浙江專版2018年高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)重難增分訓(xùn)練三數(shù)列的綜合問題.docx

重難增分訓(xùn)練（三） 數(shù)列的綜合問題1已知函數(shù)f(x)xsin x，項(xiàng)數(shù)為19的等差數(shù)列an滿足an，且公差d0.若f(a1)f(a2)f(a18)f(a19)0，則當(dāng)k_時(shí)，f(ak)0.解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)xsin x是奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，圖象過原點(diǎn)，而等差數(shù)列an有19項(xiàng)，an，若f(a1)f(a2)f(a18)f(a19)0，則必有f(a10)0，所以k10.答案：102.如圖，在等腰直角三角形ABC 中，斜邊BC2.過點(diǎn) A作BC 的垂線，垂足為A1 ；過點(diǎn) A1作 AC的垂線，垂足為 A2；過點(diǎn)A2 作A1C 的垂線，垂足為A3 ；，依此類推設(shè)BAa1 ，AA1a2 , A1A2a3 ， A5A6a7 ，則 a7_.解析：法一(直接遞推歸納)：等腰直角三角形ABC中，斜邊BC2，所以ABACa12，AA1a2，A1A2a31，A5A6a7a16.法二(求通項(xiàng))：等腰直角三角形ABC中，斜邊BC2，所以ABACa12，AA1a2，An1Anan1sinanan2n，故a726.答案：3已知數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn3n1，Tn為bn的前n項(xiàng)和若對(duì)任意nN*，不等式2n7恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_解析：因?yàn)閎n3n1，所以Tn36.因?yàn)椴坏仁?n7，化簡得k對(duì)任意nN*恒成立設(shè)cn，則cn1cn.當(dāng)n5時(shí)，cn1cn，cn為單調(diào)遞減數(shù)列，當(dāng)1ncn，cn為單調(diào)遞增數(shù)列，c4an，所以數(shù)列an單調(diào)遞增且各項(xiàng)均為正數(shù)，所以1，所以1.答案：(1)1(2)15已知函數(shù)fn(x)a1xa2x2a3x3anxn，且fn(1)(1)nn，nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)函數(shù)g(n)cng(2n4)，nN*，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)依題意，得fn(1)a1a2a3(1)nan(1)nn，當(dāng)n2時(shí)，fn1(1)a1a2a3(1)n1an1(1)n1(n1)，兩式相減，得(1)nan(1)nn(1)n1(n1)(1)n(2n1)，即an2n1.當(dāng)n1時(shí)，f1(1)a11，得a11，符合上式，所以an2n1.數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n1.(2)由g(n)得c1g(6)g(3)a35，c2g(8)g(4)g(2)g(1)a11，當(dāng)n3時(shí)，cng(2n4)g(2n12)g(2n21)a2n212(2n21)12n11，所以當(dāng)n3時(shí)，Tn51(221)(231)(2n11)6(n2)2nn，當(dāng)n2時(shí)，也符合上式于是Tn6(2017昆明模擬)已知數(shù)列an滿足a1，an1.證明：(1)an1an1；(2)a1a2an0，所以an11與an1同號(hào)，由a1，可知an10，所以an0，則an1anan0，所以an1an.綜上an1an1.(2)由an1，可知1，所以1，即.可得an.所以anan1an1an2an1an2a2a1，所以a1a2an1.7已知曲線C：y22x(y0)，A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，An(xn，yn)，是曲線C上的點(diǎn)，且滿足0x1x2xn，一列點(diǎn)Bi(ai,0)(i1,2，)在x軸上，且Bi1AiBi(B0是坐標(biāo)原點(diǎn))是以Ai為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形(1)求A1，B1的坐標(biāo) ；(2)求數(shù)列yn的通項(xiàng)公式；(3)令bn，cn，分別求數(shù)列bn，cn的前n項(xiàng)和Sn，Tn.解：(1)B0A1B1是以A1為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，直線B0A1的方程為yx.由得x1y12，即點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(2,2)，進(jìn)而得B1(4,0)(2)根據(jù)Bn1AnBn和BnAn1Bn1分別是以An和An1為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，可得即xnynxn1yn1.(*)An和An1均在曲線C：y22x(y0)上，y2xn，y2xn1，xn，xn1，代入(*)式得yy2(yn1yn)，yn1yn2(nN*)，數(shù)列yn是以y12為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為yn2n(nN*)(3)由(2)可知，xny2n2，anxnyn2n(n1)，bn，cn.Snb1b2bn.Tnc1c2c3cn.8(2017杭州模擬)已知數(shù)列an，點(diǎn)P(n，an)在函數(shù)f(x)x的圖象上(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式，并求出其前n項(xiàng)和Sn；(2)若從an中抽取一個(gè)公比為q的等比數(shù)列akn，其中k11，且k1k2knkn1有解？若存在，求出所有符合條件的q值；若不存在，請(qǐng)說明理由解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)P(n，an)在函數(shù)f(x)x的圖象上，所以ann.當(dāng)n2時(shí)，anan1(常數(shù))，所以，數(shù)列an是首項(xiàng)為a12，公差為d的等差數(shù)列，所以Sn.(2)存在正整數(shù)q，使得關(guān)于n(nN*)的不等式6Snkn1有解，求解如下：因?yàn)閍k1a12，akn2qn1，得kn3qn12，顯然q1，所以當(dāng)q1且qN*時(shí)，所有的kn3qn12均為正整數(shù)，符合題意；要使不等式6Snkn1有解，即2n(n5)3qn2有解，則1有解，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)q2，q3，q4時(shí)，n1都是1的解，符合題意；下面證明當(dāng)q5時(shí)，1無解設(shè)bn，則bn1bn，因?yàn)?,1q0，所以f(n)2(1q)n2(75q)n7q在nN*上單調(diào)遞減，又f(1)0，則f(n)0恒成立，可得bn1bn0，所以bnb1恒成立，又當(dāng)q5時(shí)，b11無解，不符合題意綜上所述，存在正整數(shù)q，使得關(guān)于n(nN*)的不等式6Snkn1有解，且q的所有取值為2,3,4.9(2017嘉興模擬)已知無窮數(shù)列an滿足：a1，a2an2an10(n2)(1)試判斷數(shù)列an的單調(diào)性；(2)求證：0an；an1，所以數(shù)列an為遞增數(shù)列(2)證明：由a2an2an10(n2)得a2an112an1，則(an1)212an10，an1，當(dāng)an1時(shí)有an1，這顯然矛盾，anan1得ana10，0an.由a2an2an10(n2)得2an1an(2an)，則，(n2)，a1，由可知0anan，0，2 018，即2 018.10(2017紹興模擬)已知數(shù)列an滿足：a1a(0,1)，且0an1；(3)設(shè)Tn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，求證：Tn0