2009級(jí)信息與計(jì)算科學(xué)-王濤-特征值與特征向量的分析與應(yīng)用.doc

畢 業(yè) 論 文題 目： 特征值與特征向量的分析與應(yīng)用作 者： 王 濤 指導(dǎo)教師： 馬鵬程 職 稱： 講 師 院 系： 理學(xué)院數(shù)學(xué)系 專 業(yè)： 信息與計(jì)算科學(xué) 班 級(jí)： 2009級(jí)1班 日 期： 2013年6月 特征值與特征向量的分析與應(yīng)用摘 要：特征值與特征向量是代數(shù)中一個(gè)重要的部分，并在理論和學(xué)習(xí)和實(shí)際生活，特別是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)方面都有很重要的作用.本文介紹了特征值與特征向量的定義以及性質(zhì)，并且寫出了線性空間中線性變換的特征值、特征向量與矩陣的特征值、特征向量之間的關(guān)系.其次介紹了特征值與特征向量的幾種解法：利用特征方程求特征值進(jìn)而求特征向量、行列互逆變換法、利用矩陣的初等變換求特征值和特征向量.最后重點(diǎn)介紹了特征值特征向量的應(yīng)用，如n階矩陣的高次冪的求解以及矩陣特征值反問題的求解，經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染的增長模型等等.本文充分利用特征值與特征向量的特性求解相關(guān)問題，計(jì)算顯得非常簡潔，在解決具體問題上具有很大的優(yōu)越性.當(dāng)然關(guān)于矩陣的特征值和特征向量的內(nèi)容很廣，本文僅就特征向量的性質(zhì)以及一些應(yīng)用展開研究.關(guān)鍵詞：特征值；特征向量；矩陣；初等變換；The analysis and application of eigenvalue and eigenvector Abstract: As an important part of algebra, Eigenvalue and Eigenvector of a Matrix have a very important application in theoretical study and practical life, especially in modern science and technology. Firstly, this paper presents the definition of eigenvalue and eigenvector and their properties, it writes the relationship between the eigenvalue, eigenvector of the linear transform of the linear space and eigenvalues and eigenvectors of matrix. Secondly, it presents several solutions of the eigenvalue and eigenvector; the characteristic equation for eigenvalue and eigenvector; the method of reversible transform on Rows and columns; the elementary transformation of matrix inverse for eigenvalues and eigenvectors. Thirdly, It introduces the application of eigenvalue eigenvector, such as solving the high power of n order matrix ,dealing with the inverse problem of matrix eigenvalues，Growth model of economic development and environmental pollution and etc. This paper fully utilize eigenvalue and eigenvector to solve related issues, this approach needs certain skills， Of course, the content about matrix eigenvalues and eigenvectors is very wide, this article mainly deals with the properties of eigenvector and some application.Key words：eigenvalue；eigenvector；matrix；transformation .