級(jí)數(shù)求和常用方法

濱州學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)級(jí)數(shù)求和的常用方法 摘 要級(jí)數(shù)理論及應(yīng)用無(wú)論對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科本身還是在其他科學(xué)技術(shù)及理論的發(fā)展中都有極為重要的影響和作用，而級(jí)數(shù)求和是級(jí)數(shù)理論及應(yīng)用的主要內(nèi)容之一.由于級(jí)數(shù)求和的方法比較多，技巧性很強(qiáng)，一般很難掌握其規(guī)律，是學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，因此掌握一些常用的級(jí)數(shù)求和方法就顯得尤為重要.通過(guò)例題，分別針對(duì)常用的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和進(jìn)行分析和討論，試圖通過(guò)對(duì)例題的分析和解決，展示級(jí)數(shù)求和的常用方法和思想，進(jìn)而探索級(jí)數(shù)求和的規(guī)律，理解級(jí)數(shù)理論即合理應(yīng)用，打下良好的基礎(chǔ)，為學(xué)習(xí)者起到拋磚引玉的方法. 關(guān)鍵詞：數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)；函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)；求和；常用方法Summation of series method in common useAbstractProgression theory and application still are having the most important effect and function on the development of science and technology and theory disregarding logarithmic discipline per se, but summation of series is one of progression theory and applicative main content. Method of summation of series is comparatively many, the dexterity is very strong, in general very difficult to have its law in hand, be a difficult point studying, have some summation of series in common use method in hand therefore appearing especially important right away. Carry out analysis and discuss that by the fact that the example , difference are aimed at several progression and function item summation of series in common use, try to pass the analysis checking an example and solve, show summation of series method and thought in common use , probe and then the summation of series law , understand that progression theory is that reasonableness applies , lays down fine basis, in order the learner gets the method arriving at a modest spur to induce someone to come forward with his valuable contributions.Key words: Count progression; function series; Sue for peace; Method in common useII目 錄引 言1第一章 級(jí)數(shù)簡(jiǎn)介21.1 級(jí)數(shù)理論前史21.2 級(jí)數(shù)的定義3第二章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的求和方法42.1 