2017_18學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面解析幾何初步2.1.2中的基本公式學(xué)案.docx

2.1.2平面直角坐標(biāo)系中的基本公式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離公式的探索,掌握平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)的距離公式和中點(diǎn)公式.2.通過對(duì)兩點(diǎn)的距離公式的推導(dǎo)過程的探索,體會(huì)算法.3.進(jìn)一步體會(huì)“坐標(biāo)法”的基本思想,逐步學(xué)會(huì)用“坐標(biāo)法”解決有關(guān)問題.知識(shí)鏈接1.在直角坐標(biāo)系中,A(1,0),B(3,0)兩點(diǎn)的距離為2；C(0,1),D(0,3)兩點(diǎn)的距離為4.2.在直角三角形ABC中,B90,AB3,BC4,則AC5.預(yù)習(xí)導(dǎo)引1.兩點(diǎn)間距離公式兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)間的距離公式表示為d(A,B)；當(dāng)AB垂直于y軸時(shí),d(A,B)|x2x1|；當(dāng)AB垂直于x軸時(shí),d(A,B)|y2y1|；當(dāng)B為原點(diǎn)時(shí),d(A,B).2.坐標(biāo)法(1)定義：在解決一些平面上的幾何問題時(shí),經(jīng)常在平面上建立坐標(biāo)系,以坐標(biāo)系為橋梁,將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,通過代數(shù)運(yùn)算研究幾何圖形的性質(zhì),這種方法稱為坐標(biāo)法.注意在建立坐標(biāo)系時(shí),可以建立直線坐標(biāo)系、直角坐標(biāo)系等.(2)坐標(biāo)法解決問題的基本步驟如下：第一步,根據(jù)題中條件,建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,用坐標(biāo)表示有關(guān)的量；第二步,進(jìn)行有關(guān)代數(shù)運(yùn)算；第三步,把代數(shù)結(jié)果翻譯成幾何關(guān)系.3.中點(diǎn)坐標(biāo)公式已知A(x1,y1),B(x2,y2),設(shè)點(diǎn)M(x,y)是線段AB的中點(diǎn),則中點(diǎn)坐標(biāo)公式為.要點(diǎn)一兩點(diǎn)的距離公式的應(yīng)用例1已知ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(a,0),B(a,0),C(0,a).求證：ABC是等邊三角形.證明由兩點(diǎn)的距離公式得|AB|2|a|,|BC|2|a|,|CA|2|a|.|AB|BC|CA|,故ABC是等邊三角形.規(guī)律方法1.判斷多邊形的形狀或判斷點(diǎn)之間的關(guān)系時(shí),若已知點(diǎn)的坐標(biāo),一般轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)的距離求解.2.根據(jù)邊長判斷三角形形狀的結(jié)論主要有以下幾種：等腰、等邊、直角、等腰直角三角形等,在進(jìn)行判斷時(shí),一定要得出最終結(jié)果,比如一個(gè)三角形是等腰直角三角形,若我們只通過兩邊長相等判定它是等腰三角形則是不正確的.跟蹤演練1本例若改為：已知A(1,1),B(3,5),C(5,3),試判斷ABC的形狀.解d(A,B)2,d(A,C)2,d(B,C)2.所以|AB|AC|BC|,且顯然三邊長不滿足勾股定理,所以ABC為等腰三角形,要點(diǎn)二中點(diǎn)公式的應(yīng)用例2已知平行四邊形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(4,2),B(5,7),對(duì)角線交點(diǎn)為E(3,4),求另外兩頂點(diǎn)C、D的坐標(biāo).解設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1),則由E為AC的中點(diǎn)得：得設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(x2,y2),則由E為BD的中點(diǎn)得得故C點(diǎn)坐標(biāo)為(10,6),D點(diǎn)坐標(biāo)為(11,1).規(guī)律方法1.本題是用平行四邊形對(duì)角線互相平分這一性質(zhì),依據(jù)中點(diǎn)公式列方程組求點(diǎn)的坐標(biāo).2.中點(diǎn)公式常用于求與線段中點(diǎn),三角形的中線,平行四邊形的對(duì)角線等有關(guān)的問題,解題時(shí)一般先根據(jù)幾何概念,提煉出點(diǎn)之間的“中點(diǎn)關(guān)系”,然后用中點(diǎn)公式列方程或方程組求解.跟蹤演練2已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(0,0),B(2,0),D(1,3),求頂點(diǎn)C的坐標(biāo).解平行四邊形的對(duì)角線互相平分,平行四邊形對(duì)角線的中點(diǎn)坐標(biāo)相同.設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為C(x,y),則即C(3,3).要點(diǎn)三坐標(biāo)法的應(yīng)用例3已知正三角形ABC的邊長為a,在平面上求一點(diǎn)P,使|PA|2|PB|2|PC|2最小,并求此最小值.解以BC所在直線為x軸,BC的垂直平分線為y軸,建立直角坐標(biāo)系如圖.則A,B,C設(shè)P(x,y)則|PA|2|PB|2|PC|2x222y22y23x23y2ay3x232a2a2,當(dāng)且僅當(dāng)x0,ya時(shí),等號(hào)成立,所求最小值為a2,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為P是正ABC的中心.規(guī)律方法(1)也可以B為原點(diǎn),BC所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系,計(jì)算也不復(fù)雜.(2)配方法求最值是重要方法,應(yīng)掌握好.(3)選擇恰當(dāng)坐標(biāo)系的原則是“避繁就簡”.跟蹤演練3已知ABC是直角三角形,斜邊BC的中點(diǎn)為M,建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系.證明：AMBC.證明如圖所示,以RtABC的直角邊AB所在直線為x軸,AC所在直線為y軸,建立直角坐標(biāo)系,設(shè)B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(b,0)、(0,c),點(diǎn)M是BC的中點(diǎn),故點(diǎn)M的坐標(biāo)為.由兩點(diǎn)的距離公式,得|BC| ,|AM| ,AMBC.1.已知A(8,3),B(5,3),則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為()A. B.C. D.答案B解析由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可以求得.2.已知A(1,2),B(a,6),且|AB|5,則a的值為()A.4 B.4或2C.2 D.2或4答案D解析5,解得a2或4.3.已知線段AB的中點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),且A(x,2),B(3,y),則xy等于()A.5 B.1 C.1 D.5答案D解析易知x3,y2,xy5.4.以A(5,5),B(1,4),C(4,1)為頂點(diǎn)的三角形是()A.直角三角形 B.等腰三角形C.等邊三角形 D.等腰直角三角形答案B5.點(diǎn)A(2,3),B(5,4)之間的距離為_.答案解析|AB|.1.A,B兩點(diǎn)的距離與A,B兩點(diǎn)的順序無關(guān),即d(A,B)d(B,A).公式中坐標(biāo)的順序也可以同時(shí)調(diào)換,即d(A,B).2.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),若已知點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),則有對(duì)于A,B,M三點(diǎn),只需知道其中兩點(diǎn)的坐標(biāo),便可求出其余一點(diǎn)的坐標(biāo).3.坐標(biāo)法應(yīng)用的注意點(diǎn)：一些平面幾何問題用坐標(biāo)法解決更簡單,但要把坐標(biāo)系建立在適當(dāng)?shù)奈恢蒙?注意利用圖形的幾何性質(zhì).(1)要使盡