(高年級 老師用)第十二講：雞免同籠問題.doc

品淘奧數(shù)（高年段 老師用）第十二講：雞免同籠問題專題簡析： 雞免同籠問題是指雞與免同在一個籠中，已知雞的總頭數(shù)以及雞與免的總腳數(shù)，求雞和免各多少只的應(yīng)用問題。雞免同籠問題也叫簡換問題。解答時，一般采用假設(shè)法，即假定全部的只數(shù)都是雞或者都是免，算出假定情況下的腳數(shù)和實際上的腳數(shù)各、腳數(shù)差，然后推算出雞和免的只數(shù)。計算時的主要數(shù)量關(guān)系是：1、如果假定全部是免，則雞的只數(shù)=（每只免的腳數(shù)總頭數(shù)-總腳數(shù)）（每一只雞與免腳數(shù)的差）簡單理解就是：雞的只數(shù)=（4總頭數(shù)-總腳數(shù)）2；免的只數(shù)=總頭數(shù)-雞的只數(shù)。2、如果假定全部是雞，則免的只數(shù)=（總腳數(shù)-每只雞的腳數(shù)總頭數(shù)）（每一只雞與免腳數(shù)的差）簡單理解就是：免的只數(shù)=（總腳數(shù)-2總頭數(shù)）2；雞的只數(shù)=總頭數(shù)-免的只數(shù)。小試牛刀1、小梅數(shù)她家的雞與兔，數(shù)頭有16個，數(shù)腳有44只。問：小梅家的雞與兔各有多少只？ 分析與解答：假設(shè)16只都是雞，那么就應(yīng)該有21632（只）腳，但實際上有44只腳，比假設(shè)的情況多了44-3212（只）腳，出現(xiàn)這種情況的原因是把兔當作雞了。如果我們以同樣數(shù)量的兔去換同樣數(shù)量的雞，那么每換一只，頭的數(shù)目不變，腳數(shù)增加了2只。因此只要算出12里面有幾個2，就可以求出兔的只數(shù)。即：有兔（44-216）（4-2）=6（只），有雞16-610（只）。當然，我們也可以假設(shè)16只都是兔子，那么就應(yīng)該有41664（只）腳，但實際上有44只腳，比假設(shè)的情況少了64-4420（只）腳，這是因為把雞當作兔了。我們以雞去換兔，每換一只，頭的數(shù)目不變，腳數(shù)減少了4-22（只）。因此只要算出20里面有幾個2，就可以求出雞的只數(shù)。有雞（416-44）（4-2）=10（只），有兔16-106（只）。2、100個猴子分140個香蕉，大猴子1只分3個香蕉，小猴子1只分1個香蕉。問：大、小猴子各有多少只？分析與解答：如果將大猴子、小猴子分別看作兔和雞，香蕉看作腿，那么就成了雞兔同籠問題，可以用假設(shè)法來解。假設(shè) 100只全是大猴子，那么共需香蕉300個，比實際多300140160（個）?，F(xiàn)在以小猴子去換大猴子，每換一個總只數(shù)不變，而香蕉就要減少312（個），因為160280，故小猴子有80人，大猴子有1008020（人）。同樣，也可以假設(shè)100人都是小和尚，同學(xué)們不妨自己試試。3、彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，這兩種文化用品共買了16套，用錢280元。問：兩種文化用品各買了多少套？分析與解答：假設(shè)買了16套彩色文化用品，則共需1916304（元），比實際多30428024（元），現(xiàn)在用普通文化用品去換彩色文化用品，每換一套少用19118（元），所以，買普通文化用品 248=3（套），買彩色文化用品 16313（套）。4、樂樂百貨商店委托搬運站運送500只花瓶，雙方商定每只運費0.24元，但如果發(fā)生損壞，那么每打破一只不僅不給運費，而且還要賠償1.26元，結(jié)果搬運站共得運費115.5元。問：搬運過程中共打破了幾只花瓶？分析與解答：假設(shè)500只花瓶在搬運過程中一只也沒有打破，那么應(yīng)得運費0.24500=120（元）。實際上只得到115.5元，少得120-115.5=4.5（元）。搬運站每打破一只花瓶要損失0.241.261.5（元）。因此共打破花瓶4.51.53（只）。即：（0.24500115.5）（0.241.26）3（只）。5、老師帶學(xué)生共100人去植樹，學(xué)生平均3人栽1棵，老師每人栽3棵，正好栽樹100棵。老師和學(xué)生各去了多少人？分析與解答：假設(shè)100人全是老師，就可以栽樹3100 = 300棵，比實際多栽300100 = 200棵。為什么會多出200棵，因為把學(xué)生當成了老師。把3個學(xué)生算成3個老師，栽樹的棵樹就要多算331 = 8棵，200里面有多少個8，學(xué)生數(shù)就是多少個3人，這就可求出學(xué)生的實際人數(shù)。即：學(xué)生（ 3100100）（331）3 = 75（人）， 老師10075 = 25（人）。挑戰(zhàn)自我1、一批鋼材，用小卡車裝載要45輛，用大卡車裝載只要36輛。已知每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，那么這批鋼材有多少噸？