根據(jù)定義求級(jí)數(shù)的和42.2 利用已知級(jí)數(shù)直接求和法52.3 連鎖消去法62.4 方程式法72.5 利用子序列法82.6 根據(jù)冪級(jí)數(shù)理論求級(jí)數(shù)的和(利用Abel第二定理)92.7 利用Fourier級(jí)數(shù)理論求級(jí)數(shù)的和112.8 利用復(fù)數(shù)的Euler公式和De Moiver公式.122.9 利用Euler常數(shù)法13第三章 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和143.1 微積分法143.1.1 逐項(xiàng)微分，求和后再積分143.1.2 逐項(xiàng)積分，求和后再微分153.2 微分方程式法163.3 復(fù)數(shù)項(xiàng)冪級(jí)數(shù)求和法（主要計(jì)算三角函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和）18結(jié)論20參考文獻(xiàn)21謝 辭22濱州學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）第一章 級(jí)數(shù)簡(jiǎn)介1.1 級(jí)數(shù)發(fā)展簡(jiǎn)介數(shù)學(xué)史上級(jí)數(shù)出現(xiàn)的很早，在兩千多年前人們就有了粗糙的級(jí)數(shù)思想.古希臘時(shí)期，亞里士多德(Aristotle，公元前384一公元前322)就知道公比小于l(大于零)的幾何級(jí)數(shù)可以求出和數(shù).芝諾(Zeno，公元前490一約公元前425)的二分法涉及到把1分解成無(wú)窮級(jí)數(shù).阿基米德(Archimedes，公元前287一公元前212)在拋物線圖形求積法一書(shū)中，使用幾何級(jí)數(shù)去求拋物線弓形面積，并且得出了級(jí)數(shù)的和.中國(guó)古代莊子天下中的“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”含有極限的思想，用數(shù)學(xué)形式表達(dá)出來(lái)也是無(wú)窮級(jí)數(shù).到了中世紀(jì)，由于數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家對(duì)一些涉及到無(wú)窮思想的悖論展開(kāi)了激烈的爭(zhēng)論，使得關(guān)于無(wú)窮級(jí)數(shù)的研究開(kāi)展起來(lái).最具代表的是法國(guó)數(shù)學(xué)家?jiàn)W雷姆(Nicolas Orense，1323一1352)用最初等的方法證明了調(diào)和級(jí)數(shù)的和為無(wú)窮，用現(xiàn)在的形式可表示為中世紀(jì)的級(jí)數(shù)理論，從本質(zhì)上看沒(méi)有突破性進(jìn)展，它的主要貢獻(xiàn)并不在于所得到的具體結(jié)果，而是在于促使人們接受一種新的觀點(diǎn)，即在數(shù)學(xué)中可以自由的承認(rèn)無(wú)限過(guò)程.這對(duì)后來(lái)理解無(wú)窮過(guò)程做了鋪墊，為形式化處理級(jí)數(shù)奠定了思想基礎(chǔ).早期數(shù)學(xué)家僅憑直覺(jué)就認(rèn)為級(jí)數(shù)是可以收斂的，并將級(jí)數(shù)從有限項(xiàng)自然的拓展為無(wú)限項(xiàng)使用，這導(dǎo)致了有限法則無(wú)限拓展的產(chǎn)生.17世紀(jì)，伴隨著微積分的產(chǎn)生，許多數(shù)學(xué)家通過(guò)微積分的基本運(yùn)算與級(jí)數(shù)運(yùn)算的形式化結(jié)合，得到了一些初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，并且級(jí)數(shù)在解析運(yùn)算中被普遍用來(lái)代表函數(shù)而成為微積分的有力工具，這就使得無(wú)窮級(jí)數(shù)成為微積分不可缺少的部分.1669年，牛頓 (Isaac Newton，1643一1727)在他的(用無(wú)限多項(xiàng)方程的分析學(xué)中，用級(jí)數(shù)反演法給出了，的冪級(jí)數(shù)，和的級(jí)數(shù)展開(kāi).格雷戈里 (James Gregory， 1638一 1675)得到了，等函數(shù)的級(jí)數(shù)，萊布尼茨 (Gottfried Wilhelm Leibniz，1646一 1716)也在1673年獨(dú)立地得到了，和等函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)展開(kāi)式，以及圓面積和雙曲線面積的具體展開(kāi)式.