浙江省紹興縣楊汛橋鎮(zhèn)八年級數(shù)學下冊期末復習五特殊平行四邊形試題新版浙教版.docx

期末復習五 特殊平行四邊形復習目標要求知識與方法了解矩形、菱形、正方形的概念理解矩形、菱形、正方形的判定與性質運用用矩形、菱形、正方形的判定與性質解決有關圖形的論證和計算等問題必備知識與防范點一、必備知識：1 矩形的性質及判定：（1）矩形的 個角都是直角；矩形的對角線 ；矩形既是 對稱圖形，又是 對稱圖形，它至少有 條對稱軸（2）有一個角是 的 是矩形；有 個角是直角的四邊形是矩形；對角線相等的 是矩形2 菱形的性質及判定：（1）菱形的 條邊都相等；菱形的對角線 ，并且每條對角線平分 （2）一組 相等的 是菱形；四條邊相等的四邊形是 ；對角線 的平行四邊形是菱形3 正方形的性質及判定：（1）正方形的 個角都是直角，四條邊都 ；正方形的對角線 ，并且 ，每條對角線平分一組 （2）有一組 相等，并且有一個角是 的平行四邊形是正方形；有一組鄰邊相等的 是正方形；有一個角是直角的 是正方形二、防范點：1 矩形、菱形、正方形的判定書寫要規(guī)范；2 矩形、菱形、正方形的性質可從邊、角、對角線、整體四個角度去考慮.例題精析考點一 矩形、菱形的性質例1 （1）如圖，在菱形ABCD中，AB=BD，點E、F分別在BC、CD上，且BE=CF，連結BF、DE交于點M，延長ED到H使DH=BM，連結AM，AH，則以下四個結論：BDFDCE；BMD=120；AMH是等邊三角形；S四邊形ABMD=AM2 其中正確結論的個數(shù)是（ ）A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個（2）如圖，把矩形ABCD沿EF翻折，點B恰好落在AD邊的B處，若AE2，DE6，EFB60，則矩形ABCD的面積是 .反思：（1）由已知BMDH聯(lián)想BMADHA，而全等的關鍵是證ABMADHBED.（2）根據(jù)ADBC得出DEF=EFB=60，故EFB是等邊三角形，由此得出ABE=30，再由直角三角形的性質得出AB=AB=2，即可得解.考點二 矩形、菱形的判定例2 已知：線段AB，BC，ABC=90 求作：矩形ABCD以下是甲、乙兩同學的作業(yè)：甲：以點C為圓心，AB長為半徑畫??；以點A為圓心，BC長為半徑畫??；兩弧在BC上方交于點D，連結AD，CD，四邊形ABCD即為所求（如圖1）乙：連結AC，作線段AC的垂直平分線，交AC于點M；連結BM并延長，在延長線上取一點D，使MD=MB，連結AD，CD，四邊形ABCD即為所求（如圖2）對于兩人的作業(yè)，下列說法正確的是（ ）A 甲正確，乙錯誤 B 乙正確，甲錯誤 C 甲、乙均正確 D 甲、乙均錯誤例3 已知，一張矩形紙片ABCD的邊長分別為9cm和3cm，把頂點A和C疊合在一起，得折痕EF（如圖）：（1）求證：四邊形AECF是菱形；（2）求折痕EF的長.反思：熟練掌握矩形、菱形的性質及判定，能夠利用矩形、菱形的性質求解一些簡單的計算問題.考點三 矩形、菱形、正方形綜合例4 如圖，在矩形ABCD中，AD6，DC10，菱形EFGH的三個頂點E，G，H分別在矩形ABCD的邊AB，CD，DA上，AH2，連結CF，BF.（1）若DG2，求證：四邊形EFGH為正方形；（2）若AEx，求EBF的面積S關于x的函數(shù)表達式，并判斷是否存在x，使EBF的面積是CGF面積的2倍. 若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由；（3）求GCF面積的最小值.反思：（1）證第（1）小題圖形不準，要抓住GDHHAE（HL），證明GHE90；（2）解第（2）小題的關鍵是構造FNGHAE，F(xiàn)EMHGD；（3）求GCF面積的最小值要抓住GC邊上的高不變，GC最小只要DG最大，DH4，GHHE最大，點E與點B重合時，GCF的面積取最小.