互斥事件有一個發(fā)生的概率典型例題

互斥事件有一個發(fā)生的概率典型例題例1 今有標(biāo)號為1、2、3、4、5的五封信，另有同樣標(biāo)號的五個信封，現(xiàn)將五封信任意地裝入五個信封中，每個信封一封信，試求至少有兩封信與信封標(biāo)號一致的概率 分析：至少有兩封信與信封的標(biāo)號配對，包含了下面兩種類型：兩封信與信封標(biāo)號配對；3封信與信封標(biāo)號配對；4封信與信封標(biāo)號配對，注意：4封信配對與5封信配對是同一類型現(xiàn)在我們把上述三種類型依次記為事件 ，可以看出 兩兩互斥，記“至少有兩封信與信封標(biāo)號配對”為事件 ，事件 發(fā)生相當(dāng)于 有一個發(fā)生，所以用公式 可以計算 .解：設(shè)至少有兩封信配對為事件 ，恰好有兩封信配對為事件 ，恰有3封信配對為事件 ，恰有4封信（也就是5封信）配對為事件 ，則事件 等于事件 ，且 事件為兩兩互斥事件，所以 5封信放入5個不同信封的所有放法種數(shù)為 ，其中正好有2封信配對的不同結(jié)果總數(shù)為 正好有3封信配對的不同結(jié)果總數(shù)為 正好有4封信（5封信）全配對的不同結(jié)果總數(shù)為1，而且出現(xiàn)各種結(jié)果的可能性相同，說明：至少有兩封信與信封配對的反面是全不配對和恰好有1封信配對，但是配對越少，計算該結(jié)果的所有方法總數(shù)越困難，即計算該事件的概率越不方便現(xiàn)在把問題改為計算“至多兩封信與信封標(biāo)號配對”的概率是多少？我們轉(zhuǎn)化為求其對立事件的概率就簡單得多，它的對立事件為“3封信配對或4封信（即5封）配對”，得到其結(jié)果的概率為 ，在計算事件的概率時有時采用“正難則反”的逆向思維方法，直接計算事件的概率比較難，而計算其對立事件的概率比較容易時可采用這種方法例2 袋中裝有紅、黃、白3種顏色的球各1只，從中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：（1） 3只全是紅球的概率，（2） 3只顏色全相同的概率，（3） 3只顏色不全相同的概率，（4） 3只顏色全不相同的概率分析：有放回地抽3次的所有不同結(jié)果總數(shù)為 ，3只全是紅球是其中的1種結(jié)果，同樣3只顏色全相同是其中3種結(jié)果，全紅、全黃、全白，用求等可能事件的概率方式可以求它們的概率“3種顏色不全相同”包含的類型較多，而其對立事件為“三種顏色全相同”卻比較簡單，所以用對立事件的概率方式求解3只顏色全不相同，由于是一只一只地按步取出，相當(dāng)于三種顏色的一個全排列，其所有不同結(jié)果的總數(shù)為 ，用等可能事件的概率公式求解解：有放回地抽取3次，所有不同的抽取結(jié)果總數(shù)為：3只全是紅球的概率為 3只顏色全相同的概率為 “3只顏色不全相同”的對立事件為“三只顏色全相同”故“3只顏色不全相同”的概率為 “3只顏色全不相同”的概率為 說明：如果3種小球的數(shù)目不是各1個，而是紅球3個，黃球和白球各兩個，其結(jié)果又分別如何？首先抽3次的所有不同結(jié)果總數(shù)為 ，全是紅球的結(jié)果總數(shù)為 ，所以全是紅球的概率為 ，同樣全是黃球的概率為 ，全是白球的概率也是 ，所以3只球顏色全相同的概率為上述三個事件的概率之和， ，“三種顏色不全相同”為“三種顏色全相同”的對立事件，其概率為 “3只小球顏色全不相同”可以理解為三種顏色的小球各取一只，然后再將它們排成一列，得到抽取的一種結(jié)果，其所有不同結(jié)果總數(shù)為 （種），所以“3只小球顏色全不相同”的概率為 例3 有4個紅球，3個黃球，3個白球裝在袋中，小球的形狀、大小相同，從中任取兩個小球，求取出兩個同色球的概率是多少？