在微積分的早期研究中，有些函數(shù)如指數(shù)函數(shù)等超越函數(shù)的處理相當(dāng)困難，然而人們發(fā)現(xiàn)，若用它們的級(jí)數(shù)來(lái)處理，則非常有成效.因此，無(wú)窮級(jí)數(shù)從一開(kāi)始就是萊布尼茨、牛頓等人微積分工作的一個(gè)重要部分.有時(shí)使用無(wú)窮級(jí)數(shù)是為了計(jì)算一些特殊的量，如二和.以及求隱函數(shù)的顯式解.17世紀(jì)后期和18世紀(jì)，為了適應(yīng)航海、天文學(xué)和地理學(xué)的發(fā)展，擺在數(shù)學(xué)家們面前的問(wèn)題之一是函數(shù)表的插值.由于對(duì)函數(shù)表的精確度要求較高，數(shù)學(xué)家們開(kāi)始尋求較好的插值方法，牛頓和格雷戈里給出了著名的內(nèi)插公式.1715年泰勒 (Brook Taylor，1685一1731)發(fā)表了增量方法及其逆(Methods Increment rum Direct et Inverse)，奠定了有限差分法的基礎(chǔ).17世紀(jì)，牛頓、萊布尼茨等人曾研究過(guò)有限差分問(wèn)題，泰勒的工作則使有限差分法從局限的方法(如二項(xiàng)式定理、有理函數(shù)的長(zhǎng)除法、待定系數(shù)法等等)過(guò)渡到了一般的方法.這本書(shū)中他給出了單變量?jī)缂?jí)數(shù)展開(kāi)的著名公式，即泰勒級(jí)數(shù)泰勒是第一個(gè)發(fā)表此級(jí)數(shù)的人，但他不是第一個(gè)發(fā)現(xiàn)此級(jí)數(shù)的數(shù)學(xué)家.在他之前格雷戈里、牛頓、萊布尼茨、約翰伯努利 (John Bernoulli，1667一 1748)和棣莫弗(Abrahamde Moivre，1667.1754)等數(shù)學(xué)家都研究過(guò)此級(jí)數(shù). 1717年泰勒運(yùn)用這個(gè)級(jí)數(shù)求解方程，取得了很好的結(jié)果，但是他的證明是不嚴(yán)格的而且沒(méi)有考慮收斂問(wèn)題，在當(dāng)時(shí)影響并不太大.直到1755年，歐拉在微分學(xué)中將泰勒級(jí)數(shù)推廣應(yīng)用到多元函數(shù)，增大了泰勒級(jí)數(shù)的影響力，隨后拉格朗日用帶余項(xiàng)的泰勒級(jí)數(shù)作為函數(shù)論的基礎(chǔ)，才正式確立了泰勒級(jí)數(shù)的重要性.后來(lái)麥克勞林(Maclanrin colin， 1698一1746)重新得到泰勒公式在時(shí)的特殊情況，現(xiàn)代微積分教材中一直將這一特殊情形的泰勒級(jí)數(shù)稱為“麥克勞林級(jí)數(shù)”.詹姆斯伯努利 (James Bernoulli，1654一1705)與約翰伯努利在級(jí)數(shù)方面做了大量的工作.詹姆斯伯努利在1689一 1704年間撰寫(xiě)了5篇關(guān)于無(wú)窮級(jí)數(shù)的論文，成為當(dāng)時(shí)這一領(lǐng)域的權(quán)威，這些論文的主題是關(guān)于函數(shù)的級(jí)數(shù)表示及其求函數(shù)的微分與積分，求曲線下面積和曲線長(zhǎng)等方面的應(yīng)用，所有這些級(jí)數(shù)的應(yīng)用是對(duì)微積分的重大貢獻(xiàn).1.2 級(jí)數(shù)的概念定義1.2.1 給定一個(gè)數(shù)列，對(duì)它的各項(xiàng)依次用“+”號(hào)連接起來(lái)的表達(dá)式 （1）稱為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)或無(wú)窮級(jí)數(shù)（也常簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù)），其中稱為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng).數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（1）也常寫(xiě)作或簡(jiǎn)單寫(xiě)作.定義1.2.2 設(shè)是定義在數(shù)集上的一個(gè)函數(shù)列，表達(dá)式稱為定義在上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)記為或.