




已閱讀5頁,還剩8頁未讀, 繼續(xù)免費閱讀
版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進行舉報或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡介
對原函數(shù)存在條件的探討中文摘要 在微積分學(xué)中原函數(shù)存在是其理論的核心原函數(shù)存在定理初步揭示了積分學(xué)中定積分與原函數(shù)之間的關(guān)系引用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)以及微積分基本定理來論證原函數(shù)存在得到了原函數(shù)存在的條件對原函數(shù)存在條件的探討最后用原函數(shù)存在的條件去解決生活中的實際例子Abstract: in calculus, the original function existence is the core of the theory. The original function existence theorem initially revealed the relationship between the original function and the integral in integral calculus and reference guide function and the fundamental theorem of calculus to prove the existence of primitive function, the original function of the existence condition is obtained, discussion on the existence conditions of the original function, conditions for the original function exists to solve practical examples in life.關(guān)鍵詞 原函數(shù) 定積分 導(dǎo)函數(shù) 微積分基本定理Keywords: primary function, integral, derivative, the fundamental theorem of calculus, Newton Leibniz formula引言 微積分基本定理即原函數(shù)存在定理和newton-leibniz公式肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)存在的重大意義有利于我們研究原函數(shù)的特殊性質(zhì)newton-leibniz公式則是證明原函數(shù)存在的一個公式因此它們都具有十分重要的意義 在教學(xué)中我們學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)性質(zhì)不定積分可積的概念來計算定積分利用newton-leibniz公式計算定積分的值然而定積分的計算用黎曼可積往往比較復(fù)雜為尋求簡便計算方法引入原函數(shù)為此原函數(shù)和可積之間在某些情況下就聯(lián)系起來了在微積分學(xué)中我們探討原函數(shù)存在的條件能夠充分認(rèn)識導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)證明原函數(shù)存在通過原函數(shù)存在性將積分與導(dǎo)數(shù)緊密聯(lián)系在一起其中運用到newton-leibniz公式將導(dǎo)數(shù)和定積分連接起來函數(shù)可積的條件導(dǎo)函數(shù)的一些性質(zhì)充分利用它們的關(guān)系導(dǎo)出原函數(shù)存在的條件并推廣和運用得到實踐效果使復(fù)雜問題簡單化發(fā)揮數(shù)學(xué)獨到的美感1. 原函數(shù)1.1原函數(shù)的定義定義1.1函數(shù)與在區(qū)間上有定義若或者則稱為在區(qū)間上的一個原函數(shù)注 對于原函數(shù)的說法是有針對性的必須指明在哪個區(qū)間這樣原函數(shù)才有意義1.2 可積的概念及相關(guān)定理定義1.2.1設(shè)為上的函數(shù)在中插入若干個分點(這里插入 個) 來劃分區(qū)間在每一個部分區(qū)間中任取一點作和式 其中設(shè)為中的最大數(shù)即 當(dāng)時如果和式的極限存在即 就稱此極限值為在上的定積分記為.數(shù)分別稱為積分上限與積分下限和式稱為的積分和 注 在上述意義下的定積分也叫黎曼積分簡稱積分 定理1.2.1(定積分存在的充要條件)函數(shù)在可積的充要條件是即 (其中為達布上和為達布下和)定理1.2.2設(shè)是上的有界函數(shù)則(表示在上黎曼可積)當(dāng)且僅當(dāng)其上下積分相等此時有定理1.2.3 若則.(其中表示在上連續(xù))定理1.2.4 若是上的單調(diào)函數(shù)則.定理1.2.5(Du Bois Reymond)上有界函數(shù)可積的必要條件是:對任給的存在分劃:其相應(yīng)于的子區(qū)間的長度的總和小于.