淺談不定積分的解題方法.doc

本科學(xué)生畢業(yè)論文淺談不定積分的解題方法摘要本文介紹求不定積分的若干方法：直接積分法，換元積分法，分部積分法和有理函數(shù)積分法等，結(jié)合實(shí)例討論了這些方法在不定積分求解中的可行性.關(guān)鍵詞：不定積分;直接積分法;還原積分發(fā);分部積分法;有理函數(shù)積分法 ABSTRACTThere are three solution of indefinite integration in this paper: direct integration, exchangeable integration, parcel integration. It discussed the feasibility which these ways in the solution of indefinite integration, combine with real examples.Key words: Indefinite integral; Direct integral method, Change yean integral method and the division of integral method目錄1 引論12 不定積分12.1 不定積分定義12.2 經(jīng)典例題13 直接積分法24 換元積分法24.1 第一換元積分法3 4.1.1 湊微分法3 4.1.2常用湊微分法公式4 4.2 第二換元積分法4 4.2.1根式代換法5 4.2.2 三角代換5 4.2.3 倒代換65 分部積分法7 5.1分部積分法7 5.2 積分的關(guān)鍵76 有理函數(shù)積分法7 6.1有理函數(shù)積分法76.2分式有理函數(shù)87 結(jié)論10參考文獻(xiàn)111 引論微積分是高等院校的一門重要基礎(chǔ)課程，當(dāng)代著名數(shù)學(xué)家柯朗1曾指出微積分和數(shù)學(xué)分析是人類思維的偉大成果之一，它處于自然科學(xué)與人文科學(xué)之間的地位，使它成為高等數(shù)學(xué)的一種特別有效的工具. 不定積分是數(shù)學(xué)分析的基本內(nèi)容和主要內(nèi)容，不定積分也是微分學(xué)和積分學(xué)的聯(lián)系紐帶. 不定積分的一個(gè)重要內(nèi)容，不定積分的解法不像徽分法有一定的方法可循.求不定積分思維方靈活多樣，它要根據(jù)不同題型特點(diǎn)采取不同的解法，不定積分運(yùn)算是微分運(yùn)算的逆運(yùn)算. 下面把常用的不定積分的解法分類歸納，以便學(xué)生更好地掌握，求解不定積分的常規(guī)方法有：直接積分法，換元積分法，分部積分法和特殊積分法. 而實(shí)際運(yùn)用中使用較多的是換元積分法和分部積分法，分部積分法是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn), 掌握不定積分的解法比較困難，但是求導(dǎo)相對(duì)容易，因?yàn)橹灰煊浟嘶境醯群瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)公式、掌握了導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，就可以求出任何函數(shù)的導(dǎo)數(shù).可是不定積分就沒有這么容易，第一是沒有適用于一切初等函數(shù)不定積分的方法，第二是許多初等函數(shù)的原函數(shù)本身就不是初等函數(shù), 而出現(xiàn)不定積分存在但是求不出來(lái)的情況.2 不定積分 2.1不定積分的定義 不定積分的定義2若在某以區(qū)間上則在這個(gè)區(qū)間上函數(shù)F(x)叫函數(shù)的原函數(shù). 我們把函數(shù)的原函數(shù)的一般表達(dá)式稱為的不定積分.記為，亦即 ,其中是的一個(gè)原函數(shù)，C為任意常熟，又稱是被積函數(shù)，為積分變量，C為積分常數(shù)，記號(hào):為積分號(hào).例1 求多項(xiàng)式的積分 解 利用積分的運(yùn)算法則,有原式. 3 直接積分法直接積分法3就是利用積分公式和積分的基本性質(zhì)求不定積分的方法，直接積分法的關(guān)鍵是把被積函數(shù)通過代數(shù)或三角恒等變形，變?yōu)榇鷶?shù)和，再逐項(xiàng)積分. 