高中數(shù)學(xué)推理與證明2.1合情推理與演繹推理2.1.1合情推理學(xué)案新人教A版.docx

21.1合情推理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理.2.了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用知識點一歸納推理思考(1)銅、鐵、鋁、金、銀等金屬都能導(dǎo)電，猜想：一切金屬都能導(dǎo)電(2)統(tǒng)計學(xué)中，從總體中抽取樣本，然后用樣本估計總體以上屬于什么推理？答案屬于歸納推理梳理(1)定義：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理(簡稱歸納)(2)特征：由部分到整體，由個別到一般的推理知識點二類比推理思考科學(xué)家對火星進行研究，發(fā)現(xiàn)火星與地球有許多類似的特征：(1)火星也是繞太陽公轉(zhuǎn)、繞軸自轉(zhuǎn)的行星；(2)有大氣層，在一年中也有季節(jié)更替；(3)火星上大部分時間的溫度適合地球上某些已知生物的生存，等等由此，科學(xué)家猜想：火星上也可能有生命存在他們使用了什么樣的推理？答案類比推理梳理(1)定義：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理(2)特征：由特殊到特殊的推理知識點三合情推理思考歸納推理與類比推理有何區(qū)別與聯(lián)系？答案區(qū)別：歸納推理是由特殊到一般的推理；而類比推理是由個別到個別的推理或是由特殊到特殊的推理聯(lián)系：在前提為真時，歸納推理與類比推理的結(jié)論都可真可假梳理(1)定義：歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理通俗地說，合情推理就是合乎情理的推理(2)推理的過程1類比推理得到的結(jié)論可作為定理應(yīng)用()2由個別到一般的推理為歸納推理()3在類比時，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適()類型一歸納推理例1(1)觀察下列等式：1121，(21)(22)2213，(31)(32)(33)23135，照此規(guī)律，第n個等式可為_(2)已知f(x)，設(shè)f1(x)f(x)，fn(x)fn1(fn1(x)(n1，且nN*)，則f3(x)的表達式為_，猜想fn(x)(nN*)的表達式為_考點歸納推理的應(yīng)用題點歸納推理在數(shù)對(組)中的應(yīng)用答案(1)(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(2)解析(1)觀察規(guī)律可知，左邊為n項的積，最小項和最大項依次為(n1)，(nn)，右邊為連續(xù)奇數(shù)之積乘以2n，則第n個等式為(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(2)f(x)，f1(x).又fn(x)fn1(fn1(x)，f2(x)f1(f1(x)，f3(x)f2(f2(x)，f4(x)f3(f3(x)，f5(x)f4(f4(x)，根據(jù)前幾項可以猜想fn(x).引申探究在本例(2)中，若把“fn(x)fn1(fn1(x)”改為“fn(x)f(fn1(x)”，其他條件不變，試猜想fn(x) (nN*)的表達式解f(x)，f1(x).又fn(x)f(fn1(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x).因此，可以猜想fn(x).反思與感悟(1)已知等式或不等式進行歸納推理的方法要特別注意所給幾個等式(或不等式)中項數(shù)和次數(shù)等方面的變化規(guī)律；要特別注意所給幾個等式(或不等式)中結(jié)構(gòu)形成的特征；提煉出等式(或不等式)的綜合特點；運用歸納推理得出一般結(jié)論(2)數(shù)列中的歸納推理：在數(shù)列問題中，常常用到歸納推理猜測數(shù)列的通項公式或前n項和通過已知條件求出數(shù)列的前幾項或前n項和；根據(jù)數(shù)列中的前幾項或前n項和與對應(yīng)序號之間的關(guān)系求解；運用歸納推理寫出數(shù)列的通項公式或前n項和公式跟蹤訓(xùn)練1已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a13，滿足Sn62an1(nN*)(1)求a2，a3，a4的值；(2)猜想an的表達式考點歸納推理的應(yīng)用題點歸納推理在數(shù)列中的應(yīng)用解(1)因為a13，且Sn62an1(nN*)，所以S162a2a13，解得a2，又S262a3a1a23，解得a3，又S362a4a1a2a33，解得a4.(2)由(1)知a13，a2，a3，a4，猜想an(nN*)例2有兩種花色的正六邊形地面磚，按下圖的規(guī)律拼成若干個圖案，則第六個圖案中有菱形紋的正六邊形的個數(shù)是()A26 B31 C32 D36考點歸納推理的應(yīng)用題點歸納推理在圖形中的應(yīng)用答案B解析有菱形紋的正六邊形的個數(shù)如下表：圖案123個數(shù)61116由表可以看出有菱形紋的正六邊形的個數(shù)依次組成一個以6為首項，以5為公差的等差數(shù)列，所以第六個圖案中有菱形紋的正六邊形的個數(shù)是65(61)31.故選B.