定理1.2.6(牛頓萊布尼茨公式(Newton-leibniz公式)設(shè)在上可積且在上有原函數(shù)則(下文中簡稱此公式為N-L公式)1.4原函數(shù)的意義定積分的值是在可積基礎(chǔ)上計算出來的而在微積分學(xué)中有些定積分往往不是太容易計算而利用newton-leibniz公式尋找被積函數(shù)的原函數(shù)從而可以把復(fù)雜問題簡單化 利用定積分和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系用newton-leibniz公式把定積分和原函數(shù)聯(lián)系起來可以得到原函數(shù)利用原函數(shù)求定積分生活中也經(jīng)常出現(xiàn)這些類似的問題在我們設(shè)計鐵路公路天空中飛機的航線往往需要微積分定理的知識將定積分和原函數(shù)緊密聯(lián)系在一起將誤差降低到最小保證人們的安全具有十分重要的意義2. 原函數(shù)存在的條件2.1原函數(shù)存在的定理及證明定理2.1(充分條件)若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)且在 處連續(xù)則其變上限積分 在點處可微且其導(dǎo)數(shù)等于.(當(dāng)是端點或時是指右左導(dǎo)數(shù))證明 記且不妨討論它在處的右導(dǎo)數(shù). 首先取,因為有 所以其差商滿足 其次根據(jù)在點處的連續(xù)性可知對任給存在使得且 現(xiàn)在取就有. 從而又可得差商的估計式: . 這說明 同理可證得 綜上在上可微且其導(dǎo)函數(shù)等于注 由的任意性可以得到在上處處可導(dǎo)從而變上限積分 也就為的原函數(shù)定義2.1若函數(shù)在點的左右極限都存在但不相等或者 在點的左右極限存在且相等但不等于(或在點處無定義)則稱為第類間斷點 定義2.2 函數(shù)在點的左右極限中至少有一個不存在則稱為第類間斷點定理2.2 (導(dǎo)函數(shù)極限定理)設(shè)函數(shù)在點的某領(lǐng)域連續(xù)在內(nèi)可導(dǎo)如果極限存在則函數(shù)在點處可導(dǎo)且 定理2.3(達布定理)設(shè)是某個區(qū)間內(nèi)的可微函數(shù)是內(nèi)任意兩點而是和之間的任意值則必有一點使得定理2.4(原函數(shù)存在的必要條件1)在某區(qū)間上處處有定義的導(dǎo)函數(shù)如果在內(nèi)有間斷點那么這個間斷點必為振蕩間斷點證明 設(shè)在區(qū)間內(nèi)某一點處間斷那么由定理2.2和定理2.3可知 肯定不是第一類間斷點(否則必在區(qū)間連連續(xù))也不是無窮間斷點不妨設(shè)故不存在故矛盾推論2.1 定義在某個區(qū)間內(nèi)的函數(shù)若有可去間斷點或者在間斷點處 的左右極限中有一個為無窮則在區(qū)間上不存在原函數(shù)定理2.5 (原函數(shù)存在的必要條件2)若函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)存在原函數(shù)則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有介值性推論2.2 設(shè)且有定義在上的可微函數(shù)滿足 則函數(shù) 在上可微且有(看成復(fù)合函數(shù))推論2.3 設(shè)且在開區(qū)間上有原函數(shù).(1) 若在上連續(xù)=(2) 若在點,上有則2.2 原函數(shù)存在與否的實例 例2.1 計算定積分 解 方法一 利用定積分概念當(dāng)為各小區(qū)間的右端點時有 此題關(guān)鍵利用 方法二 被積函數(shù)在上連續(xù)的則由定理2.1知存在原函數(shù)又由newton-leibniz公式得如下注 比較上面兩個方法可以知道利用函數(shù)可積的概念計算不定積分往往比較困難然而利用原函數(shù)和N-L公式計算不定積分相對容易些例2.2 狄里克萊函數(shù)(dirichlet 函數(shù))在內(nèi)每一點都是的第二類間斷點問是否dirichlet函數(shù)存在原函數(shù)解 在任意閉區(qū)間內(nèi)不具有介值性且在內(nèi)不連續(xù)由推論2.1知狄里克萊函數(shù)不存在原函數(shù)注 dirichlet不連續(xù)也不存在原函數(shù)例2.3 若函數(shù) 求的原函數(shù)解 當(dāng)時由于在時連續(xù)因而由定理2.1知存在原函數(shù)即 當(dāng)時也存在原函數(shù)即 因此原函數(shù)為注 1)此函數(shù)在上不連續(xù)但存在原函數(shù)由上面例子知不能說明原函數(shù)存在的必要條件2)可以斷言如果不存在原函數(shù)那么這個函數(shù)一定不連續(xù)例2.4 設(shè)函數(shù) 問是否存在一個以為其導(dǎo)數(shù)的一個原函數(shù) 解 因在上只有在不連續(xù)據(jù)定理1.2.6知該函數(shù)可積但為的第一類間斷點從而不存在原函數(shù) 注 此例函數(shù)不可積但是其原函數(shù)存在3原函數(shù)存在和函數(shù)的可積性的聯(lián)系3.1函數(shù)的原函數(shù)存在性問題由newton-leibniz公式可以知道函數(shù)可積和原函數(shù)密切聯(lián)系函數(shù)可積的條件滿足(定理1.2.1至定理1.2.6滿足可積)可以計算原函數(shù)如果函數(shù)不連續(xù)是否也能存在原函數(shù)呢計算定積分下面我們將討論例3.1 設(shè)在上黎曼可積且有求 解 在上黎曼可積并記為(1)式 兩邊同時對求導(dǎo)可得 記為(2)式在上連續(xù)由定理2.1知具有原函數(shù)即 記為(3)式 將(3)式代入(1)式有: 解得 引理3.1 在區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)它在上沒有第一類間斷點定理3.1 若函數(shù)在區(qū)間不連續(xù)且存在第類間斷點則在區(qū)間一定不存在原函數(shù) 證明 若函數(shù)在區(qū)間上存在原函數(shù)則 定理2.3知若有間斷點必為振蕩間斷點 與存在第類間斷點矛盾 一定不存在原函數(shù)例3.2 證明黎曼函數(shù) 在內(nèi)不存在原函數(shù)證明 在不連續(xù)且存在第一類間斷點 定理3.1知不存在原函數(shù) 注 此例說明了不連續(xù)的函數(shù)沒有原函數(shù)但函數(shù)卻可以是可積的 例3.3 已知函數(shù) 問原函數(shù)是否存在? 