考點四 特殊平行四邊形拓展探究例5 如圖1，四邊形ABCD是正方形，M是BC邊上的一點，E是CD邊的中點，AE平分DAM.【探究展示】（1）證明：AMADMC；（2）AMDEBM是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；【拓展延伸】（3）若四邊形ABCD是長與寬不相等的矩形，其他條件不變，如圖2，探究展示（1）（2）中的結論是否成立？請分別作出判斷，不需要證明.反思：（1）常規(guī)輔助線：“中點平行”構造全等，角平分線構造全等；（2）證“一條線段兩線段和”類型常用截長補短法；（3）第（1）小題也可過E作EHAM于H，再證HMCM得證.校內(nèi)練習1如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB和BC的中點，EPCD于點P，設Ax，則FPC的度數(shù)為（ ）A B C D2如圖所示，點B，C分別在兩條直線y=2x和y=kx上，點A，D是x軸上兩點，已知四邊形ABCD是正方形，則k的值為 .3（南充中考）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG邊長分別為a和b，正方形CEFG繞點C旋轉，給出下列結論：BE=DG；BEDG；DE2+BG2=2a2+b2，其中正確結論是 .（填序號）4 已知：如圖，ABC中，ABAC，ADBC，且ADBC4，若將此三角形沿AD剪開成為兩個三角形，在平面上把這兩個三角形拼成一個四邊形，你能拼出所有不同形狀的四邊形嗎？寫出所拼四邊形對角線的長（不要求寫計算過程，只需寫出結果）5 如圖1，在正方形ABCD中，P是對角線AC上的一點，點E在BC的延長線上，且PE=PB（1）求證：BCPDCP；（2）求證：DPE=ABC；（3）把正方形ABCD改為菱形，其他條件不變（如圖2），若ABC=58，則DPE= 度6 如圖，在正方形ABCD中，DE與HG相交于點O.（1）如圖1所示，若GOD90，求證：DEGH；連結EH，求證：GDEHDE；（2）如圖2所示，若GOD45，AB4，HG2，求DE的長.參考答案期末復習五 特殊平行四邊形【必備知識與防范點】1. （1）四 相等 中心 軸 兩 （2）直角 平行四邊形 三 平行四邊形2. （1）四 互相垂直平分 一組對角 （2）鄰邊 平行四邊形 菱形 互相垂直3. （1）四 相等 相等 互相垂直平分 對角 （2）鄰邊 直角 矩形 菱形【例題精析】例1 （1）在菱形ABCD中，AB=BD，AB=BD=AD，ABD是等邊三角形，根據(jù)菱形的性質可得BDF=C=60，BE=CF，BC-BE=CD-CF，即CE=DF，在BDF和DCE中，DF=CE，BDF=C=60，BD=CD，BDFDCE（SAS），故小題正確；DBF=EDC，DMF=DBF+BDE=EDC+BDE=BDC=60，BMD=180-DMF=180-60=120，故小題正確；DEB=EDC+C=EDC+60，ABM=ABD+DBF=DBF+60，DEB=ABM，又ADBC，ADH=DEB，ADH=ABM，在ABM和ADH中，AB=AD，ABM=ADH，BM=DH，ABMADH（SAS），AH=AM，BAM=DAH，MAH=MAD+DAH=MAD+BAM=BAD=60，AMH是等邊三角形，故小題正確；ABMADH，AMH的面積等于四邊形ABMD的面積，又AMH的面積=AMAM=AM2，S四邊形ABMD=AM2，故小題正確，綜上所述，正確的是共4個. 故選D. （2）16例2 C例3 （1）四邊形ABCD為矩形，ABCD，AFE=CEF. 矩形ABCD沿EF折疊，點A和C重合，CEF=AEF，AE=CE，AFE=AEF，AE=AF. AF=CE，又AFCE，四邊形AECF為平行四邊形，AE=EC，即四邊形AECF的四邊相等. 