電磁學(xué)(趙凱華)答案[第6章-麥克斯韋電磁理論].doc

1 一平行板電容器的兩極板都是半徑為 的圓導(dǎo)體片，在充電時(shí)，其中電場(chǎng)強(qiáng)度的變化率為： 。試求： （1） 兩極板間的位移電流 ； （2） 極板邊緣的磁感應(yīng)強(qiáng)度 。 解: （1）如圖所示,根據(jù)電容器極板帶電情況，可知電場(chǎng)強(qiáng)度 的方向水平向右（電位移矢量 的方向與 的方向相同）。 因電容器中為真空，故 。忽略邊緣效應(yīng)，電場(chǎng)只分布在兩板之間的空間內(nèi)，且為勻強(qiáng)電場(chǎng)。已知圓板的面積 ，故穿過(guò)該面積的 的通量為 由位移電流的定義式，得電容器兩板間位移電流為 因 ，所以 的方向與 的方向相同，即位移電流的方向與 的方向相同。 （2）由于忽略邊緣效應(yīng)，則可認(rèn)為兩極板間的電場(chǎng)變化率是相同的，則極板間的位移電流是軸對(duì)稱(chēng)分布的,因此由它所產(chǎn)生的磁場(chǎng)對(duì)于兩板中心線也具有軸對(duì)稱(chēng)性。在平行板電容器中沿極板邊緣作以半徑為 的圓，其上 的大小相等，選積分方向與 方向一致，則由安培環(huán)路定理可得 （全電流）因在電容器內(nèi)傳導(dǎo)電流 ，位移電流為 ，則全電流為 所以 極板邊緣的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 根據(jù)右手螺旋定則，可知電容器邊緣處的磁感應(yīng)強(qiáng)度 的方向，如圖所示。2 一平行板電容器的兩極板為圓形金屬板，面積均為 ，接于一交流電源時(shí)，板上的電荷隨時(shí)間變化，即 。試求： （1） 電容器中的位移電流密度的大??； （2） 設(shè) 為由圓板中心到該點(diǎn)的距離，兩板之間的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布 。解: （1）由題意可知， ，對(duì)于平行板電容器電位移矢量的大小為 所以，位移電流密度的大小為 （2）由于電容器內(nèi)無(wú)傳導(dǎo)電流，故 。又由于位移電流具有軸對(duì)稱(chēng)性，故可用安培環(huán)路求解磁感應(yīng)強(qiáng)度。設(shè) 為圓板中心到場(chǎng)點(diǎn)的距離，并以 為半徑做圓周路徑 。根據(jù)全電流安培環(huán)路定理可知 通過(guò)所圍面積的位移電流為 所以 . 最后可得 3. 如圖（a）所示，用二面積為 的大圓盤(pán)組成一間距為 的平行板電容器，用兩根長(zhǎng)導(dǎo)線垂直地接在二圓盤(pán)的中心。今用可調(diào)電源使此電容器以恒定的電流 充電，試求： （1） 此電容器中位移電流密度； （2） 如圖（b）所示，電容器中 點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度； （3） 證明在此電容器中從半徑為 厚度為 的圓柱體表面流進(jìn)的電磁能與圓柱體內(nèi)增加的電磁能相等。 解:（1）由全電流概念可知，全電流是連續(xù)的。電容器中位移電流密度 的方向應(yīng)如圖（c）所示，其大小為 通過(guò)電源給電容器充電時(shí)，使電容器極板上電荷隨時(shí)間變化，從而使極板間電場(chǎng)發(fā)生變化。因此，也可以這樣來(lái)求 ： 因?yàn)?由于 ，因此 所以 （2）由于傳導(dǎo)電流和位移電流均呈軸對(duì)稱(chēng)，故磁場(chǎng) 也呈軸對(duì)稱(chēng)，顯然過(guò) 點(diǎn)的 線應(yīng)為圓心在對(duì)稱(chēng)軸上的圓，如圖（c）所示。 根據(jù)全電流安培環(huán)路定理，將 用于此 線上，有 得 所以 （3）在電容器中作半徑為 厚度為 的圓柱體，如圖（d）所示。由坡印廷矢量 分析可知， 垂直指向圓柱體的側(cè)壁，這表明電磁場(chǎng)的能量是從側(cè)壁流入圓柱體內(nèi)的。在單位時(shí)間內(nèi)流入的能量為 因?yàn)?所以 由于傳導(dǎo)電流和位移電流都不隨時(shí)間變化，故磁場(chǎng)和磁場(chǎng)的能量也都不隨時(shí)間變化。但電容器中的電場(chǎng)是隨時(shí)間增強(qiáng)的，故電場(chǎng)的能量是隨時(shí)間增加的。