反思與感悟歸納推理在圖形中的應(yīng)用策略跟蹤訓(xùn)練2用火柴棒擺“金魚”，如圖所示：按照上面的規(guī)律，第n個“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為()A6n2 B8n2C6n2 D8n2考點歸納推理的應(yīng)用題點歸納推理在圖形中的應(yīng)用答案C解析歸納“金魚”圖形的構(gòu)成規(guī)律知，后面“金魚”都比它前面的“金魚”多了去掉尾巴后6根火柴組成的魚頭部分，故各“金魚”圖形所用火柴棒的根數(shù)構(gòu)成一首項為8，公差是6的等差數(shù)列，所以第n個“金魚”圖需要的火柴棒的根數(shù)為an8(n1)66n2.類型二類比推理例3設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，則S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差數(shù)列，類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列bn的前n項積為Tn，則T4，_，_，成等比數(shù)列考點類比推理的應(yīng)用題點等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的類比答案解析由于等差數(shù)列與等比數(shù)列具有類比性，且等差數(shù)列與和差有關(guān)，等比數(shù)列與積商有關(guān)，因此當(dāng)?shù)炔顢?shù)列依次每4項的和仍成等差數(shù)列時，類比等比數(shù)列為依次每4項的積成等比數(shù)列下面證明該結(jié)論的正確性：設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q，首項為b1，則T4bq6，T8bq127bq28，T12bq1211bq66，T16bq1215bq120，bq22，bq38，bq54，即2T4，2，故T4，成等比數(shù)列反思與感悟已知等差數(shù)列與等比數(shù)列有類似的性質(zhì)，在類比過程中也有一些規(guī)律，如下表所示的部分結(jié)論(其中d，q分別是公差和公比)：等差數(shù)列等比數(shù)列定義anan1d(n2)anan1q(n2)通項公式ana1(n1)dana1qn1性質(zhì)若mnpq，則amanapaq若mnpq，則amanapaq跟蹤訓(xùn)練3若數(shù)列an(nN*)是等差數(shù)列，則有數(shù)列bn(nN*)也是等差數(shù)列；類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：若數(shù)列cn是等比數(shù)列，且cn0，則有數(shù)列dn_(nN*)也是等比數(shù)列考點類比推理的應(yīng)用題點等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的類比答案解析數(shù)列an(nN*)是等差數(shù)列，則有數(shù)列bn(nN*)也是等差數(shù)列類比猜想：若數(shù)列cn是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，則當(dāng)dn時，數(shù)列dn也是等比數(shù)列例4如圖，在RtABC中，C90.設(shè)a，b，c分別表示三條邊的長度，由勾股定理，得c2a2b2.類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想考點類比推理的應(yīng)用題點平面幾何與立體幾何之間的類比解如題圖，在RtABC中，C90.設(shè)a，b，c分別表示3條邊的長度，由勾股定理，得c2a2b2.類似地，如圖所示，在四面體PDEF中，PDFPDEEDF90.設(shè)S1，S2，S3和S分別表示PDF，PDE，EDF和PEF的面積，相對于直角三角形的兩條直角邊a，b和1條斜邊c，圖中的四面體有3個“直角面”S1，S2，S3和1個“斜面”S.于是類比勾股定理的結(jié)構(gòu)，我們猜想S2SSS成立反思與感悟(1)類比推理的一般步驟(2)中學(xué)階段常見的類比知識點：等差數(shù)列與等比數(shù)列，向量與實數(shù)，空間與平面，圓與球等等，比如平面幾何的相關(guān)結(jié)論類比到立體幾何的相關(guān)類比點如下平面圖形空間圖形點直線直線平面邊長面積面積體積三角形四面體線線角面面角跟蹤訓(xùn)練4在長方形ABCD中，對角線AC與兩鄰邊所成的角分別為，cos2cos21，則在立體幾何中，給出類比猜想并證明考點類比推理的應(yīng)用題點平面幾何與立體幾何之間的類比解在長方形ABCD中，cos2cos2221.于是類比到長方體中，猜想其體對角線與共頂點的三條棱所成的角分別為，則cos2cos2cos21.證明如下：cos2cos2cos22221.1已知扇形的弧長為l，半徑為r，類比三角形的面積公式S，可推知扇形面積公式S扇等于()A. B.C. D不可類比考點類比推理的應(yīng)用題點平面曲線的類比答案C解析扇形的弧類比三角形的底邊，扇形的半徑類比三角形的高，則S扇.2如圖為一串白黑相間排列的珠子，按這種規(guī)律往下排起來，那么第36顆珠子的顏色為()A白色 B黑色C白色可能性大 D黑色可能性大考點歸納推理的應(yīng)用題點歸納推理在圖形中的應(yīng)用答案A解析由題圖知，三白二黑周而復(fù)始相繼排列，根據(jù)3657余1，可得第36顆應(yīng)與第1顆珠子的顏色相同，即白色3觀察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，則a10b10等于()A28 B76C123 