初二數(shù)學(xué)壓軸幾何證明題(含答案).doc

1.四邊形ABCD是正方形，BEF是等腰直角三角形，BEF=90，BE=EF，連接DF，G為DF的中點(diǎn)，連接EG，CG，EC(1)如圖1，若點(diǎn)E在CB邊的延長(zhǎng)線上，直接寫出EG與GC的位置關(guān)系及的值；(2)將圖1中的BEF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2所示位置，請(qǐng)問(1)中所得的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由；(3)將圖1中的BEF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(090)，若BE=1，AB=，當(dāng)E，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線時(shí)，求DF的長(zhǎng)及tanABF的值解：（1）EGCG，=，理由是：過G作GHEC于H，F(xiàn)EB=DCB=90，EFGHDC，G為DF中點(diǎn)，H為EC中點(diǎn)，EG=GC，GH=（EF+DC）=（EB+BC），即GH=EH=HC，EGC=90，即EGC是等腰直角三角形，=；（2）解：結(jié)論還成立，理由是：如圖2，延長(zhǎng)EG到H，使EG=GH，連接CH、EC，過E作BC的垂線EM，延長(zhǎng)CD，在EFG和HDG中EFGHDG（SAS），DH=EF=BE，F(xiàn)EG=DHG，EFDH，1=2=90-3=4，EBC=180-4=180-1=HDC，在EBC和HDC中EBCHDCCE=CH，BCE=DCH，ECH=DCH+ECD=BCE+ECD=BCD=90，ECH是等腰直角三角形，G為EH的中點(diǎn)，EGGC，=，即（1）中的結(jié)論仍然成立；（3）解：連接BD，AB=，正方形ABCD，BD=2，cosDBE=，DBE=60，ABE=DBE-ABD=15，ABF=45-15=30，tanABF=，DE=BE=，DF=DE-EF=-1解析：（1）過G作GHEC于H，推出EFGHDC，求出H為EC中點(diǎn)，根據(jù)梯形的中位線求出EG=GC，GH=（EF+DC）=（EB+BC），推出GH=EH=BC，根據(jù)直角三角形的判定推出EGC是等腰直角三角形即可；（2）延長(zhǎng)EG到H，使EG=GH，連接CH、EC，過E作BC的垂線EM，延長(zhǎng)CD，證EFGHDG，推出DH=EF=BE，F(xiàn)EG=DHG，求出EBC=HDC，證出EBCHDC，推出CE=CH，BCE=DCH，求出ECH是等腰直角三角形，即可得出答案；（3）連接BD，求出cosDBE=，推出DBE=60，求出ABF=30，解直角三角形求出即可2.已知正方形ABCD和等腰直角三角形BEF，BE=EF，BEF=90，按圖1放置，使點(diǎn)E在BC上，取DF的中點(diǎn)G，連接EG，CG(1)延長(zhǎng)EG交DC于H，試說明：DH=BE(2)將圖1中BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45，連接DF，取DF中點(diǎn)G(如圖2)，莎莎同學(xué)發(fā)現(xiàn)：EG=CG且EGCG在設(shè)法證明時(shí)他發(fā)現(xiàn)：若連接BD，則D，E，B三點(diǎn)共線你能寫出結(jié)論“EG=CG且EGCG”的完整理由嗎？請(qǐng)寫出來(lái)(3)將圖1中BEF繞B點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)任意角度(090)，再連接DF，取DF的中點(diǎn)G(如圖3)，第2問中的結(jié)論是否成立？若成立，試說明你的結(jié)論；若不成立，也請(qǐng)說明理由（1）證明：BEF=90，EFDH，EFG=GDH，而EGF=DGH，GF=GD，GEFGHD，EF=DH，而BE=EF，DH=BE；（2）連接DB，如圖，BEF為等腰直角三角形，EBF=45，而四邊形ABCD為正方形，DBC=45，D，E，B三點(diǎn)共線而BEF=90，F(xiàn)ED為直角三角形，而G為DF的中點(diǎn)，EG=GD=GC，EGC=2EDC=90，EG=CG且EGCG；（3）第2問中的結(jié)論成立理由如下：連接AC、BD相交于點(diǎn)O，取BF的中點(diǎn)M，連接OG、EM、MG，如圖，G為DF的中點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn)，M為BF的中點(diǎn)，OGBF，GMOB，四邊形OGMB為平行四邊形，OG=BM，GM=OB，而EM=BM，OC=OB，EM=OG，MG=OC，DOG=GMF，而DOC=EMF=90，EMG=GOC，MEGOGC，EG=CG，EGM=OCG，又MGF=BDF，F(xiàn)GC=GDC+GCD，EGC=EGM+MGF+FGC=BDF+GDC+GCD+OCG=45+45=90，EG=CG且EGCG解析：（1）由BEF=90，得到EFDH，而GF=GD，易證得GEFGHD，得EF=DH，而BE=EF，即可得到結(jié)論（2）連接DB，如圖2，由BEF為等腰直角三角形，得EBF=45，而四邊形ABCD為正方形，得DBC=45，得到D，E，B三點(diǎn)共線，而G為DF的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到EG=GD=GC，于是EGC=2EDC=90，即得到結(jié)論（3）連接AC、BD相交于點(diǎn)O，取BF的中點(diǎn)M，連接OG、EM、MG，由G為DF的中點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn)，M為BF的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得OGBF，GMOB，得到OG=BM，GM=OB，而EM=BM，OC=OB，得到EM=OG，MG=OC，又DOG=GMF，而DOC=EMF=90，得EMG=GOC，則MEGOGC，得到EG=CG，EGM=OCG，而MGF=BDF，F(xiàn)GC=GDC+GCD，所以有EGC=EGM+MGF+FGC=BDF+GDC+GCD+OCG=45+45=903.