《 拋物線的性質(zhì)》 第二課時(shí)教學(xué)案例.doc

幾何畫板技術(shù)與教學(xué)實(shí)際的整合 拋物線的性質(zhì)第二課時(shí)教學(xué)案例饒慶軍背景分析: 本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了拋物線的基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，是對(duì)拋物線的性質(zhì)在運(yùn)用上的進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)。既要注重知識(shí)的前后聯(lián)系，也要體現(xiàn)了知識(shí)的靈活性、趣味性和創(chuàng)新性特點(diǎn)。教學(xué)中力求實(shí)現(xiàn)以教師為主導(dǎo)，以學(xué)生為主體，充分結(jié)合多媒體技術(shù)，以“形”為誘導(dǎo)，以拋物線的三種弦為載體，以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，探究能力為重點(diǎn)的教學(xué)思想。數(shù)形結(jié)合的思想始終貫穿其中，體現(xiàn)了新課標(biāo)的一些基本理念。教學(xué)目標(biāo):知識(shí)目標(biāo)：拋物線的相關(guān)的基本性質(zhì)。能力目標(biāo)：對(duì)拋物線的基本性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單乃至較復(fù)雜的運(yùn)用。情感與態(tài)度目標(biāo)：通過數(shù)形結(jié)合提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值。教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)：圍繞拋物線的一些基本性質(zhì)解決拋物線的三種弦的相關(guān)問題。教學(xué)關(guān)鍵：如何利用多媒體技術(shù)與教學(xué)實(shí)際進(jìn)行整合。教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)引導(dǎo)，創(chuàng)設(shè)情景，注重探究。案例過程：如圖1投影一條帶有垂直于對(duì)稱軸的弦拋物線的圖象。并拖動(dòng)這條弦，且使弦始終與對(duì)稱軸垂直。學(xué)生很驚奇這一動(dòng)態(tài)的演示。師：這是一條拋物線的垂直于對(duì)成軸的弦，大家一定很奇怪這條動(dòng)態(tài)的弦是怎么作出來的。教師演示：在拋物線上任取原點(diǎn)除外的一點(diǎn)。以x軸為鏡面反射出另一點(diǎn)，然后連接這兩點(diǎn)，作出這條弦。師：大家有沒有發(fā)現(xiàn)我在作這條弦時(shí)用到了拋物線的那條性質(zhì)呢？生：拋物線的對(duì)稱性。師：很好，今天我們就先來研究拋物線的第一種特殊弦-和對(duì)稱軸垂直的弦。連接拋物線的頂點(diǎn)和該弦的兩個(gè)端點(diǎn)，并投影出問題1：已知拋物線y2=2px（p0）,弦ABx軸,AOB=60o，求弦AB的長(zhǎng).（如圖2） 學(xué)生很快利用該弦的特點(diǎn)和拋物線的對(duì)稱性解出AB=2yA=4p.師：那么以拋物線的頂點(diǎn)0為一個(gè)頂點(diǎn)的內(nèi)接正三角形OAB的邊AB一定關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱嗎？接著投影出問題2：已知點(diǎn)A、B為拋物線y2=2px(p0)上兩點(diǎn)，若|OA|=|OB|, 求證:弦ABx軸.一名同學(xué)也很快利用點(diǎn)A、B在拋物線上，它們的坐標(biāo)滿足拋物線的方程，以及條件|OA|=|OB|，證出|yA|=|yB|,即弦ABx軸. 師：以上兩個(gè)問題其實(shí)是我對(duì)教材121頁(yè)的例3所給問題的一個(gè)分解，該問題可以充分利用拋物線的與對(duì)稱軸垂直的弦的特點(diǎn)，來解決拋物線內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)問題，但邊AB與x軸垂直是要證明的，這也充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，當(dāng)然我們以后還是可以直接利用這一結(jié)論的。如圖3再投影一條帶有焦點(diǎn)弦的拋物線的圖象。并拖動(dòng)這條弦，且使弦始終過焦點(diǎn)。學(xué)生對(duì)新的動(dòng)態(tài)演示又產(chǎn)生很高的興趣。師：這是拋物線的一條焦點(diǎn)弦，大家也一定好奇這條弦我又是如何作出來的。其實(shí)我開始作了一個(gè)嘗試，但是卻失敗了。