四邊形AECF為菱形. （2）AB=9cm，BC=3cm，AC=3cm，AF=CF，在RtBCF中，設BF=xcm，則CF=（9-x）cm，由勾股定理可得（9-x）2=x2+32，即18x=72，解得x=4，則CF=5，BF=4，由面積可得：ACEF=AFBC，即3EF=53，EF=cm.例4 （1）在HDG和AEH中，四邊形ABCD是矩形，D=A=90，四邊形EFGH是菱形，HG=HE，在RtHDG和RtEAH中，HG=HE，DG=AH，RtHDGRtEAH，DHG=AEH，DHG+AHE=90，GHE=90，菱形EFGH為正方形； （2）過F作FMAB，垂足為M，交DC延長線于點N，連結GE，F(xiàn)NCD，CDAB，DGE=MEG，GHEF，HGE=FEG，DGH=MEF，在RtHDG和RtFME中，D=M=90，DGH=FEM，HG=FE，RtHDGRtFME，DH=MF，AH=2，DH=MF=4，AE=x，BE=10-x. SEBF=BEFM=2（10-x）=20-2x.同理可證RtAHERtNFG，F(xiàn)N=AH=2，AH=2，AE=x，HE=HG=，DG=，CG=10-，SGCF=CGFN=10-，若EBF的面積是CGF面積的2倍，則20-2x=2（10-），整理得：x2=x2-12，此方程無解，所以不存在x，使EBF的面積是CGF面積的2倍. （3）當點E與點B重合時，GCF的面積取最小，最小值為10-2.例5（1）證明：延長AE、BC交于點N，如圖1所示，四邊形ABCD是正方形，ADBC. DAE=ENC. AE平分DAM，DAE=MAE. ENC=MAE. MA=MN. 在ADE和NCE中，DAE=CNE，AED=NEC，DE=CE，ADENCE（AAS）. AD=NC. MA=MN=NC+MC=AD+MC. （2）AM=DE+BM成立.證明：過點A作AFAE，交CB的延長線于點F，如圖2所示. 四邊形ABCD是正方形，BAD=D=ABC=90，AB=AD，ABDC. AFAE，F(xiàn)AE=90. FAB=90-BAE=DAE. 在ABF和ADE中，F(xiàn)AB=EAD，AB=AD，ABF=D，ABFADE（ASA）. BF=DE，F(xiàn)=AED. ABDC，AED=BAE. FAB=EAD=EAM，AED=BAE=BAM+EAM=BAM+FAB=FAM. F=FAM. AM=FM. AM=FB+BM=DE+BM. （3）探究展示（1）AMADMC仍成立；（2）AMDEBM不成立.【校內(nèi)練習】1. D2. 3. 4. 圖1是矩形，兩條對角線長相等，均為2；圖2是平行四邊形，兩條對角線長為4和4；圖3是平行四邊形，兩條對角線長為2和2；圖4是一般的四邊形，兩條對角線長為2和.5. （1）在正方形ABCD中，BC=DC，BCP=DCP=45，在BCP和DCP中，BC=DC，BCP=DCP，PC=PC，BCPDCP（SAS）； （2）證明：由（1）知，BCPDCP，CBP=CDP，PE=PB，CBP=E，1=2（對頂角相等），180-1-CDP=180-2-E，即DPE=DCE，ABCD，DCE=ABC，DPE=ABC； （3）與（2）同理可得：DPE=ABC，ABC=58，DPE=586. （1）作平行四邊形DGHM，則GH=DM，GD=MH，GHDM，GOD=MDE=90，MDC+EDC=90，ADE+EDC=90，MDC=ADE，在ADE和CDM中，ADE=MDC，A=DCM=90，AD=DC，ADECDM，DE=DM，DE=GH； DM=DE，EDM=90，EDM是等腰直角三角形，EM=DM=DE，MH+EHEM，GD=MH，EH+GDEM，GD+EHDE；（2）過點D作DNGH交BC于點N，則四邊形GHND是平行四邊形，DN=HG，GD=HN，C=90，CD=AB=4，HG=DN=