焦點(diǎn)弦定理.doc

有關(guān)拋物線焦點(diǎn)弦問(wèn)題的探討參考資料 過(guò)拋物線(p0)的焦點(diǎn)F作一條直線L和此拋物線相交于A、B兩點(diǎn) 結(jié)論1：結(jié)論2：若直線L的傾斜角為，則弦長(zhǎng)證: (1)若 時(shí),直線L的斜率不存在，此時(shí)AB為拋物線的通徑,(2)若時(shí),設(shè)直線L的方程為：即 代入拋物線方程得由韋達(dá)定理由弦長(zhǎng)公式得結(jié)論3： 過(guò)焦點(diǎn)的弦中通徑長(zhǎng)最小 的最小值為,即過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)中通徑長(zhǎng)最短.結(jié)論4： 結(jié)論5： (1) (2) x1x2= 證 結(jié)論6：以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切 證：設(shè)M為AB的中點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線AA1， 過(guò)B點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線BB1， 過(guò)M點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線MM1，由梯形的中位線性質(zhì)和拋物線的定義知 故結(jié)論得證 結(jié)論7：連接A1F、B1 F 則 A1FB1F 同理 A1FB1 F結(jié)論8：（1）AM1BM1 （2）M1FAB （3）（4）設(shè)AM1 與A1F相交于H ，M1B與 FB1相交于Q 則M1，Q，F(xiàn) ，H四點(diǎn)共圓（5）證：由結(jié)論（6）知M1 在以AB為直徑的圓上 AM1BM1 為直角三角形， M1 是斜邊A1 B1 的中點(diǎn) M1FAB AM1BM1 所以M1，Q，F(xiàn),H四點(diǎn)共圓， 結(jié)論9： （1）O、B1 三點(diǎn)共線 （2）B，O，A1 三點(diǎn)共線 （3）設(shè)直線AO與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)為B1，則BB1平行于X軸（4）設(shè)直線BO與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)為A1，則AA1平行于X軸證：因?yàn)?，而所以所以三點(diǎn)共線。同理可征（2）（3）（4）結(jié)論10： 證：過(guò)A點(diǎn)作AR垂直X軸于點(diǎn)R，過(guò)B點(diǎn)作BS垂直X軸于點(diǎn)S，設(shè)準(zhǔn)線與軸交點(diǎn)為E,則 同理可得 結(jié)論11： 證: (4) x1x2= 假設(shè) 結(jié)論12：過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦AB、CD，則 推廣與深化：深化 1：性質(zhì)5中，把弦AB過(guò)焦點(diǎn)改為AB過(guò)對(duì)稱軸上一點(diǎn)E（a,0），則有證：設(shè)AB方程為my=x-a，代入得：，深化2： 性質(zhì)12中的條件改為焦點(diǎn)弦AB不垂直于x軸，AB的中垂線交x軸于點(diǎn)R，則證明：設(shè)AB的傾斜角為a，直線AB的方程為：，代入得：，即：由性質(zhì)1得，又設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則，深化3：過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作n條弦，且它們等分周角