演示：在拋物線上取頂點(diǎn)外一點(diǎn)，并與焦點(diǎn)F確定一條直線，結(jié)果該直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)卻顯示不出來，隱藏了直線就無法連出焦點(diǎn)弦。師：看來作出該直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)是作出焦點(diǎn)弦的關(guān)鍵，不過這次我先不演示我的做法，大家先看我給出的幾個(gè)問題，在解決了這幾個(gè)問題之后便會(huì)知道我是如何作出來的。問題1：已知拋物線y2=2px(p0)，過通徑AB的端點(diǎn)B作BQ平行x軸交準(zhǔn)線于Q點(diǎn)，求證：A、0、Q三點(diǎn)共線. （如圖4）學(xué)生利用A（,p）,O(0,0),Q(,-p),得出kAO=kBO,從而證出A、0、Q三點(diǎn)共線.拖動(dòng)A點(diǎn)，把通徑變成一條一般的焦點(diǎn)弦（圖5），并投影出問題2：已知拋物線y2=2px(p0)，過焦點(diǎn)弦AB的端點(diǎn)B作BQ平行x軸交準(zhǔn)線于Q點(diǎn)，求證：A、0、Q三點(diǎn)共線.由于失去了通徑的特殊性，學(xué)生按照問題1的思路雖可設(shè)出A（x1,y1）,O(0,0),Q(,y2), 及算出kAO= =, kBO=,如何證明 kAO=kBO還是存在障礙，此時(shí)點(diǎn)撥利用教材習(xí)題中拋物線的一個(gè)很隱蔽的性質(zhì)結(jié)論，即以x軸為對(duì)稱軸的拋物線的焦點(diǎn)弦的端點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積y1 y2=-p2,該問題便迎刃而解了。師：?jiǎn)栴}2還可以引申出幾個(gè)變式問題，都可利用結(jié)論y1 y2=-p2加以解決，例如變式1：已知拋物線y2=2px(p0)，過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于AB兩點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A和拋物線頂點(diǎn)的直線交準(zhǔn)線于點(diǎn)Q，則BQ平行x軸（教材習(xí)題）. 變式2：已知拋物線y2=2px(p0)，點(diǎn)A是拋物線上除頂點(diǎn)外任意一點(diǎn)，直線AO交準(zhǔn)線于Q點(diǎn)，過Q作x軸的平行線，交直線AF于B點(diǎn)，則點(diǎn)B必在拋物線上。（如圖6）師：變式2其實(shí)已經(jīng)幫我們把AF與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)作出來了。下面我給大家作個(gè)演示。演示：在拋物線上取頂點(diǎn)外一點(diǎn)A，并與焦點(diǎn)F確定一條直線AF，再連結(jié)AO交準(zhǔn)線于Q點(diǎn)，過Q作x軸的平行線，交直線AF于B點(diǎn)，用線段連接A、B兩點(diǎn)，然后隱藏直線AQ、BQ和AB，一條漂亮的動(dòng)態(tài)的焦點(diǎn)弦便作了出來！如圖7再投影一條帶有定長(zhǎng)弦的拋物線的圖象，拖動(dòng)定長(zhǎng)弦，并讓學(xué)生觀察弦的特點(diǎn)。師：該弦有什么特征？生：運(yùn)動(dòng)過程中長(zhǎng)度保持不變。師：不錯(cuò)，該弦是長(zhǎng)度不變的動(dòng)弦，我們可以稱其為定長(zhǎng)弦，對(duì)于定長(zhǎng)弦也有一個(gè)很經(jīng)典的問題，大家請(qǐng)看問題：已知拋物線y2=2px(p0)，動(dòng)弦AB的長(zhǎng)為定值m(m2p)，求AB中點(diǎn)M橫坐標(biāo)的最小值.經(jīng)過一段時(shí)間思考，學(xué)生普遍感到手足無措，無從下手。師：由于這種弦只是長(zhǎng)度不變，缺乏與x軸垂直或過焦點(diǎn)的特殊性,確實(shí)很難入手，但請(qǐng)大家觀察，現(xiàn)在我連結(jié)AF和BF，這兩條線段可稱作什么？（如圖8）生：焦半徑。師：而且當(dāng)AB不過焦點(diǎn)時(shí)，A、B、F三點(diǎn)確定一個(gè)三角形，現(xiàn)在大家能否利用三角形的三邊的關(guān)系定理及焦半徑公式找出AB中點(diǎn)坐標(biāo)與線段AB長(zhǎng)度的關(guān)系？于是有學(xué)生很快得出|AB|師：這樣顯然是沒有最小值的，該不等式能取到等號(hào)嗎？生：可以，當(dāng)該弦剛好過焦點(diǎn)時(shí)。師：定長(zhǎng)弦在運(yùn)動(dòng)過程中一定能保證可以過焦點(diǎn)嗎？生：不一定，過焦點(diǎn)的弦不應(yīng)小于通徑，而該題目已經(jīng)給出了該定長(zhǎng)弦不小于通徑的條件。