高中數(shù)學(xué)第三章概率3.3.1幾何概型課時(shí)提升作業(yè)2新人教A版.docx

幾何概型一、選擇題(每小題3分,共18分)1.(2014湖南高考)在區(qū)間-2,3上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)X,則X1的概率為()A.B.C.D.【解析】選B.基本事件空間為區(qū)間-2,3,它的度量是長(zhǎng)度5,X1的度量是長(zhǎng)度3,所以所求概率為.2.(2013黃岡高一檢測(cè))設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈,在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn),則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離小于等于2的概率是()A.B.C.D.【解析】選A.平面區(qū)域D的面積為4,到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離小于等于2的點(diǎn)所在區(qū)域的面積為,由幾何概型的概率公式可知區(qū)域D內(nèi)一個(gè)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離小于等于2的概率為.【舉一反三】若在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于1的概率為()A.B.1-C.D.1-【解析】選D.平面區(qū)域D的面積為4,到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離小于等于1的點(diǎn)所在區(qū)域的面積為,由幾何概型的概率公式可知區(qū)域D內(nèi)一個(gè)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于1的概率為1-.3.在正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)則該點(diǎn)落在三棱錐A1-ABC內(nèi)的概率是()A.B.C.D.【解析】選B.體積型幾何概型問題.4.(2014大慶高一檢測(cè))如圖,在一個(gè)邊長(zhǎng)為a,b(ab0)的矩形內(nèi)畫一個(gè)梯形,梯形上、下底分別為與,高為b.向該矩形內(nèi)隨機(jī)地投一點(diǎn),則所投的點(diǎn)落在梯形內(nèi)部的概率為()A.B.C.D.【解析】選C.S矩形=ab.S梯形=b=ab.故所投的點(diǎn)落在梯形內(nèi)部的概率P=.5.(2013漢中高一檢測(cè))在區(qū)間0,10內(nèi)隨機(jī)取出兩個(gè)數(shù),則這兩個(gè)數(shù)的平方和也在區(qū)間0,10內(nèi)的概率是()A.B.1010C.D.【解析】選D.設(shè)取出的兩個(gè)數(shù)為a,b,則a,b,(a,b)構(gòu)成區(qū)域的總面積為100,而a2+b210時(shí),點(diǎn)(a,b)在以原點(diǎn)為圓心,以為半徑的圓位于第一象限的區(qū)域,面積為,所以這兩個(gè)數(shù)的平方和也在區(qū)間0,10內(nèi)的概率是面積之比,為=.6.(2013陜西高考)如圖,在矩形區(qū)域ABCD的A,C兩點(diǎn)處各有一個(gè)通信基站,假設(shè)其信號(hào)覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF(該矩形區(qū)域內(nèi)無(wú)其他信號(hào)來(lái)源,基站工作正常).若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地選一地點(diǎn),則該地點(diǎn)無(wú)信號(hào)的概率是()A.1-B.-1C.2-D.【解題指南】由幾何概型的概率計(jì)算公式可知只需計(jì)算圖中陰影部分的面積與矩形的面積之比即可.【解析】選A.由題設(shè)可知,矩形ABCD的面積為2,曲邊形DEBF的面積為2-,故所求概率為=1-.二、填空題(每小題4分,共12分)7.(2014深圳高一檢測(cè))在區(qū)間-1,2上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則x0,1的概率為.【解析】-1,2的長(zhǎng)度為3,0,1的長(zhǎng)度為1,所以所求概率是.答案:8.在400毫升自來(lái)水中有一個(gè)大腸桿菌,今從中隨機(jī)取出2毫升水樣放到顯微鏡下觀察,則發(fā)現(xiàn)大腸桿菌的概率為.【解析】大腸桿菌在400毫升自來(lái)水中的位置是任意的,且結(jié)果有無(wú)限個(gè),屬于幾何概型.