目 錄引 言.11 特征值與特征向量的理論.21.1特征值與特征向量的定義和性質(zhì).21.1.1 特征值與特征向量的定義.21.1.2 特征值與特征向量的性質(zhì).31.2 特征值與特征向量的解法.51.2.1 數(shù)字方陣的特征值與特征向量.51.2.2 行列互逆變換法.61.2.3 利用矩陣的初等變換解特征值特征向量.102 特征值與特征向量的應(yīng)用.152.1在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的簡單應(yīng)用.152.1.1在 n階矩陣的高次冪解法中的應(yīng)用.152.1.2在矩陣特征值反問題求解中的應(yīng)用.162.1.3利用矩陣的特征值與特征向量求可對(duì)角矩陣的參數(shù).162.2在生產(chǎn)生活中的應(yīng)用.172.2.1在天氣Markov鏈的穩(wěn)定狀態(tài)方面的應(yīng)用.172.2.2在萊斯利種群模型中的應(yīng)用.182.2.3在經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染的增長模型方面的應(yīng)用.24小 結(jié).28致 謝.29參 考 文 獻(xiàn).30引 言矩陣是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的基本概念之一,是代數(shù)學(xué)的一個(gè)主要研究對(duì)象,也是數(shù)學(xué)研究和應(yīng)用的一個(gè)重要工具， 矩陣的特征值與特征向量問題是矩陣?yán)碚摰闹匾M成部分，它在高等代數(shù)和其他科技領(lǐng)域中占有重要的位置。同時(shí)它又貫穿了高等代數(shù)的許多重要方面， 對(duì)矩陣的特征值與特征向量的理論研究和及其應(yīng)用探究，不僅對(duì)提高高等代數(shù)以及相關(guān)課程的理解有很大幫助，而且在理論上也很重要，可以直接用來解決實(shí)際問題。本文給出了特征值與特征向量的概念及其性質(zhì)，特征值與特征向量性質(zhì)是最基本的內(nèi)容，特征值與特征向量的討論使得這一工具的使用更加便利，解決問題的作用更強(qiáng)有力，其應(yīng)用也就更廣泛。在此基礎(chǔ)上，對(duì)矩陣的特征值與特征向量的計(jì)算進(jìn)行詳盡的闡述和說明。 利用特征方程求特征值進(jìn)而求特征向量法、行列互逆變換法、矩陣的初等變換求特征值和特征向量。由于特征值與特征向量的應(yīng)用是多方面的，本文重點(diǎn)介紹了對(duì)特征值與特征向量的應(yīng)用探究,闡述了特征值和特征向量在矩陣運(yùn)算中的作用及矩陣的高次冪和反求解問題的應(yīng)用。在例題解析中運(yùn)用一些特征值與特征向量的性質(zhì)和方法，可以使問題更簡單，運(yùn)算上更方便，是簡化有關(guān)復(fù)雜問題的一種有效途徑。本文就是通過大量的例子加以說明運(yùn)用特征值與特征向量的性質(zhì)可以使問題更加清楚，從而使高等代數(shù)中的大量習(xí)題迎刃而解，把特征值與特征向量在解決實(shí)際問題中的優(yōu)越性表現(xiàn)出來.1 特征值與特征向量的理論1.1 特征值與特征向量的定義和性質(zhì)1.1.1 特征值與特征向量的定義定義1 設(shè)是階矩陣，如果存在數(shù)與維零向量，使關(guān)系式 成立，那么，這樣的數(shù)稱為方陣的特征值，非零向量稱為方陣的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量（可以是復(fù)數(shù)，的元素與的分量也可以是復(fù)數(shù)）.可以將關(guān)系式 寫成 這是個(gè)未知數(shù)個(gè)方程的齊次線形方程組.其有非零解的充分必要條件是：系數(shù)行列式. 方程組是以為未知數(shù)的一元次方程，稱為方陣的特征方程.是的次多項(xiàng)式，記作,稱為方陣的特征多項(xiàng)式.顯然，的特征值就是特征方程的解.