第二章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的求和方法級(jí)數(shù)求和的問(wèn)題，一般來(lái)說(shuō)，是一個(gè)困難問(wèn)題，沒(méi)有一勞永逸的方法.因?yàn)椴糠趾碗S增大時(shí)，數(shù)項(xiàng)越來(lái)越多，除非能化為已知級(jí)數(shù)，人們只能設(shè)法把寫(xiě)成緊縮式，才便于求極限.級(jí)數(shù)求和的常用方法一般直接用定義法、拆項(xiàng)法、公式及四則運(yùn)算法、利用冪級(jí)數(shù)法、傅里葉級(jí)數(shù)理論和阿貝爾求和法等方法.下面對(duì)級(jí)數(shù)求和的方法舉例進(jìn)行說(shuō)明.2.1 根據(jù)定義求級(jí)數(shù)的和利用定義求級(jí)數(shù)的和就是求級(jí)數(shù)部分和數(shù)列的極限.由于當(dāng)時(shí)，部分和的項(xiàng)數(shù)無(wú)限增多，因此為了求的極限，必須設(shè)法把加以簡(jiǎn)化直至解出極限.但是如何加以簡(jiǎn)化并沒(méi)有一般的方法，下面我們通過(guò)例題加以介紹.例2.1.1 設(shè)，求級(jí)數(shù)的和.分析 要尋求之和，只要將其部分和用已知級(jí)數(shù)部分和與已知數(shù)列表示出來(lái).解 因，則，于是.例2.1.2 計(jì)算.解 記 .兩邊同時(shí)乘以，得 ，即，借此方程便得 (當(dāng)時(shí)).2.2 利用公式的四則運(yùn)算求級(jí)數(shù)的和利用一些常見(jiàn)數(shù)列的求和公式，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等求和公式，結(jié)合其四則運(yùn)算性質(zhì)求出級(jí)數(shù)的和.例2.2.1 計(jì)算.解 由于 （1）而 （2）式得故原級(jí)數(shù)的和 .例2.2.2 求的和.解：首先注意，因?yàn)?，所?，同理可得.又，于是，根據(jù)收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)加減等性質(zhì)，可知 所以 2.3 拆項(xiàng)消去法連鎖消去法在級(jí)數(shù)求和法中是一種很重要的方法，它的關(guān)鍵使將級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)分解成部分分式的形式.例2.3.1 計(jì)算.解 由于而所以 故原級(jí)數(shù)的和 .說(shuō)明 還可以多項(xiàng)相消，求形如之類的級(jí)數(shù)之和.例2.3.2 求級(jí)數(shù)之和.提示 利用公式解因此 .2.4 利用子序列法我們知道，若與有相同極限，則.因此對(duì)于級(jí)數(shù)，若通項(xiàng) (當(dāng)時(shí))，則部分和的子序列收斂于，意味著也收斂于，從而.我們把與稱為互補(bǔ)子序列.這個(gè)原理可推廣到一般：若的通項(xiàng)(當(dāng)時(shí))，的子序列 （是某個(gè)正整數(shù)），則.我們把這種方法稱為子序列法.例2.4.1 計(jì)算解 此級(jí)數(shù)的通項(xiàng)趨近于零，所以只求的極限即可而例2.4.2 計(jì)算.解 此級(jí)數(shù)的通項(xiàng)趨近于零，所以只求的極限，注意公式，其中為Euler常數(shù)，（當(dāng)時(shí)）.因此，對(duì)原級(jí)數(shù)， 故原級(jí)數(shù)和 .2.5 利用冪級(jí)數(shù)理論求級(jí)數(shù)的和若收斂，則有=，將轉(zhuǎn)化成，對(duì)求有兩種常用方法：方法1：利用逐項(xiàng)微分法求和 ，方法的效果取決于是否容易求和，是否為的簡(jiǎn)化，若，為n的多項(xiàng)式并且含有因子n是、時(shí)效果更好.方法2：利用逐項(xiàng)積分法求和，當(dāng)為多項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)分解為等式子的組合.由Abel第二定理：若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，則冪級(jí)數(shù)在任意閉區(qū)間上都一致收斂.計(jì)算收斂的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和，只需求在內(nèi)的和函數(shù)，令，取極限，則.例2.5.1 求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和.解 構(gòu)造冪級(jí)數(shù)，求得收斂半徑.收斂區(qū)間是.設(shè)它的和函數(shù)是，即.