師：很好，問題解決了，可能同學(xué)們還有一個(gè)疑問，這種弦老師又是怎么作出來的，不過這次老師可能會(huì)讓大家失望了，因?yàn)檫@種弦的制作方法相當(dāng)復(fù)雜，老師只是利用別人的成果，老師希望你們能刻苦學(xué)習(xí)，將來青出于藍(lán)而勝于藍(lán)。案例分析信息技術(shù)在教學(xué)中的應(yīng)用，給傳統(tǒng)教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)帶來了強(qiáng)大的沖擊。那些強(qiáng)調(diào)知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系、基本理論、與真實(shí)世界相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容變得越來越重要，教學(xué)過程的多媒化，利用多媒體，尤其是超媒體技術(shù)，建立教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化、動(dòng)態(tài)化、形象化表示也日益受到重視。計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)進(jìn)人數(shù)學(xué)課堂，可使抽象的概念具體化、形象化，尤其是計(jì)算機(jī)能進(jìn)行動(dòng)態(tài)的演示，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)教學(xué)方式在直觀感、立體感和動(dòng)態(tài)感等方面的不足，利用這個(gè)特點(diǎn)可處理其他教學(xué)手段難以處理的問題，并能引起學(xué)生的興趣，增強(qiáng)他們的直觀印象，為教師化解教學(xué)難點(diǎn)、突破教學(xué)重點(diǎn)、提高課堂效率和教學(xué)效果提供了一種現(xiàn)代化的教學(xué)手段。幾何畫板作為一種數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)用技術(shù)軟件，也為學(xué)生提供自我動(dòng)手、探索問題的機(jī)會(huì)：當(dāng)面對(duì)問題時(shí)，學(xué)生可以通過思考和協(xié)作，提出自己的假設(shè)和推理，然后用幾何畫板進(jìn)行驗(yàn)證；此外，學(xué)生還可以使用幾何畫板自己做實(shí)驗(yàn)來發(fā)現(xiàn)、總結(jié)一些數(shù)學(xué)規(guī)律和數(shù)學(xué)現(xiàn)象。計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)進(jìn)人課堂，可使抽象的概念具體化、形象化，尤其是計(jì)算機(jī)能進(jìn)行動(dòng)態(tài)的演示，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)教學(xué)方式在直觀感、立體感和動(dòng)態(tài)感等方面的不足，利用這個(gè)特點(diǎn)可處理其他教學(xué)手段難以處理的問題，并能引起學(xué)生的興趣，增強(qiáng)他們的直觀印象，為教師化解教學(xué)難點(diǎn)、突破教學(xué)重點(diǎn)、提高課堂效率和教學(xué)效果提供了一種現(xiàn)代化的教學(xué)手段。當(dāng)然，信息技術(shù)在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的運(yùn)用一定要緊扣教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容，要根據(jù)不同的教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)去選擇、運(yùn)用不同的信息技術(shù)，充分發(fā)揮其在教學(xué)上的優(yōu)勢(shì).本案例先通過幾何畫板演示拋物線一條動(dòng)態(tài)的垂直于對(duì)稱軸的弦，首先引起學(xué)生的好奇心，通過對(duì)該弦的作法的展示，融入拋物線的相關(guān)的對(duì)稱性質(zhì)，達(dá)到復(fù)習(xí)舊知的目的。在結(jié)下來的教學(xué)過程中，還巧妙地將教材的例題進(jìn)行分解，而不是照本宣科利用教材的例題，結(jié)合幾何畫板作圖，由淺入深，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生思考問題的積極性，并培養(yǎng)學(xué)生的思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。在以后的每次新問題的出現(xiàn)，都通過展示拋物線的幾種特殊弦，設(shè)置該種弦的作法的懸念，引發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)問題的愿望。而在問題的設(shè)置上，又充分利用幾