特征方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)恒有解，其個(gè)數(shù)為方程的次數(shù)（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）.因此，階矩陣在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有個(gè)特征值.定理1設(shè)階矩陣的特征值為，則有（1），（2）.證明:因?yàn)?，由多?xiàng)式的分解定理，有，比較的系數(shù)，得，又，則定理得證.數(shù)稱為方陣的跡記作.由此可知，矩陣可逆的充分必要條件是的所有特征值不為零.顯然，方陣與具有相同的特征多項(xiàng)式與特征值.設(shè)為方陣的一個(gè)特征值，則由方程，可求得非零解，那么便是的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量.若為實(shí)數(shù)，則可取實(shí)向量；若為復(fù)數(shù)，則為復(fù)向量.1.1.2矩陣特征值與特征向量的性質(zhì)性質(zhì)1當(dāng)特征值是單根時(shí)，可求得一個(gè)特征向量；當(dāng)特征值是重根時(shí)，二重特征根對(duì)應(yīng)兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，或二重根特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量都是線性相關(guān)的.性質(zhì)2若是矩陣的特征值，則是的特征值，且當(dāng)可逆時(shí)，是的特征值.證明: 因?yàn)槭堑奶卣髦担视?，?于是(1) ，所以，是的特征值.(2)當(dāng)可逆時(shí)，由，有，因?yàn)?知，故,所以，是的特征值.注：這也證明了矩陣可逆的必要條件為矩陣的特征值全不為零.按此例類推，不難證明：若是的特征值，則是的特征值. 是的特征值，其中： 是的多項(xiàng)式,是矩陣的多項(xiàng)式.當(dāng)可逆時(shí)，,是的特征值.性質(zhì)3設(shè)是方陣的個(gè)不同的特征值，依次是與之對(duì)應(yīng)的特征向量，則線性無關(guān).證明: 設(shè)有常數(shù)，使,則 ，即 ，依此類推，有 ,把以上各式合寫成矩陣形式，得,因?yàn)樯鲜街械忍?hào)左端第二個(gè)矩陣的行列式為范德蒙行列式，所以，當(dāng)各不相同時(shí)，該行列式不等于，進(jìn)而知該矩陣可逆，于是有,即對(duì)每一個(gè)，有.但，故.所以，向量組線性無關(guān).性質(zhì)4 相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式.證明：設(shè)與相似,即有可逆矩陣,使.于是.1.2 特征值與特征向量的解法1.2.1 求數(shù)字方陣的特征值與特征向量由方陣的特征值和特征向量的定義知:是的屬于的特征向量 因?yàn)樗允驱R次線性方程組的非零解，所以是特征方程的根。 將上述過程逆敘得到求數(shù)字方陣的特征值和特征向量的步驟如下:(1) 計(jì)算的特征多項(xiàng)式；(2) 解特征方程,求出它的全部根 ,它們就是的全部特征值。(3) 對(duì)每一個(gè)特征值 ,求出齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系,這個(gè)基礎(chǔ)解系便是的屬于的線性無關(guān)的特征向量,則的屬于的全部特征向量是這個(gè)解系的非零線性組合: ,其中是不全為零的數(shù).例 設(shè)線性變換在下的矩陣是，求的特征值與特征向量.解：因?yàn)樘卣鞫囗?xiàng)式為.所以特征值（二重）和5.把特征值代入齊次方程組得到它的基礎(chǔ)解系是，.因此屬于的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量就是，.而屬于的全部特征向量就是，取遍數(shù)域中不全為零的全部數(shù)對(duì).再用特征值5代入，得到它的基礎(chǔ)解系是，因此，屬于5的一個(gè)線性無關(guān)的特征向量就是，而屬于5的全部特征向量就是，是數(shù)域中任意不等于零的數(shù).1.2.2 行列互逆變換法為了定理的敘述方便，先給出一個(gè)定義.