廣東省高一數(shù)學(xué)尖子班教案直線的一般式方程及綜合VIP

廣東省高一數(shù)學(xué)尖子班教案直線的一般式方程及綜合 第1頁(yè)共12頁(yè)廣東省高一數(shù)學(xué)尖子班教案直線的一般式方程及綜合【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1掌握直線的一般式方程；2能將直線的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式等方程化為直線的一般式方程，并理解這些直線的不同形式的方程在表示直線時(shí)的異同之處；3能利用直線的一般式方程解決有關(guān)問題.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn) 一、直線方程的一般式關(guān)于x和y的一次方程都表示一條直線我們把方程寫為Ax+By+C=0，這個(gè)方程(其中A、B不全為零)叫做直線方程的一般式要點(diǎn)詮釋1A、B不全為零才能表示一條直線，若A、B全為零則不能表示一條直線.當(dāng)B0時(shí)，方程可變形為A Cy xB B，它表示過點(diǎn)0,CB，斜率為AB的直線當(dāng)B=0，A0時(shí)，方程可變形為Ax+C=0，即CxA，它表示一條與x軸垂直的直線由上可知，關(guān)于x、y的二元一次方程，它都表示一條直線2在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)關(guān)于x、y的二元一次方程對(duì)應(yīng)著唯一的一條直線，反過來(lái)，一條直線可以對(duì)應(yīng)著無(wú)數(shù)個(gè)關(guān)于x、y的一次方程（如斜率為2，在y軸上的截距為1的直線，其方程可以是2xy+1=0，也可以是11022x y，還可以是4x2y+2=0等）要點(diǎn) 二、直線方程的不同形式間的關(guān)系第2頁(yè)共12頁(yè)直線方程的五種形式的比較如下表名稱方程的形式常數(shù)的幾何意義適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)y1=k(xx1)（x1，y1）是直線上一定點(diǎn)，k是斜率不垂直于x軸斜截式y(tǒng)=kx+b k是斜率，b是直線在y軸上的截距不垂直于x軸兩點(diǎn)式112121y y x xyy x x（x1，y1），（x2，y2）是直線上兩定點(diǎn)不垂直于x軸和y軸截距式1x yaba是直線在x軸上的非零截距，b是直線在y軸上的非零截距不垂直于x軸和y軸，且不過原點(diǎn)一般式Ax+By+C=0（A2+B20）A、B、C為系數(shù)任何位置的直線要點(diǎn)詮釋在直線方程的各種形式中，點(diǎn)斜式與斜截式是兩種常用的直線方程形式，要注意在這兩種形式中都要求直線存在斜率，兩點(diǎn)式是點(diǎn)斜式的特例，其限制條件更多（x1x2，y1y2），應(yīng)用時(shí)若采用(y2y1)(xx1)(x2x1)(yy1)=0的形式，即可消除局限性截距式是兩點(diǎn)式的特例，在使用截距式時(shí)，首先要判斷是否滿足“直線在兩坐標(biāo)軸上的截距存在且不為零”這一條件直線方程的一般式包含了平面上的所有直線形式一般式常化為斜截式與截距式若一般式化為點(diǎn)斜式，兩點(diǎn)式，由于取點(diǎn)不同，得到的方程也不同要點(diǎn) 三、直線方程的綜合應(yīng)用第3頁(yè)共12頁(yè)1已知所求曲線是直線時(shí)，用待定系數(shù)法求2根據(jù)題目所給條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，求出直線方程對(duì)于兩直線的平行與垂直，直線方程的形式不同，考慮的方向也不同 （1）從斜截式考慮已知直線111:b xk yl,222:b xk yl,12121212/()l lk kb b；12121211221tan cot12l lk k kk于是與直線y kx b平行的直線可以設(shè)為1y kxb；垂直的直線可以設(shè)為21y xbk （2）從一般式考慮11112222:0,:0l Ax By Cl Ax By C1212120l lA A B B121221/0l lA BA B且12210AC AC或12210B CB C，記憶式（111222A B CA B C）1l與2l重合，12210A BA B，12210AC AC，12210BCBC于是與直線0Ax ByC平行的直線可以設(shè)為0Ax ByD；垂直的直線可以設(shè)為0Bx AyD.