分析：與倒2中取球方式不同的是，從中取出兩球是不放回的取出處理上，例2是分步取球，先取哪個后取哪個是有區(qū)別地對待，而本例中，只要搞清是取的什么球，直接用組合數(shù)列式取出兩個同色球可以分成下面幾個類型：兩個紅球；兩個黃球；兩個白球解：從10個小球中取出兩個小球的不同取法數(shù)為 “從中取出兩個紅球”的不同取法數(shù)為，其概率為 “從中取出兩個黃球”的不同取法數(shù)為，其概率為 “從中取出兩個白球”的不同取法數(shù)為，其概率為 所以取出兩個同色球的概率為： 說明：本題求取出兩個同色球的概率，對結(jié)果比較容易分類，如果換上“取出3個球，至少兩個同顏色”，這樣的問題分類相對就比較復(fù)雜，在此我們不一一列出，但考慮其反面，對立事件為“取出3個球，顏色全不相同”，對立事件的概率比較容易算出取出3個球，顏色全不相同的所有不同取法數(shù)為 （種），對立事件的概率為 ，所以“取出3個球，至少兩個同顏色”的概率為： 例4 在 9個國家乒乓球隊(duì)中有 3個亞洲國家隊(duì)，抽簽分成三組進(jìn)行比賽預(yù)賽求：（1）三個組各有一支亞洲隊(duì)的概率；（2）至少有兩個亞洲國家隊(duì)在同組的概率分析：9個隊(duì)平均分成三組的所有不同的分法總數(shù)為 ，其中每個隊(duì)有一支亞洲國家隊(duì)的分法數(shù)為 ，用等可能事件的概率公式可求其概率至少有兩支亞洲國家隊(duì)在同一小組可分成兩類：恰好有兩支亞洲國家隊(duì)在同一組；三支亞洲國家隊(duì)在同一組分別計算它們的概率然后相加此外，我們也可以先計算其對立事件的概率，而其對立事件為“3支亞洲國家隊(duì)不在同一組”，實(shí)際上兩小題的事件互為對立事件解：（1）所有的分組結(jié)果是等可能的，9支隊(duì)平均分成3組的不同分法數(shù)為：（種）其中三個組各有一支亞洲隊(duì)，可以看成其它6支隊(duì)中任取2支隊(duì)與第1個亞洲隊(duì)合為一組，剩下4支隊(duì)任取2支與第2個亞洲隊(duì)一組，最后2支隊(duì)與第2、3支亞洲隊(duì)一組，所有不同的分法數(shù)為 （種）。所以“三個組各有一支亞洲隊(duì)的概率為 （2）方法1：“至少有兩支亞洲隊(duì)在同一組”分為兩類：“恰好兩支亞洲國家隊(duì)在一組”，概率為 “三支亞洲國家隊(duì)在同一組”的概率為 方法2：“至少有兩支亞洲在同一組”的對立事件為“三個組各有一支亞洲隊(duì)”。由（1）可得，“至少有兩支亞洲隊(duì)在同一組”的概率為：習(xí)題精選一、選擇題1兩個事件對立是這兩個事件互斥的（ ）A充分但不是必要條件B必要但不是充分條件C充分必要條件D既不充分又不必要條件2今有光盤驅(qū)動器50個，其中一級品45個，二級品5個，從中任取3個，出現(xiàn)二級品的概率為（ ）ABCD 3打靶時，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若兩人同時射一個目標(biāo)，則他們都中靶的概率是（ ）ABCD 4某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品若生產(chǎn)中出現(xiàn)乙級品的概率為0.03，丙級品的概率為0.01，則對成品抽查一件抽得正品的概率為（ ）A0.99B0.98C0.97D0.96二、填空題5乘客在某電車站等待26路或16路電車，該站?？?6，22，26，31四路電車假定各路電車?？康念l率一樣，則乘客期待電車首先?？康母怕实扔?今有一批球票，按票價分類如下：10元票5張，20元票3張，50元票2張，從這10張票中隨機(jī)抽出3張，票價和為70元的概率是_7某市派出甲、乙兩支球隊(duì)參加全省足球冠軍賽甲乙兩隊(duì)奪取冠軍的概率分別是 則該市足球隊(duì)奪得全省冠軍的概率是_.三、解答題8在放有5個紅球、4個黑球、3個白球的袋中，任意取出3個球，分別求出3個全是同色球的概率及全是異色球的概率9在房間里有4個人間至少有兩個人的生日是同一個月的概率是多少？10從1，2，3，100這100個數(shù)中，隨機(jī)取出兩個數(shù)，求其積是3的倍數(shù)的概率參考答案1A； 2C； 3A； 4D； 5 ； 6 ； 7 ；8解：以12個球中任取3個，共有 種不同的取法，故全是同色球的概率為 ，全是異色球的概率為 9解：由于事件A“至少有兩個人的生日是同一個月”的對立事件 是“任何兩個人的生日都不同月”因而至少有兩人的生日是同一