定義2把矩陣的下列三種變換稱為行列互逆變換:（1） 互換i、j兩列,同時(shí)互換j、i兩行；（2） 第i行乘以非零數(shù)，同時(shí)第j列乘；（3） 第 i行倍加到第 j行，同時(shí)第 j列倍加到第 i列 .定理2 為n階可對(duì)角化矩陣，并且其中，則為的全部特征值，為的對(duì)應(yīng)的特征向量.證明：由行初等變換等價(jià)于左乘初等矩陣，列變換等價(jià)于右乘初等矩陣的性質(zhì)及行列互逆變換的定義知，為若干初等矩陣的乘積，當(dāng)然可逆，且，即，所以 .因?yàn)?，所以 ，則 ，所以 因此，該方法求出的為的特征值，為的對(duì)應(yīng)特征值的特征向量 為了運(yùn)算上的方便，這里約定： 1.表示矩陣的第j行倍加入第i行； 2.表示矩陣的第j列的倍加入第 i 列 由于用定理2求解時(shí)，總會(huì)遇到形如 或形式的矩陣化對(duì)角陣問題，為此給出具體方法：或 ，其中.則為的分別對(duì)應(yīng)特征值和的特征向量； 為的分別對(duì)應(yīng)特征值和的特征向量.例 求的特征值與特征向量.解： 所以，特征值；特征向量分別為.例 求的特征值與特征向量.解： . 所以，特征值分別為；特征向量分別為，.下面給出定理1的推廣定理.定理3 為任意階方陣，若，其中為約當(dāng)矩陣，為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形. ，則為的特征值；為的對(duì)應(yīng)特征值的特征向量.證明：由一般代數(shù)書中定理可知必相似于一約當(dāng)矩陣，按定理2中化簡方法，則有，即，其中，所以 ，故有 ，所以為的特征值；為的對(duì)應(yīng)的特征向量.例 求的特征值與特征向量.解：所以特征值為，對(duì)應(yīng)特征值的特征向量，對(duì)應(yīng)的特征向量為.1.2.3 利用矩陣的初等變換解特征值特征向量 引理 矩陣左乘或右乘一個(gè)可逆矩陣，其秩不變.即若為矩陣，分別是m和n階可逆矩陣，則.由此可知，若，且為n階單位矩陣，則形如的矩陣必可經(jīng)過一系列變換成的形式，其中為矩陣且，分別為和矩陣，為零矩陣，從而有：定理4 設(shè)為矩陣，其秩，則比存在n階可逆矩陣，使，且的個(gè)列向量就是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.證明： 此處只需證明的列向量是的基礎(chǔ)解系即可. 事實(shí)上，由得，即，從而，.這說明的個(gè)列向量是齊次線性方程組的解向量. 另設(shè)矩陣的列向量為，則由知向量組即為的列向量，因可逆，所以向量組線性無關(guān)，因此的列向量就是的基礎(chǔ)解系.例 求 的一組基礎(chǔ)解系.解：利用初等列變換，得 從而，所求基礎(chǔ)解系為.定理5 設(shè)為n階方陣，則其特征矩陣可通過初等列變換化為下三角矩陣，記為 ，從而使的解就是矩陣的全部特征值.證明：由初等變換理論，存在n階可逆矩陣，使，由此得.從而使的解就是的解.這樣，由定理1和定理2可以得到同時(shí)求解方陣的特征值與特征向量的一種解法：第一步，作如下初等變換：，并由求得矩陣的特征值.第二步，將代入，則有或. 因?yàn)?，所以由定?即知的列向量就是的對(duì)應(yīng)于特征值的線性無關(guān)的特征向量.例 求矩陣的特征值與特征向量.解：所以，由得矩陣的特征值為. 將代入，得. 所以對(duì)應(yīng)于的特征向量為 ( 此處二重特征值只對(duì)應(yīng)一個(gè)線性無關(guān)的特征向量). 將代入，得. 所以對(duì)應(yīng)于的特征向量為. 這里用初等列變換的方法同時(shí)求出來矩陣的特征值與特征向量，完全類似地，利用初等行變換也可以實(shí)現(xiàn)這一過程，其方法如下： (1) 對(duì)矩陣施行初等行變換將其化為矩陣，其中為含有的上三角矩陣，為經(jīng)過初等變換得到的矩陣； (2) 由行列式求得矩陣的特征值； (3) 將代入中，若不是行標(biāo)準(zhǔn)形， 則通過初等行變換將其化為行標(biāo)準(zhǔn)型，并記秩， 則中的后個(gè)行向量的轉(zhuǎn)置就是對(duì)應(yīng)的特征向量 例 求特征值與特征向量.解：因?yàn)樘卣骶仃嚕?從而由即求得的特征值為（二重）和. 當(dāng)時(shí)，所以，且的后兩行的轉(zhuǎn)置即為對(duì)應(yīng)的特征向量，即.