【典型例題】類型一直線的一般式方程例1根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程 （1）斜率是12，經(jīng)過點(diǎn)A（8，2）； （2）經(jīng)過點(diǎn)B（4，2），平行于x軸； （3）在x軸和y軸上的截距分別是32，3； （4）經(jīng)過兩點(diǎn)P1（3，2），P2（5，4）【答案】 （1）x+2y4=0 （2）y2=0 （3）2xy3=0 （4）10x y第4頁(yè)共12頁(yè)【解析】 （1）由點(diǎn)斜式方程得1 (2) (8)2y x，化成一般式得x+2y4=0 （2）由斜截式得y=2，化為一般式得y2=0 （3）由截距式得1332x y，化成一般式得2xy3=0 （4）由兩點(diǎn)式得234 (2)53y x，化成一般式方程為10x y【總結(jié)升華】本題主要是讓學(xué)生體會(huì)直線方程的各種形式，以及各種形式向一般式的轉(zhuǎn)化，對(duì)于直線方程的一般式，一般作如下約定x的系數(shù)為正，x，y的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)一般不出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，一般按含x項(xiàng)、y項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)順序排列求直線方程的題目，無(wú)特別要求時(shí)，結(jié)果寫成直線方程的一般式舉一反三【變式1】已知直線l經(jīng)過點(diǎn)(3,1)B，且傾斜角是30，求直線的點(diǎn)斜式方程和一般式方程.【答案】31 (3)3y x333330x y【解析】因?yàn)橹本€傾斜角是30，所以直線的斜率3tan tan303k，所以直線的點(diǎn)斜式方程為31 (3)3y x，化成一般式方程為333330x y.例2ABC的一個(gè)頂點(diǎn)為(1,4)A，B、C的平分線在直線10y和10x y上，求直線BC的方程.【答案】230x y【解析】由角平分線的性質(zhì)知，角平分線上的任意一點(diǎn)到角兩邊的距離相等，所以可得A點(diǎn)關(guān)于B的平分線的對(duì)稱點(diǎn)A在BC上，B點(diǎn)關(guān)于C的平分線的對(duì)稱點(diǎn)B也在BC上寫出直線AB的方程，即為直線BC的方程.例3求與直線3x+4y+1=0平行且過點(diǎn)（1，2）的直線l的方程第5頁(yè)共12頁(yè)【答案】3x+4y11=0【解析】解法一設(shè)直線l的斜率為k，l與直線3x+4y+1=0平行，34k又l經(jīng)過點(diǎn)（1，2），可得所求直線方程為32 (1)4y x，即3x+4y11=0解法二設(shè)與直線3x+4y+1=0平行的直線l的方程為3x+4y+m=0，l經(jīng)過點(diǎn)（1，2），31+42+m=0，解得m=11所求直線方程為3x+4y11=0【總結(jié)升華】 （1）一般地，直線Ax+By+C=0中系數(shù)A、B確定直線的斜率，因此，與直線Ax+By+C=0平行的直線可設(shè)為Ax+By+m=0，這是常采用的解題技巧我們稱Ax+By+m=0是與直線Ax+By+C=0平行的直線系方程參數(shù)m可以取mC的任意實(shí)數(shù)，這樣就得到無(wú)數(shù)條與直線Ax+By+C=0平行的直線當(dāng)m=C時(shí)，Ax+By+m=0與Ax+By+C=0重合 （2）一般地，經(jīng)過點(diǎn)A（x0，y0），且與直線Ax+By+C=0平行的直線方程為A(xx0)+B(yy0)=0 （3）類似地有與直線Ax+By+C=0垂直的直線系方程為BxAy+m=0（A，B不同時(shí)為零）舉一反三【變式1】已知直線1l3mx+8y+3m-10=0和2l x+6my-4=0.