圖（d）中圓柱體內(nèi)單位時(shí)間內(nèi)增加的電場(chǎng)的能量為 顯然，單位時(shí)間內(nèi)流入圓柱體的能量與圓柱體內(nèi)增加的能量相等。4 如圖所示，已知電路中直流電源的電動(dòng)勢(shì)為 電阻 ，電容器的電容 ，試求： （1） 接通電源瞬時(shí)電容器極板間的位移電流； （2） 時(shí)，電容器極板間的位移電流； （3） 位移電流可持續(xù)多長(zhǎng)時(shí)間。（通常認(rèn)為經(jīng)過(guò)10倍電路時(shí)間常數(shù) 后電流小到可忽略不計(jì)）解: 對(duì) 串聯(lián)電路的暫態(tài)過(guò)程有 求解該方程得： ，表示極板上的電荷量是隨時(shí)間變化。在電容器內(nèi)，由上題結(jié)論得電容器中的位移電流為 對(duì)應(yīng)不同的情況，可求得 （1）在接通電源的瞬時(shí) ，電容器極板間的位移電流 。 （2）當(dāng) 時(shí)， （3）在 時(shí)可認(rèn)為電流忽略不計(jì)，即 。所以 5 一球形電容器，其內(nèi)導(dǎo)體半徑為 ，外導(dǎo)體半徑為 ，兩極板之間充有相對(duì)介電常數(shù)為 的介質(zhì)?，F(xiàn)在電容器上加電壓，內(nèi)球與外球的電壓為 ，假設(shè) 不太大，以致電容器電場(chǎng)分布與靜電場(chǎng)情形近似相等，試求介質(zhì)中的位移電流密度以及通過(guò)半徑為 的球面的位移電流。解: 設(shè)電容器極板上帶有電荷 ，由位移電流密度公式可知 由于球形電容器具有球形對(duì)稱(chēng)，用電場(chǎng)高斯定理求出球形極板間的電位移矢量為 （ 為徑向單位向量） 球形電容器極板間的電勢(shì)差為 與上式聯(lián)立，消去 ，得 所以位移電流密度為 在電容器中，作半徑為 的球面 ，通過(guò)它的位移電流為 的流向沿徑向，且隨時(shí)間變化。6 如圖所示，電荷 以速度 向 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（ 到 點(diǎn)的距離以 表示）。在 點(diǎn)處作一半徑為 的圓，圓面與 垂直。試求通過(guò)該圓面的位移電流和圓周上各點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度 。 解: 電荷在其周?chē)ぐl(fā)電場(chǎng)，同時(shí)由于電荷運(yùn)動(dòng)，根據(jù)麥克斯韋假設(shè)，此時(shí)隨時(shí)間變化的電場(chǎng)又激發(fā)磁場(chǎng)。設(shè) 時(shí)間穿過(guò)圓面上的電位移通量為 為使計(jì)算簡(jiǎn)便，可以 為球心， 為半徑， 為小圓半徑的底面，做一球冠，球面上各點(diǎn)的 的大小相等，穿過(guò)題意圓面的電位移通量與穿過(guò)球冠的電位移通量相等。即 代入位移電流的定義式，得取半徑為 的圓為積分回路 ，由麥克斯韋方程，有 由于 運(yùn)動(dòng)沿圓面的軸線，系統(tǒng)具有對(duì)稱(chēng)性，所以環(huán)路上各點(diǎn)的 大小相等，即 得 寫(xiě)成矢量形式有 這正是運(yùn)動(dòng)電荷產(chǎn)生的磁場(chǎng)公式。7 如圖所示，由電容為 的電容器和自感系數(shù)為 的線圈構(gòu)成一振蕩電路，若忽略線路中的電阻，充電后電容器所帶電量的幅值為 。試求： （1） 充電時(shí)電容器兩極板間電位差隨時(shí)間的變化率； （2） 電路中電流隨時(shí)間的變化率； （3） 電場(chǎng)和磁場(chǎng)能量分別隨時(shí)間的變化率。 解:在圖示中，將開(kāi)關(guān) 先后扳向位置2，1使電容器充放電，便可在 電路中產(chǎn)生電流的周期性變化。設(shè)電路中電荷隨時(shí)間的變化規(guī)律為 則電路中的充放電流為 由于在 電路中， ，所以回路的振蕩頻率 由題意可知， 所以代入電容器的電容公式，有表明電容器兩極板間電壓隨時(shí)間作用周期性變化。 已知電路中電荷變化規(guī)律，則有 電容器儲(chǔ)存的電場(chǎng)能量為 線圈儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量為 整個(gè)電路系統(tǒng)的總能量 8.試證明麥克斯韋方程組中蘊(yùn)含了電荷守恒定律。解: 由麥克斯韋方程 （ 為傳