當(dāng)時(shí)，所以，且的最后一行的轉(zhuǎn)置即為對(duì)應(yīng)的特征向量，即.2特征值與特征向量的應(yīng)用研究2.1 在數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域的簡單應(yīng)用2.1.1 在階矩陣的高次冪解法中的應(yīng)用 當(dāng)階矩陣可對(duì)角化時(shí)，即矩陣可與對(duì)角陣相似時(shí)，計(jì)算其高次冪有簡單的方法，當(dāng)階矩陣滿足下面的四個(gè)條件之一時(shí)，即可對(duì)角化，即.（1）階矩陣有個(gè)線性無關(guān)的特征向量；（2）階矩陣有個(gè)互不相等的特征值；（3）階矩陣的每個(gè)特征值，均有，即特征值的幾何常數(shù)等于其代數(shù)常數(shù)；（4）為是對(duì)稱矩陣.對(duì)于，是由的個(gè)特征向量組成的矩陣. 是由的n個(gè)特征值構(gòu)成的對(duì)角陣，那么有：其中，故.例 已知矩陣，求（其中為正整數(shù)）. 分析 矩陣的高次冪的求解一般是有技巧的，這里因矩陣為是對(duì)稱矩陣，故可對(duì)角化，可按上面討論的方法求之.解：因?yàn)?，所以矩陣為是?duì)稱矩陣，故可對(duì)角化. 由所學(xué)可知，矩陣的3個(gè)特征值為，其對(duì)應(yīng)的特征向量為，故對(duì)角陣，且，又，那么有，則 .2.1.2 在矩陣的特征值反問題求解中的應(yīng)用矩陣特征值反問題的求解，即根據(jù)矩陣的特征值和特征向量的信息來決定矩陣中的元素.當(dāng)矩陣有個(gè)互不相等的特征值時(shí)，必有個(gè)線性無關(guān)的特征向量，那么矩陣必可對(duì)角化，故，其中相似變換矩陣由的個(gè)線性無關(guān)的特征向量組成.例 設(shè)3階方陣的特征值為，對(duì)應(yīng)于特征向量分別是：，求 分析 此題給出了矩陣的3個(gè)不相同的特征值及其特征向量.那么矩陣可對(duì)角化，顯然是矩陣特征值的反問題，可按上面討論的方法求之.解：由于是方陣對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量，于是有：，令，那么有，其中.由上式可得即為所求.2.1.3 利用矩陣的特征值與特征向量求可對(duì)角矩陣的參數(shù)設(shè)矩陣能相似于對(duì)角矩陣，則必存在可逆矩陣，使得,即必存在個(gè)線性無關(guān)特征值向量可組成，即重特征值必有個(gè)線性無關(guān)特征向量.例 已知能相似于對(duì)角矩陣，試確定，應(yīng)滿足的關(guān)系.解：，故無論，為何值，均有.對(duì)于，由題設(shè)知，必有兩個(gè)線性無關(guān)特征向量，即必有兩個(gè)線性無關(guān)解向量，故應(yīng)有故，應(yīng)滿足.2.2 在生產(chǎn)生活中的研究應(yīng)用2.2.1在天氣Markov鏈的穩(wěn)定狀態(tài)方面的應(yīng)用設(shè)一個(gè)地區(qū)的天氣狀態(tài)為晴、陰、雨三種狀態(tài)，今天天氣狀態(tài)出現(xiàn)的概率為向量，其中分別是今天出現(xiàn)晴、陰、雨的概率.設(shè)明天狀態(tài)概率為向量，轉(zhuǎn)移矩陣為 ， 天氣狀態(tài)概率的模型為，即 用該模型可以預(yù)測(cè)以后第天天氣狀態(tài)概率如下： ，這就是天氣Markov鏈，用它可以得到：天氣Markov鏈穩(wěn)態(tài)問題是：是否在天出現(xiàn)一個(gè)狀態(tài)概率，使，這樣第天以后的任意一天的狀態(tài)概率會(huì)是，稱是Markov鏈的穩(wěn)態(tài)分布向量.求穩(wěn)態(tài)分布向量. 解：求得A的特征矩陣為，特征值為，其中 對(duì)任意初始狀態(tài)概率向量，當(dāng)時(shí)，有結(jié)論：存在天出現(xiàn)一個(gè)狀態(tài)概率，使，這樣第天以后的任意一天的狀態(tài)概率會(huì)是。利用馬爾科夫模型對(duì)天氣情況結(jié)構(gòu)做出預(yù)測(cè)分析，在各種天氣形勢(shì)轉(zhuǎn)變中有著實(shí)際的重要意義，從而為氣象管理部門預(yù)報(bào)和決策提供科學(xué)的理論依據(jù)。2.2.2 在萊斯利（Leslie）種群模型中的應(yīng)用萊斯利種群模型研究動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的年齡分布與數(shù)量增長間的關(guān)系。 