設(shè)取出2毫升水樣中有大腸桿菌為事件A,則事件A構(gòu)成的區(qū)域體積是2毫升,全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域體積是400毫升,則P(A)=0.005.答案:0.0059.在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P,則使點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離至少有一個(gè)小于1的概率是.【解題指南】解答本題從正面考慮較繁瑣,所以從反面來(lái)解答,先計(jì)算事件“使點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離都大于或等于1”的概率,利用對(duì)立事件的概率公式計(jì)算.【解析】邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC內(nèi),到頂點(diǎn)A的距離小于1的點(diǎn)的集合為以點(diǎn)A為圓心,1為半徑,圓心角為A=60的扇形內(nèi).同理可知到頂點(diǎn)B,C的距離小于1的點(diǎn)的集合.故使點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離都大于或等于1的概率為=1-,故所求的概率為1-=.答案:三、解答題(每小題10分,共20分)10.甲、乙兩人約定在6時(shí)到7時(shí)之間的某處會(huì)面,并約定先到者應(yīng)等候另一人一刻鐘,過(guò)時(shí)即可離去,求兩人能會(huì)面的概率.【解析】以x軸和y軸分別表示甲、乙兩人到達(dá)約定地點(diǎn)的時(shí)間,則兩人能夠會(huì)面的充要條件是|x-y|15.在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系下,(x,y)的所有可能結(jié)果是邊長(zhǎng)為60的正方形區(qū)域,其面積用S表示,而事件A“兩人能夠會(huì)面”的可能結(jié)果由圖中的陰影部分表示,面積為SA.由幾何概型的概率公式得:P(A)=.所以,兩人能會(huì)面的概率是.11.如圖,AOB=60,OA=2,OB=5,在線段OB上任取一點(diǎn)C,試求:(1)AOC為鈍角三角形的概率.(2)AOC為銳角三角形的概率.【解析】如圖,由平面幾何知識(shí):當(dāng)ADOB時(shí),OD=1;當(dāng)OAAE時(shí),OE=4,BE=1.(1)當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C在線段OD或BE上時(shí),AOC為鈍角三角形,記“AOC為鈍角三角形”為事件M,則P(M)=0.4,即AOC為鈍角三角形的概率為0.4.(2)當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C在線段DE上時(shí),AOC為銳角三角形,記“AOC為銳角三角形”為事件N,則P(N)=0.6,即AOC為銳角三角形的概率為0.6.一、選擇題(每小題4分,共16分)1.若過(guò)正三角形ABC的頂點(diǎn)A任作一條直線L,則L與線段BC相交的概率為()A.B.C.D.【解題指南】從角度方面考慮,注意和射線的區(qū)別.【解析】選B.由于直線向兩端無(wú)限延伸,當(dāng)直線繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí),直線和線段BC相交的概率為=.【舉一反三】若將直線改為射線呢?【解析】選C.由于射線不是向兩端無(wú)限延伸,當(dāng)射線繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí),射線和線段BC相交的概率為=.2.某人從甲地去乙地共走了500m,途中要過(guò)一條寬為xm的河流,他不小心把一件物品丟在途中,若物品掉在河里就找不到,物品不掉在河里就能找到,已知該物品能被找到的概率為,則河寬為()A.16mB.20mC.8mD.10m【解析】選B.物品在途中任何一處丟失的可能性是相等的,所以符合幾何概型的條件.找到的概率為,即掉到河里的概率為,則河流的寬度占總距離的,所以河寬為500=20(m).3.(2014鄭州高一檢測(cè))如下四個(gè)游戲盤(各正方形邊長(zhǎng)和圓的直徑都是單位1),如果撒一粒黃豆落在陰影部分,則可中獎(jiǎng).小明希望中獎(jiǎng),則應(yīng)選擇的游戲盤是()【解析】選A.P(A)=,P(B)=,P(C)=1-,P(D)=,則P(A)最大,故選A.4.在長(zhǎng)為10厘米的線段AB上任取一點(diǎn)G,用AG為半徑作圓,則圓的面積介于36平方厘米到64平方厘米的概率是()A.B.C.D.