由冪級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)可導(dǎo)，有.，有.因?yàn)椋?即.令，有例2.5.2 計(jì)算解 由于而的收斂半徑為1，且在收斂，令，在等式兩端取極限，有 即.2.6 利用Fourier級(jí)數(shù)理論求級(jí)數(shù)的和先求出函數(shù)的傅里葉展開(kāi)式，在確定其在收斂于內(nèi)某個(gè)特殊點(diǎn)的值，這是用傅里葉級(jí)數(shù)求常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本思想.傅里葉展開(kāi)的基本方法：1）按系數(shù)公式計(jì)算系數(shù)其中.2）將算出的系數(shù)代入級(jí)數(shù).3）根據(jù)收斂定理，判定可改為等號(hào)的范圍.若上分段光滑，則級(jí)數(shù)的和函數(shù)例2.6.1 設(shè)函數(shù)，.試求的值.解 將函數(shù)在上展開(kāi)成Fourier級(jí)數(shù)，于是，因?yàn)樵趦?nèi)連續(xù)，所以由Parseval等式有 所以說(shuō)明 求形如，之類的數(shù)值級(jí)數(shù)，可將某些特殊函數(shù)在一定區(qū)域上展成Fourier級(jí)數(shù)，然后取適當(dāng)?shù)牡闹祷蛑痦?xiàng)積分.例2.6.2 設(shè)，其中.試求的值.解 將函數(shù)進(jìn)行奇式周期延拓，則，所以，其中，因?yàn)樵谏线B續(xù).所以.取，則.所以.即.2.7 利用復(fù)數(shù)的Euler公式和De Moiver公式.說(shuō)明 用于三角級(jí)數(shù)求和問(wèn)題設(shè)為復(fù)數(shù)，令，是實(shí)數(shù)有 例2.7 計(jì)算解 因?yàn)閺?fù)述級(jí)數(shù)，令，有 而 于是2.8 利用Euler常數(shù)法極限的值為所謂的歐拉常數(shù)，設(shè)為，則有，其中，利用上式，可以求出某些數(shù)值級(jí)數(shù)的和.例2.8 求解 即 第三章 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和3.1 微積分法3.1.1 逐項(xiàng)微分，求和后再積分先求的緊縮式，然后再利用積分公式：例3.1.1.1 計(jì)算解 不難計(jì)算其收斂半徑為1，設(shè)它的和函數(shù)，即，有逐項(xiàng)微分，有，對(duì)上式從到積分，得 例3.1.1.2 設(shè)，試求如下級(jí)數(shù)之和.解 若，顯然級(jí)數(shù)和為0.現(xiàn)設(shè).記，則 于是 .利用Riemann引理，時(shí)上式第一項(xiàng)趨向零.所以級(jí)數(shù)和 3.1.2 逐項(xiàng)積分，求和后再微分例3.1.2.1 計(jì)算解 不難計(jì)算其收斂半徑為1，設(shè)它的和函數(shù)，即，有，對(duì)上式從到逐項(xiàng)積分，有 對(duì)兩邊求導(dǎo)數(shù)，有即.3.2 微分方程式法基本思想是為了求出冪級(jí)數(shù)或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)，有時(shí)找出和函數(shù)所滿足的微分方程及定解條件，解此微分方程的定解問(wèn)題得到級(jí)數(shù)的和函數(shù)；主要還是設(shè)法證明級(jí)數(shù)的和滿足某個(gè)方程式然后求次方程的解.例3.2.1 計(jì)算.提示 收斂半徑為，逐項(xiàng)微分可知 .解 設(shè)逐項(xiàng)微分所以，并且有.解此微分方程的初值問(wèn)題得 . 例3.2.2 證明：若函數(shù)在上連續(xù)，令，則在上一致收斂于.證 1.（先證明該級(jí)數(shù)一致收斂）因在上連續(xù)，所以有界.即，使于上，由此知，由數(shù)學(xué)歸納法易證 .但在全數(shù)軸上成立，上一致收斂.所以在上絕對(duì)一致收斂.2.（證明和滿足微分方程）記原級(jí)數(shù)之和為. (1)次式兩端同時(shí)加以，再同時(shí)在上取積分得 . (2)由此求得 . (3)從(2)式可以看出 （4） 在條件（4）下求解微分方程（3）可得 .未學(xué)過(guò)微分方程的讀者可以這樣來(lái)求解;設(shè)，則代入（3）式得，所以 . （5）根據(jù)（4）式應(yīng)有故知代入（5）從而 .因此 .3.3 復(fù)數(shù)項(xiàng)冪級(jí)數(shù)求和法此方法主要計(jì)算三角函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和，為