問m為何值時(shí): （1）1l與2l平行 （2）1l與2l垂直.【答案】 （1）23m （2）0m【解析】當(dāng)0m時(shí)，1l8y-10=0；2l x-4=0，12l l第6頁(yè)共12頁(yè)當(dāng)0m時(shí)，1l310388m my x；2l1466y xmm由3186mm，得23m，由103486mm得2833m或而31()()186mm無(wú)解綜上所述 （1）23m，1l與2l平行 （2）0m，1l與2l垂直【變式2】求經(jīng)過點(diǎn)A（2，1），且與直線2x+y10=0垂直的直線l的方程【答案】x2y=0【解析】因?yàn)橹本€l與直線2x+y10=0垂直，可設(shè)直線l的方程為20x ym，把點(diǎn)A（2，1）代入直線l的方程得0m，所以直線l的方程為x2y=0類型二直線與坐標(biāo)軸形成三角形問題例4已知直線l的傾斜角的正弦值為35，且它與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6，求直線l的方程【思路點(diǎn)撥】知道直線的傾斜角就能求出斜率，進(jìn)而引進(jìn)參數(shù)直線在y軸上的截距b，再根據(jù)直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6，便可求出b也可以根據(jù)直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6，設(shè)截距式直線方程，從而得出1|62ab，再根據(jù)它的斜率已知，從而得到關(guān)于a，b的方程組，解之即可【答案】334y x或334y x【解析】解法一設(shè)l的傾斜角為，由3sin5，得3tan4設(shè)l的方程為34y xb，令y=0，得43xb直線l與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為4,03b，（0，b）第7頁(yè)共12頁(yè)2142|6233S b bb，即b2=9，b=3故所求的直線方程分別為334y x或334y x解法二設(shè)直線l的方程為1x yab，傾斜角為，由3sin5，得3tan41|6234a bba，解得43ab故所求的直線方程為143x y或143x y【總結(jié)升華】 （1）本例中，由于已知直線的傾斜角（與斜率有關(guān)）及直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積（與截距有關(guān)），因而可選擇斜截式直線方程，也可選用截距式直線方程，故有“題目決定解法”之說 （2）在求直線方程時(shí)，要恰當(dāng)?shù)剡x擇方程的形式，每種形式都具有特定的結(jié)論，所以根據(jù)已知條件恰當(dāng)?shù)剡x擇方程的類型往往有助于問題的解決例如已知一點(diǎn)的坐標(biāo)，求過這點(diǎn)的直線方程，通常選用點(diǎn)斜式，再由其他條件確定該直線在y軸上的截距；已知截距或兩點(diǎn)，選擇截距式或兩點(diǎn)式在求直線方程的過程中，確定的類型后，一般采用待定系數(shù)法求解，但要注意對(duì)特殊情況的討論，以免遺漏舉一反三【變式1】如下圖，射線OA、OB分別與x軸正半軸成45、30過點(diǎn)P（1，0）作直線AB分別交OA、OB于點(diǎn)A、B當(dāng)AB的中點(diǎn)C恰好落在直線12y x上時(shí)，求直線AB的方程第8頁(yè)共12頁(yè)【答案】33 (1)2y x【解析】設(shè)直線AB的方程為 (1)y kx，因?yàn)橹本€OA為y x，直線OB為33y x，求得,AB兩點(diǎn)坐標(biāo)分別是3(,),113331k kk kABk kkk，求得C點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)一步求出斜率332k，所以直線方程為33 (1)2y x例5.過點(diǎn)P(2，1)作直線l與x軸、y軸正半軸交于A、B兩點(diǎn)，求AOB面積的最小值及此時(shí)直線l的方程.