【解析】選D.以AG為半徑作圓,面積介于36平方厘米到64平方厘米,則AG的長(zhǎng)度應(yīng)介于6厘米到8厘米之間.所以所求概率P(A)=.【變式訓(xùn)練】(2014?？诟咭粰z測(cè))一只小蜜蜂在一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體內(nèi)自由飛行,若蜜蜂在飛行過(guò)程中始終保持與正方體六個(gè)表面的距離均大于1,稱其為“安全飛行”,則蜜蜂“安全飛行”的概率為()A.B.C.D.【解析】根據(jù)幾何概型知識(shí),概率為體積之比,即P=,選A.二、填空題(每小題4分,共8分)5.(2014重慶高考)某校早上8:00開始上課,假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7:307:50之間到校,且每人在該時(shí)間段的任何時(shí)刻到校是等可能的,則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為.(用數(shù)字作答)【解題指南】可設(shè)出兩人到校的時(shí)刻,列出兩人到校時(shí)刻滿足的關(guān)系式,再根據(jù)幾何概型的概率公式進(jìn)行求解.【解析】設(shè)小張與小王到校的時(shí)刻分別為7:30之后x,y分鐘,則由題意知小張比小王至少早5分鐘到校需滿足y-x5,其中0x20,0y20.所有的基本事件構(gòu)成的區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)邊長(zhǎng)為20的正方形,隨機(jī)事件“小張比小王至少早5分鐘到?！睒?gòu)成的區(qū)域?yàn)殛幱安糠?由幾何概型的概率公式可知,其概率為P=.答案:6.在區(qū)間-2,3上任取一個(gè)實(shí)數(shù)a,則使直線ax+y+1=0截圓O:x2+y2=1所得弦長(zhǎng)d的概率是.【解題指南】由給出的弦長(zhǎng)范圍,求出圓心到直線ax+y+1=0的距離的范圍,再由點(diǎn)到直線的距離公式寫出圓心到直線的距離,列式求出a的范圍,然后用長(zhǎng)度比求概率.【解析】如圖.直線ax+y+1=0截圓O:x2+y2=1所得弦長(zhǎng)d=AB,則半弦長(zhǎng)BC,因?yàn)閳A的半徑等于1,所以圓心到直線ax+y+1=0的距離OC,即,得-2a-1或1a2.又a-2,3,所以在區(qū)間-2,3上任取一個(gè)實(shí)數(shù)a,則使直線ax+y+1=0截圓O:x2+y2=1所得弦長(zhǎng)d的概率是=.答案:【誤區(qū)警示】解答本題時(shí)易出現(xiàn)利用直線和圓的方程求弦長(zhǎng)的解法,這樣會(huì)使解答過(guò)程繁瑣、易錯(cuò),甚至解不出答案.通過(guò)本題的解答應(yīng)該學(xué)會(huì)抓住問題的本質(zhì),適時(shí)將問題轉(zhuǎn)化,養(yǎng)成轉(zhuǎn)化與化歸的意識(shí).三、解答題(每小題13分,共26分)7.(2014長(zhǎng)春高二檢測(cè))在街道旁邊有一游戲:在鋪滿邊長(zhǎng)為9cm的正方形塑料板的寬廣地面上,擲一枚半徑為1cm的小圓板.規(guī)則如下:每擲一次交5角錢,若小圓板壓在邊上,可重?cái)S一次;若擲在正方形內(nèi),需再交5角錢才可玩;若壓在正方形塑料板的頂點(diǎn)上,可獲得一元錢.試問:(1)小圓板壓在塑料板的邊上的概率是多少?(2)小圓板壓在塑料板頂點(diǎn)上的概率是多少?【解析】(1)如圖(1)所示,因?yàn)閳A板的中心O落在正方形ABCD內(nèi)任何位置是等可能的,小圓板與正方形塑料板ABCD的邊相交接是在圓板的中心O到與它靠近的邊的距離不超過(guò)1cm時(shí),所以圓板的中心O落在圖中陰影部分時(shí),小圓板就能與塑料板ABCD的邊相交接,這個(gè)范圍的面積等于92-72=32(cm2),因此所求的概率是=.(2)小圓板與正方形的頂點(diǎn)相交接是在圓板中心O與正方形的頂點(diǎn)的距離不超過(guò)小圓板的半徑1cm時(shí),如圖(2)陰影部分,四塊合起來(lái)面積為cm2,故所求概率是.8.在長(zhǎng)度為10的線段內(nèi)任取兩點(diǎn)將線段分為三段,求這三段可以構(gòu)成三角形的概率.【解析】設(shè)構(gòu)成三角形的事件為A,長(zhǎng)度為10的線段被分成三段的長(zhǎng)度分別為x,y,10-(x+y),則即由一個(gè)三角形兩邊之和大于第三邊,有x+y10-(x+y),即5x+y10.又由三角形兩邊之差小于第三邊,有x5,即0x5,同理0y5.所以構(gòu)造三角形的條件為所以滿足條件的點(diǎn)P(x,y)組成的圖形是如圖所示中的陰影區(qū)域(不包括區(qū)域的邊界).S陰影=5