已知正方形ABCD和等腰RtBEF，BE=EF，BEF=90，按圖放置，使點(diǎn)F在BC上，取DF的中點(diǎn)G，連接EG、CG(1)探索EG、CG的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系并證明；(2)將圖中BEF繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45，再連接DF，取DF中點(diǎn)G(如圖)，問(1)中的結(jié)論是否仍然成立證明你的結(jié)論；(3)將圖中BEF繞B點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)任意角度(旋轉(zhuǎn)角在0到90之間)，再連接DF，取DF的中點(diǎn)G(如圖)，問(1)中的結(jié)論是否仍然成立，證明你的結(jié)論解：（1）EG=CG且EGCG證明如下：如圖，連接BD正方形ABCD和等腰RtBEF，EBF=DBC=45B、E、D三點(diǎn)共線DEF=90，G為DF的中點(diǎn)，DCB=90，EG=DG=GF=CGEGF=2EDG，CGF=2CDGEGF+CGF=2EDC=90，即EGC=90，EGCG（2）仍然成立，證明如下：如圖，延長(zhǎng)EG交CD于點(diǎn)HBEEF，EFCD，1=2又3=4，F(xiàn)G=DG，F(xiàn)EGDHG，EF=DH，EG=GHBEF為等腰直角三角形，BE=EF，BE=DHCD=BC，CE=CHECH為等腰直角三角形又EG=GH，EG=CG且EGCG（3）仍然成立證明如下：如圖，延長(zhǎng)CG至H，使GH=CG，連接HF交BC于M，連接EH、ECGF=GD，HGF=CGD，HG=CG，HFGCDG，HF=CD，GHF=GCD，HFCD正方形ABCD，HF=BC，HFBCBEF是等腰直角三角形，BE=EF，EBC=HFE，BECFEH，HE=EC，BEC=FEH，BEF=HEC=90，ECH為等腰直角三角形又CG=GH，EG=CG且EGCG解析：（1）首先證明B、E、D三點(diǎn)共線，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證明EG=DG=GF=CG，得到EGF=2EDG，CGF=2CDG，從而證得EGC=90；（2）首先證明FEGDHG，然后證明ECH為等腰直角三角形可以證得：EG=CG且EGCG（3）首先證明：BECFEH，即可證得：ECH為等腰直角三角形，從而得到：EG=CG且EGCG已知，正方形ABCD中，BEF為等腰直角三角形，且BF為底，取DF的中點(diǎn)G，連接EG、CG（1） 如圖1，若BEF的底邊BF在BC上，猜想EG和CG的數(shù)量關(guān)系為_；（2）如圖2，若BEF的直角邊BE在BC上，則（1）中的結(jié)論是否還成立？請(qǐng)說明理由；（3）如圖3，若BEF的直角邊BE在DBC內(nèi)，則（1）中的結(jié)論是否還成立？說明理由1212解：（1）GC=EG，（1分）理由如下：BEF為等腰直角三角形，DEF=90，又G為斜邊DF的中點(diǎn)， EG= DF，ABCD為正方形，BCD=90，又G為斜邊DF的中點(diǎn)，CG= DF，GC=EG；（2）成立如圖，延長(zhǎng)EG交CD于M，12BEF=FEC=BCD=90，EFCD，EFG=MDG，又EGF=DGM，DG=FG，GEFGMD，EG=MG，即G為EM的中點(diǎn)CG為直角ECM的斜邊上的中線，CG=GE= EM；（3）成立取BF的中點(diǎn)H，連接EH，GH，取BD的中點(diǎn)O，連接OG，OCCB=CD，DCB=90，CO= BD1212DG=GF，GHBD，且GH= BD， 12 OGBF，且OG= BF，CO=GH12BEF為等腰直角三角形EH= BFEH=OG四邊形OBHG為平行四邊形，BOG=BHGBOC=BHE=90GOC=EHGGOCEHGEG=GC 此題考查了正方形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)要求學(xué)生掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及三角形的中位線與第三邊平行且等于第三邊的一半掌握這些性質(zhì)，熟練運(yùn)用全等知識(shí)是解本題的關(guān)鍵解析：（1）EG=CG，理由為：根據(jù)三角形BEF為等腰直角三角形，得到DEF為直角，又G為DF中點(diǎn)，根據(jù)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到EG為DF的一半，同理在直角三角形DCF中，得到CG也等于DF的一半，利用等量代換得證；（2）成立理由為：延長(zhǎng)EG交CD于M，如圖所示，根據(jù)“ASA”得到三角形EFG與三角形GDM全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到EG與MG相等，即G為EM中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到EG與CG相等都等于斜邊EM的一半，得證；（3）成立理由為：取BF的中點(diǎn)H，連接EH，GH，取BD的中點(diǎn)O，連接OG，OC，如圖所示，因?yàn)橹苯侨切蜠CB中，O為斜邊BD的中點(diǎn)，根據(jù)斜邊上的中線等于斜邊的一半得到