分析與解答：要算出這批鋼材有多少噸，需要知道每輛大卡車或小卡車能裝多少噸。利用假設(shè)法，假設(shè)只用36輛小卡車來裝載這批鋼材，因為每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，所以要剩下436=144（噸）。根據(jù)條件，要裝完這144噸鋼材還需要45-36=9（輛）小卡車。這樣每輛小卡車能裝144916（噸）。由此可求出這批鋼材有多少噸。即：436（45-36）45720（噸）。2、小樂與小喜一起跳繩，小喜先跳了2分鐘，然后兩人各跳了3分鐘，一共跳了780下。已知小喜比小樂每分鐘多跳12下，那么小喜比小樂共多跳了多少下？分析與解答：利用假設(shè)法，假設(shè)小喜的跳繩速度減少到與小樂一樣，那么兩人跳的總數(shù)減少了：12（23）60（下）?？汕蟪鲂访糠昼娞海?8060）（233）90（下），小樂一共跳了903=270（下），因此小喜比小樂共多跳7802702240（下）。3、小毛參加數(shù)學(xué)競賽，共做20道題，得64分，已知做對一道得5分，不做得0分，錯一題扣1分，又知道他做錯的題和沒做的一樣多。問小毛做對幾道題 ?分析與解答：因為做錯的和沒做的一樣多，就假定這兩種情況都倒扣1分。所以沒做或做錯的有 (520-64) (5+1)=6(道)，做對的有20-6=14(道)。4、小花到野外采蘑菇，晴天一天可以采到22個，雨天一天只能采到13個，她一連幾天采了144個蘑菇，她平均每天采16個，問這幾天當中有幾天是雨天？分析與解答： 由一共采了144個蘑菇和平均每天采16個蘑菇這兩個已知條件，我們可知道她一共采了14416=9（天），如果把這9天全部看成是晴天，她可采到229=198（個）蘑菇，比實際采到的蘑菇多了198-144=54（個），而這相差的54個蘑菇是因為將一個雨天當成晴天就多算了22-13=9（個），所以一共有雨天549=6（天）。5、雞兔共有腿50條，若將雞數(shù)與兔數(shù)互換，則腿數(shù)變?yōu)?2條，雞、免各有多少只？分析與解答：首先判斷雞和哪那種多：互換后腿增多說明原來雞多。每把1只雞換成1只兔腿的總數(shù)就增加2條，反之就減少。本題互換后增加了2條腿說明原來雞多1只。每只雞有2條腿，如果拿出一只雞后腿的總數(shù)就成為48條。這時候雞和兔就同樣多。(1只雞+1只兔)有6條腿。48（2+4）=486=8，8+1=9(只) 答：原有9只雞，8只兔。智慧一加一1、雞、兔共100只，雞腳比兔腳多20只。問：雞、兔各多少只？分析與解答：假設(shè)100只都是雞，沒有兔，那么就有雞腳200只，而兔的腳數(shù)為零。這樣雞腳比兔腳多200只，而實際上只多20只，這說明假設(shè)的雞腳比兔腳多的數(shù)比實際上多20020=180（只）?，F(xiàn)在以兔換雞，每換一只，雞腳減少2只，兔腳增加4只，即雞腳比兔腳多的腳數(shù)中就會減少426（只），而180630，因此有兔子30只，雞1003070（只）。即：有兔（210020）（24）30（只），有雞10030=70（只）。2、甲乙兩人射擊,若命中,甲得4分,乙得5分;若不中,甲失2分,乙失3分,每人各射10發(fā),共命中14發(fā),結(jié)算分數(shù)時,甲比乙多10分,問甲、乙各中幾發(fā)?分析與解答：假設(shè)甲中10發(fā)，乙就中14-10=4(發(fā))。甲得410=40(分)，乙得54-36=2(分)。此題條件“甲比乙多10分”相差(40-2)-10=28(分)，甲少中1發(fā)，少4+2=6(分)，乙可增加5+3=8(分)。28(8+6)=2，10-2=8(發(fā))甲，14-8=6(發(fā))乙。3、有兩次自然測驗,第一次24道題,答對1題得5分,答錯(包含不答)1題倒扣1分;第二次15道題,答對1題8分,答錯或不答1題倒扣2分,小明兩次測驗共答對30道題,但第一次測驗得分比第二次測驗得分多10分,問小明兩次測驗各得多少分分析與解答：如果小明第一次測驗24題全對，得524=120(分)。那么第二次只做對30-24=6(題)，得分是86-2(15-6)=30(分)，兩次相差120-30=90(分)，比題目中條件相差10分多了80分。說明假設(shè)的第一次答對題數(shù)多了，要減少.第一次答對減少一題，少得5+1=6(分)，而第二次答對增加一題不但不倒扣2分，還可得8分，因此增加8+2=10分。兩者兩差數(shù)就可減少6+10=16(分)。 (90-10)(6+10)=5(題)。因此，第一次答對題數(shù)要比假設(shè)(全對)減少5題，也就是第一次答對19題，第二次答對30-19=11(題)。第一次得分519-1(24- 9)=90，第二次得分811-2(15-11)=80。4、蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀，蜘蛛有8條腿但沒有翅膀。現(xiàn)在共有這三種昆蟲18只，有118條腿，20對翅膀。那么三種昆蟲各有多少只？分析與