D199考點歸納推理的應(yīng)用題點歸納推理在數(shù)對(組)中的應(yīng)用答案C解析利用歸納法：ab1，a2b23，a3b3314，a4b4437，a5b57411，a6b611718，a7b7181129，a8b8291847，a9b9472976，a10b107647123，規(guī)律為從第三組開始，其結(jié)果為前兩組結(jié)果的和4在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為12，則它們的面積比為14，類似地，在空間上，若兩個正四面體的棱長的比為12，則它們的體積比為_考點類比推理的應(yīng)用題點平面幾何與立體幾何之間的類比答案18解析設(shè)兩個正四面體的體積分別為V1，V2，則V1V2S1h1S2h2S1h1S2h218.5按照圖1、圖2、圖3的規(guī)律，第10個圖中圓點的個數(shù)為_考點歸納推理的應(yīng)用題點歸納推理在圖形中的應(yīng)用答案40解析圖1中的點數(shù)為414，圖2中的點數(shù)為824，圖3中的點數(shù)為1234，所以圖10中的點數(shù)為10440.1合情推理主要包括歸納推理和類比推理數(shù)學(xué)研究中，在得到一個新結(jié)論前，合情推理能幫助猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，在證明一個數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為證明提供思路與方向2合情推理的過程概括為一、選擇題1下面使用類比推理，得出的結(jié)論正確的是()A若“a3b3，則ab”類比出“若a0b0，則ab”B“若(ab)cacbc”類比出“(ab)cacbc”C“若(ab)cacbc”類比出“(c0)”D“(ab)nanbn”類比出“(ab)nanbn”考點類比推理的應(yīng)用題點類比推理的方法、形式和結(jié)論答案C解析顯然A，B，D不正確，只有C正確2.觀察圖形規(guī)律，在其右下角的空格內(nèi)畫上合適的圖形為()A. BC. D考點歸納推理的應(yīng)用題點歸納推理在圖形中的應(yīng)用答案A解析觀察可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：每行、每列中，方、圓、三角三種形狀均各出現(xiàn)一次，每行、每列有兩陰影一空白，即得結(jié)果3根據(jù)給出的數(shù)塔猜測123 45697等于()192111293111123941 1111 2349511 11112 34596111 111A1 111 110 B1 111 111C1 111 112 D1 111 113考點歸納推理的應(yīng)用題點歸納推理在數(shù)對(組)中的應(yīng)用答案B解析由數(shù)塔猜測應(yīng)是各位都是1的七位數(shù)，即1 111 111.4類比平面內(nèi)“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的性質(zhì)，可推出下列空間結(jié)論：垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；垂直于同一個平面的兩條直線互相平行；垂直于同一條直線的兩個平面互相平行；垂直于同一平面的兩個平面互相平行則其中正確的結(jié)論是()A BC D考點類比推理的應(yīng)用題點平面幾何與立體幾何之間的類比答案B解析根據(jù)立體幾何中線面之間的位置關(guān)系及有關(guān)定理知，是正確的結(jié)論5觀察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(x)等于()Af(x) Bf(x)Cg(x) Dg(x)考點歸納推理的應(yīng)用題點歸納推理在數(shù)對(組)中的應(yīng)用答案D解析由所給函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)知，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)因此當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時，其導(dǎo)函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù)，故g(x)g(x)6觀察下列式子：1，1，1，根據(jù)以上式子可以猜想：1小于()A. B.C. D.考點歸納推理的應(yīng)用題點歸納推理在數(shù)對(組)中的應(yīng)用答案C解析觀察可以發(fā)現(xiàn)，第n(n2)個不等式左端有n1項，分子為1，分母依次為12,22,32，(n1)2；右端分母為n1，分子成等差數(shù)列，首項為3，公差為2，因此第n個不等式為1，所以當(dāng)n2 016時不等式為10)在點P(x0，y0)處切線的方程為(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2，由此類比，橢圓1(ab0)在點P(x0，y0)處的切線方程為_考點類比推理的應(yīng)用題點平面曲線之間的類比答案1解析類比過圓上一點的切線方程，可合情推理：橢圓1(ab0)在點P(x0，y0)處的切線方程為1.三、探究與拓展14正整數(shù)按下表的規(guī)律排列，則上起第2 017行，左起第2 018列的數(shù)應(yīng)為()A2 0162 017 B2 0172 018C2 0182 019 D2 0192 020考點歸納推理的應(yīng)用題點歸納推理在數(shù)陣(表)中的應(yīng)用答案B解析由給出的排列規(guī)律可知，第一列的每個數(shù)為所在行數(shù)的平方，而第一行的數(shù)則滿足列數(shù)減1的平方再加1，根據(jù)題意，左起第2 018列的第一個數(shù)為2 01721，由連線規(guī)律可知，上起第2 0