【思路點(diǎn)撥】因直線l已經(jīng)過定點(diǎn)P(2，1)，只缺斜率，可先設(shè)出直線l的點(diǎn)斜式方程，且易知k0且1-2k0故k0，b0，點(diǎn)P(2，1)在直線l上，故112b a，由均值不等式:1=,82212abab b a得當(dāng)且僅當(dāng)2112ba，即a=4，b=2時(shí)取等號(hào)，且S=21ab=4，此時(shí)l方程為,124y x即:x+2y-4=0.解法三如圖，過P(2，1)作x軸與y軸的垂線PM、PN，垂足分別為M、N，設(shè)=PAM=BPN，則AOB面積S=S矩形OMPN+SPAM+SBPN=1121cot2tan22cot2tan22=4，當(dāng)且僅當(dāng)11cot2tan,tan22即時(shí)，SAOB有最小值4，故此時(shí)直線l的方程為y-1=-21(x-2)，即:x+2y-4=0.【總結(jié)升華】解法一與解法二選取了直線方程的不同形式，解法三考慮到圖形的直觀性，利用了形數(shù)結(jié)合的思想，體現(xiàn)了解題的“靈活性”.已知直線過一點(diǎn)時(shí)，常設(shè)其點(diǎn)斜式方程，但需注意斜率不存在的直線不能用點(diǎn)斜式表示，從而使用點(diǎn)斜式或斜截式方程時(shí)，要考慮斜率不存在的情況，以免丟解.而直線在坐標(biāo)軸上的截距，可正、可負(fù)，也可以為零，不能與距離混為一談，注意如何由直線方程求其在坐標(biāo)軸上的截距.舉一反三第10頁(yè)共12頁(yè)【變式1】已知a（0，2），直線l1ax2y2a+4=0和直線l22x+a2y2a2y2=0與坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，要使此四邊形面積最小，求a的值【答案】12【解析】直線l1與y軸交點(diǎn)為A（0，2-a），直線l2與x軸交點(diǎn)為B（a2+2，0），如圖由直線l1ax2y2a+4=0，l22x+a2y2a2y2=0知，兩直線的交點(diǎn)為（2，2），過C點(diǎn)作x軸垂線，垂足為D，于是S四邊形AOBC=S梯形AODC+SBCD=211 (22)222a a=24a a=2115()24a所以當(dāng)12a時(shí)，S四過形AOBC最小類型三直線方程的實(shí)際應(yīng)用例6一條光線從點(diǎn)(3,2)A出發(fā)，經(jīng)x軸反射，通過點(diǎn)(1,6)B，求入射光線和反射光線所在直線的方程【思路點(diǎn)撥】利用對(duì)稱的知識(shí)來(lái)求解。 【答案】240x y240x y【解析】點(diǎn)(3,2)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(3,2)A，由兩點(diǎn)式可得直線AB的方程為612631y x即240x y同理點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(1,6)B，由兩點(diǎn)式可得直線AB的方程為236213y x第11頁(yè)共12頁(yè)入射光線所在直線方程為240x y，反射光線所在直線方程為240x y【總結(jié)升華】一般地，點(diǎn)(,)A ab關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(,)A ab，關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(,)A ab例7如圖，某房地產(chǎn)公司要在荒地ABCDE上劃出一塊長(zhǎng)方形土地（不改變方向）建造一幢8層的公寓，如何設(shè)計(jì)才能使公寓占地面積最大？并求出最大面積（精確到1m2）【答案】6017【解析】建立坐標(biāo)系，則B（30，0），A（0，20）由直線的截距方程得到線段AB的方程為13020x y（0x30）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則有2203yx公寓的占地面積為2 (100) (80) (100) (8020)3S x yxx2220600033xx（0x30）當(dāng)x=5，503y時(shí)，S取最大值，最大值為222205560006017(m)33S即當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為50(5,)3時(shí)，公寓占地面積最大，最大面積為60