直接積分法的關(guān)鍵4是： 熟練的掌握積分的基本公式和運(yùn)算法則是關(guān)鍵,也是學(xué)習(xí)不定積分的基本要求，由于求不定積分和求導(dǎo)數(shù)互為逆運(yùn)算，因此基本積分公式是與基本微分公式對(duì)應(yīng)的積分公式 在基本微分公式較熟悉的前提下，基本積分公式是不難記住的 .例2 求分析：基本關(guān)系中沒有關(guān)于的積分，但是由于他相關(guān)的積分,于是，把用來(lái)表示，然后代入公式：解 . 例3 求解 原式.例4 求 解 .例5 求 解 被積函數(shù)有不同三角函數(shù)和可利用倍角公式為 .4 換元積分法換元積分法，就是通過適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，把積分轉(zhuǎn)化為積分表中的類型或容易積分的形式，換元積分法包括第一換元積分法及第二換元積分法. 4.1 第一換元積分法第一換積分法5（又稱湊微分法)在求積分，如果它可的形式時(shí)，可作變量代換u=h(x)則，此時(shí)而又可直接積分得，最后再將u換回即可運(yùn)算形式下:湊微分 變量代換回代 第一換元積分法的關(guān)鍵4是將被積表達(dá)化湊微分 再選擇變量代換. 第一換元積分法的關(guān)鍵4是:將被積表達(dá)式湊成兩部分，一部分為復(fù)合函數(shù)，其中外函數(shù)為基本公式的一個(gè)函數(shù)類，另一部分為內(nèi)數(shù)的微分，這里要注意系數(shù)的調(diào)整 .例6 求 分析 其中外函數(shù)為冪函數(shù)，內(nèi)函數(shù)為.解 原式.湊微分法6可概述為：湊微分；可積出，則積出；積不出，則分部之不定積分等于與之積減去和交換位置的不定積分.注意：1 可積出（a）x冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，正弦函數(shù)，余弦函數(shù)之積的不定積分只須取x的冪函數(shù)作即可積出.（b） x冪函數(shù)與反三角函數(shù)的積的不定積分只須取反三角函數(shù)作即可積出. (c) 指數(shù)函數(shù)同正弦正數(shù)、余弦函數(shù)之積的不定積分則可以任取一種函數(shù)即可積出. 2 積不出多項(xiàng)式與指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),正(余)弦函數(shù),反三角函數(shù)的乘積的不定積分. 例7 求 解 根據(jù)不定積分的運(yùn)算性質(zhì),得 4.1.2 常用的湊微公式常用的湊微公式主要有： ；.例8 解 令,則 .4.2 第二換元積分法一般地，如果在積分中,令，且可導(dǎo), 則有若該式右端易求出原函數(shù)ht， 則得第二類換元法7積分公式其中為的反函數(shù), .第二類換元法關(guān)鍵：是要引入適當(dāng)?shù)男碌姆e分變量，將原來(lái)的不定積分轉(zhuǎn)化成為對(duì)新的積分變量的積分 然而,如何引入新的積分變量一般沒有什么規(guī)律可循,只有一條大原則,就是引入新的積分變量后,要使新的不定積分比原來(lái)的不定積分較易求出 這樣,問題也就比靈活,也比較困難 在教學(xué)時(shí),我將這個(gè)問題作了一些歸納總結(jié),如何引入新的積分變量可大致歸結(jié)為下列三種方法. 4.2.1根式代換法根式代換法4的原則是將被積函數(shù)中含有的某個(gè)根式作為一個(gè)新的積分變量,即將被積函數(shù)中含有的某個(gè)根式用一個(gè)新的積分變量代換后,使其在新的被積函數(shù)中不再含有根式. 例9 求解 根據(jù)上述原則，須引進(jìn)一個(gè)新的積分變量使其在新的被積表達(dá)式中不再含有根式，顯然，只須引入變量，則可以達(dá)到上述目的, 令，則 .4.2.2 三角代換三角代換法8的原則是通過引入適當(dāng)?shù)娜谴鷵Q把被積表達(dá)式中之根號(hào)去掉,轉(zhuǎn)化成為三角有理函數(shù)之積分 被積函數(shù)中若含有根式,或都可用三角代換法解決 三角代換法的一般方法如下:被積式含有的根式三角代換 s例10 求 解 令,則,于是 4.2.2 倒代換所謂倒數(shù)代換法7就是將積分變量用一個(gè)新的變量的倒數(shù)去代換，將其被積表達(dá)式化簡(jiǎn) 一般地，形如； ； ； ； ； 等積分均可作倒數(shù)代換. 例11 求 解 令 原式 得 . 