設(shè)某動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的最大生存年齡為L(單位：年），將區(qū)間0,L作等分得個(gè)年齡組 每個(gè)年齡組的長度為 設(shè)第個(gè)年齡組 的生育率（即每一雌性動(dòng)物平均生育的雌性幼體的數(shù)目）為，存活率（即第個(gè)年齡組中可存活到第個(gè)年齡組的雌性動(dòng)物的數(shù)目與第 個(gè)年齡組中雌性動(dòng)物的總數(shù)之比）為 。令 即為初始時(shí)刻該動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的年齡分布向量。取 設(shè)在時(shí)刻該動(dòng)物種群的第個(gè)年齡組中雌性動(dòng)物的數(shù)目為。 令則即為時(shí)刻該動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的年齡分布向量.顯然，隨著時(shí)間的變化，該動(dòng)物種群的各年齡組中雌性動(dòng)物的數(shù)目會(huì)發(fā)生變化. 易知，時(shí)刻該動(dòng)物種群的第一個(gè)年齡組中雌性動(dòng)物的數(shù)目等于在時(shí)段內(nèi)各年齡組中雌性動(dòng)物生育的雌性幼體的數(shù)目之和，即 又時(shí)刻該動(dòng)物種群的第個(gè)年齡組中雌性動(dòng)物的數(shù)目等于 時(shí)刻第個(gè)年齡組中雌性動(dòng)物的存活量，即 聯(lián)立和得 即 令萊斯利矩陣 則即為 于是 由此，若已知初始時(shí)刻該動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的年齡分布向量，則可計(jì)算出時(shí)刻該動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的年齡分布向量，從而對(duì)該動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的數(shù)量作出科學(xué)的預(yù)測(cè)和分析. 例 設(shè)某動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的最大生存年齡為15年，且以5年為間隔將雌性動(dòng)物分為3個(gè)年齡組0,5,5,10,10,15.由統(tǒng)計(jì)資料知，3個(gè)年齡組的雌性動(dòng)物的生育率分別為0，4，3，存活率分別為0.5，0.25，0，初始時(shí)刻3個(gè)年齡組的雌性動(dòng)物的數(shù)目分別為500，1000，500.試?yán)萌R斯利種群模型對(duì)該動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的年齡分布和數(shù)量增長的規(guī)律進(jìn)行分析. 解： 由得 下面求 由矩陣L的特征多項(xiàng)式 得L的特征值為 由矩陣L可相似對(duì)角化.對(duì)，解方程組得特征向量 對(duì)，解方程組得特征向量對(duì)解方程組得特征向量令矩陣 則P可逆，且 于是 從而 兩邊取極限得 于是，當(dāng)k充分大時(shí)， 由此式知，在初始狀態(tài)下，經(jīng)過充分長的時(shí)間后，該動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的年齡分布將趨于穩(wěn)定，即3個(gè)年齡組中雌性動(dòng)物的數(shù)目之比為 且該時(shí)刻動(dòng)物種群的3個(gè)年齡組中雌性動(dòng)物的數(shù)目分別為 且其總和為2.2.3在經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染的增長模型方面的應(yīng)用經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染是當(dāng)今世界亟待解決的兩個(gè)突出問題.