，占世界經(jīng)濟(jì)比重從11.4%提高到15%左右，對世界經(jīng)濟(jì)增長貢獻(xiàn)率超過30%,2018年發(fā)展的預(yù)期目標(biāo)是國內(nèi)生產(chǎn)總值增長6.5%左右.如果從2018年開始，以后每年的國內(nèi)生產(chǎn)總值都按6.5%的增長率增長，那么2020年的國內(nèi)生產(chǎn)總值約為（提示：1.06531.208）（）A.93.8萬億元 B.99.9萬億元C.97萬億元 D.106.39萬億元（1）C（2）B（1）設(shè)每年人口平均增長率為x，則（1x）402，兩邊取以10為底的對數(shù)，則40lg（1x）lg 2，所以lg（1x）0.007 5，所以100.007 51x，得1x1.017，所以x1.7%.故選C.（2）由題意可知，2020年我國國內(nèi)年生產(chǎn)總值約為：82.7（16.5%）399.9（萬億元）.故選B.（1）與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型有關(guān)的實(shí)際問題，在求解時(shí)，要先學(xué)會合理選擇模型，指數(shù)函數(shù)模型（底數(shù)大于1）是增長速度越來越快的一類函數(shù)模型，與增長率、銀行利率有關(guān)的問題都屬于指數(shù)函數(shù)模型.（2）在解決指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型問題時(shí)，一般先需要通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)的圖象求解最值問題，必要時(shí)可借助導(dǎo)數(shù).1.某化工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場要求雜質(zhì)含量不超過0.1%，若初時(shí)含雜質(zhì)2%，每過濾一次可使雜質(zhì)含量減少，至少應(yīng)過濾次才能達(dá)到市場要求.（已知lg 20.301 0，lg 30.477 1）8設(shè)至少過濾n次才能達(dá)到市場要求，則2%0.1%，即，所以nlg 1lg 2，所以n7.39，所以n8.2.某景區(qū)提供自行車出租，該景區(qū)有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費(fèi)用是每日115元.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超出6元，則每超過1元，租不出的自行車就增加3輛.為了便于結(jié)算，每輛自行車的日租金x（元）只取整數(shù)，并且要求租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費(fèi)用，用y（元）表示出租自行車的日凈收入（即一日中出租自行車的總收入減去管理費(fèi)用后得到的部分