5 分部積分法5.1分部積分法分部積分法9主要用于解決被積函數(shù)的兩種初等函數(shù)的乘積或單一個(gè)函數(shù)(對(duì)數(shù)函數(shù)，反三角函數(shù)，初等函數(shù))的不定積分的分部積分公式:.5.2積分的關(guān)鍵選取哪個(gè)因子當(dāng)作是鍵，選擇不當(dāng)不僅不會(huì)使積分由復(fù)雜到簡(jiǎn)單，反而更復(fù)雜 選要按以下順序進(jìn)行口(順序在前者先選)對(duì)數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù). 例12 求分析 被積函數(shù)是冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的乘積，由的選取順序,.解 原式.例13 求分析 被積函數(shù)是冪函數(shù)與三角函數(shù)的乘積，由，ux的選取順序，令ux=x解 原式 ().6 有理函數(shù)6.1有理函數(shù)有理函數(shù)2設(shè)P(x)和Q(x)是兩個(gè)多項(xiàng)式，則成形如的函數(shù)為有理函數(shù) 如：等都是有理函數(shù) 下面為我們討論有理函數(shù)的積分方法的一般方法.6.2 分式有理函數(shù)把真分式分解為簡(jiǎn)單分實(shí)質(zhì)和的方法歸結(jié)起來(lái)，主要由以下兩點(diǎn)： i 若Q(x)有一個(gè)k重實(shí)根a，則分解時(shí)必含有分式 ,其中A1,A,2,Ak為待定系數(shù)；(ii) 若Q(x)有一對(duì)k重共軛復(fù)根和，這時(shí)Q(x)必有因子,其中則分解師比含有分式 ,其中都是待定系數(shù) .由此可見，任何一個(gè)真分式都可以分解成若干個(gè)簡(jiǎn)單的部分分式之和，而這些簡(jiǎn)單分式不外乎以下四種類型：(1) ；(2) ；(3) ；(4) .其中都是常數(shù)，并設(shè)二次三項(xiàng)式?jīng)]有實(shí)根，即于是，求任何一個(gè)真分式的不定積分問題也就化成以上四種類型的積分，現(xiàn)在，分別求出如下：(1) 這個(gè)積分早已會(huì)求，它是(2 這個(gè)積分早已會(huì)求，它是(3)由分出完全平方項(xiàng)，從而有 ，最后一個(gè)括號(hào)中的表達(dá)式為一正數(shù)，不妨記為a2 現(xiàn)在作代換 ,于是,其中C為常數(shù)，代回變量x，就有.例14 求解 利用部分分時(shí)，即可求得 .例15 求 解 這是被積函數(shù)的次數(shù)高于分母的次數(shù)，因此首先用除法寫成 即可求得.結(jié)論 上面所介紹的不定積分的解題方法都是常用的方法，根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)采取上述所給出的方法去解題，同時(shí)要學(xué)會(huì)用一些技巧把所求的復(fù)雜的題目變成我們所熟悉的，簡(jiǎn)單的方法解題 因此，需要我們?nèi)ザ嘧鲂┚毩?xí)來(lái)增長(zhǎng)我們的做題技巧和方法，能在做題時(shí)順心應(yīng)手，面對(duì)各種求不定積分計(jì)算問題都能迎刃而解. 參考文獻(xiàn)1 范梅.不定積分的分部積分法探究J 江蘇,西安航空學(xué)院學(xué)報(bào)2015,1(33)66. 2 歐陽(yáng)光中，朱學(xué)炎,金福臨,陳傳璋.數(shù)學(xué)分析M,第三版,上冊(cè) 北京:高等教育出版社，2007. 3 辛春元.淺析不定積分的解題方法J.遼寧:遼寧對(duì)外經(jīng)貿(mào)學(xué)院，2008:8（15）143-145. 4 高超.淺談不定積分基本解題方法J.貴州:林區(qū)學(xué)報(bào),2011,12(20):268-269. 5 何挺.不定積分三種基本解題方法歸類J.安順師范學(xué)報(bào),2004,4(6):78-80. 6 郞開祿.談?wù)勄蟛欢ǚe分兩種解題方法J.楚雄師范學(xué)報(bào),1986,3(8):69-71. 7 王晗寧.淺談不定積分的解法J.中國(guó)商報(bào),2010,2(5):15-16. 8 馬文素.淺談不定積分積分方法J.青海:青海師專學(xué)報(bào),2006,5(18):45-47. 9 華東師范大學(xué)數(shù)系，數(shù)學(xué)分析M.北京:高等教育出版社,1991. 致謝詞 非常感謝老師在我大學(xué)的最后階段畢業(yè)論文寫作給予指導(dǎo)，通過老師的細(xì)心點(diǎn)撥，