為研究某地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染之間的關(guān)系，可建立如下數(shù)學(xué)模型： 設(shè)分別為某地區(qū)目前的環(huán)境污染水平與經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平，分別為該地區(qū)若干年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平，且有如下關(guān)系：令 則上述關(guān)系的矩陣形式為 此式反映了該地區(qū)當(dāng)前和若干年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平之間的關(guān)系.如 則由上式得由此可預(yù)測(cè)該地區(qū)若干年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平. 一般地，若令分別為該地區(qū)t年后的環(huán)境污染水平與經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平，則經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染的增長模型為 令 則上述關(guān)系的矩陣形式為由此，有 由此可預(yù)測(cè)該地區(qū)t年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平.下面作進(jìn)一步地討論： 由矩陣A 的特征多項(xiàng)式 得A 的特征值為對(duì) ，解方程得特征向量 對(duì)，解方程得特征向量 顯然,線性無關(guān)下面分三種情況分析： 第一種：一個(gè)性質(zhì):若是矩陣的屬于特征值的特征向,也是的屬于特征值的特征向量度（*）由(*)及特征值與特征向量的性質(zhì)知， 即 或 此式表明：在當(dāng)前的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平的前提下， 年后，當(dāng)經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平達(dá)到較高程度時(shí)，環(huán)境污染也保持著同步惡化趨勢(shì). 第二種：，所以不討論此種情況第三種：不是特征值,所以不能類似分析。但是可以由唯一線性表出來：由(*)及特征值與特征向量的性質(zhì)即 由此可預(yù)測(cè)該地區(qū)年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平. 因無實(shí)際意義而在第二種情況中未作討論，但在第三種情況的討論中仍起到了重要作用. 由經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染的增長模型易見，特征值和特征向量理論在模型的分析和研究中獲得了成功的應(yīng)用. 小 結(jié)矩陣是線性代數(shù)中的一個(gè)重要部分，特征值與特征向量問題是矩陣?yán)碚摰闹匾M成部分，特征值與特征向量有著許多具體的應(yīng)用，本文通過查閱相關(guān)的資料并在指導(dǎo)老師的指導(dǎo)和建議下對(duì)特征值與特征向量原理進(jìn)行了歸納總結(jié).首先簡單的敘述了特征值與特征向量的概念及其性質(zhì)，探究了特征值與特征向量的幾種解法，在此基礎(chǔ)上重點(diǎn)介紹了特征值與特征向量的應(yīng)用問題.矩陣的高次冪的求解是有技巧的，當(dāng)矩陣可對(duì)角化時(shí)，利用特征值與特征向量把矩陣對(duì)角化，可以簡便的解出矩陣高次冪的值.如果知道矩陣的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量求出矩陣的計(jì)算方法以及特征值與特征向量在線性遞推關(guān)系中的應(yīng)用，利用矩陣的特征值與特征向量給出了遞推關(guān)系的一種解法.給出了特征值與特征向量在矩陣運(yùn)算中使用的性質(zhì)，并且舉例說明了特征值與特征向量在矩陣運(yùn)算中的應(yīng)用.運(yùn)用一些特征值與特征向量的性質(zhì)和方法，可以使問題更簡單，運(yùn)算上更方便，是簡化有關(guān)復(fù)雜問題的一種有效途徑.特征值與特征向量理論的應(yīng)用是多方面的，不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，而且在力學(xué)、物理、科技方面都有十分廣泛的應(yīng)