解 函數(shù)的第類間斷點(無窮間斷點) 由推論2.1知在處不存在原函數(shù) 結(jié)論 (1)若函數(shù)在區(qū)間上只有第類間斷點則不存在原函數(shù) (2)若函數(shù)在區(qū)間上只有無窮間斷點則不存在原函數(shù) (3)若函數(shù)在區(qū)間上只有振蕩間斷點則原函數(shù)的存在性需要經(jīng)進一步探討(由例2.2和例2.3可知)3.2函數(shù)的可積性與原函數(shù)存在無蘊涵關(guān)系 例3.2.1已知 求原函數(shù) 解 當(dāng)時的某個原函數(shù)為 當(dāng)時的原函數(shù)為 故原函數(shù)為注 此在上無界由定理1.2.1知不可積但是卻存在原函數(shù)結(jié)論3.2.1 若函數(shù)可積不一定存在原函數(shù)結(jié)論3.2.2 若函數(shù)不可積也可能存在原函數(shù) 因此函數(shù)可積性和函數(shù)的原函數(shù)存在并無蘊涵關(guān)系4原函數(shù)的存在性的推廣及運用例4.1 計算定積分 解 在時易知 這說明在上的原函數(shù)之一是但因我們有所以根據(jù)推論2.3知 例4.2 設(shè)討論是否存在原函數(shù) 解 函數(shù)不具有介值性 由定理2.5可知不存在原函數(shù)例4.3 設(shè) 試問是否存在原函數(shù) 解 當(dāng)時處處連續(xù)而當(dāng)時 當(dāng) 是的第一類間斷點根據(jù)定理3.1可知函數(shù)在 處沒有原函數(shù)例4.4 設(shè)試問是否存在原函數(shù) 解 顯然當(dāng)時處處連續(xù)(1) 若時 在點處連續(xù) 根據(jù)原函數(shù)存在定理可知在實數(shù)域上存在原函數(shù)(2) 若 在點處為的第一類間斷點 據(jù)定理3.1可知不存在原函數(shù) 綜上, 當(dāng)時不存在原函數(shù) 當(dāng)時存在原函數(shù)例4.5 設(shè)試討論是否存在原函數(shù) 解 不存在 點為的振蕩間斷點 當(dāng)時有原函數(shù) 當(dāng)時在處不存在原函數(shù)5總結(jié)通過資料查閱對原函數(shù)條件進一步了解去運用原函數(shù)去解決某些實際問題本文首先給出了原函數(shù)的概念利用原函數(shù)計算定積分進一步給出可積的相關(guān)定理其次對原函數(shù)存在的條件進行討論再次從原函數(shù)與定積分的關(guān)系可積函數(shù)的原函數(shù)是否存在進行探討等最后應(yīng)用定理解答若干例子本文中原函數(shù)最終是一個函數(shù)因此函數(shù)值有很多利用原函數(shù)存在定理可以知道函數(shù)可積是原函數(shù)存在的某一個函數(shù)值因此函數(shù)有原函數(shù)存在要比函數(shù)可積要多得多故只討論了原函數(shù)存在的某一個局部性質(zhì)本文的不足在于不能對原函數(shù)存在與可積性的關(guān)系給以理論上的證明只給出了反例還有就是對原函數(shù)存在條件的試探還太淺面不夠深入?yún)⒖嘉墨I1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析第三版M.高等教育出版社,1999.2 周民強.數(shù)學(xué)分析第二冊M.上??茖W(xué)技術(shù)出版社,2003.3 吳崇儉,錢林寧.關(guān)于原函數(shù)存在條件的討論J.安徽建設(shè)工業(yè)學(xué)院學(xué)報,1995,(1).4 陳妙琴,關(guān)于函數(shù)可積與原函數(shù)的存在性問題J.福建教育學(xué)院報,2007.5 胡宏, 戴冕,原函數(shù)的存在性J.淮陰工業(yè)??茖W(xué)校學(xué)報.2000,(1).6 張申媛,關(guān)于函數(shù)可積性與原函數(shù)存在問題J.中國科技信息.2011(01).7 馬保國,王延軍.分段函數(shù)函數(shù)的可積性與原函數(shù)存在性J.大學(xué)數(shù)學(xué).2009(02).8 賀彭雄,淺談不連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)J.湖北成人教育院學(xué)報.2007(05).9 王薇,定積分中的間斷點與原函數(shù)存在性問題之探討J.南京工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院報.2004(02).10馮春.原函數(shù)性質(zhì)的討論及運用J.高
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 2025年氣體檢測監(jiān)控系統(tǒng)項目發(fā)展計劃
- 數(shù)字工具在傳統(tǒng)課堂中的應(yīng)用與效果分析
- 智能教育機器人在家庭教育的應(yīng)用前景
- 教育心理學(xué)實踐激勵學(xué)生的關(guān)鍵要素
- 教育公平政策與資源分配的實踐
- 學(xué)生自我效能感的培養(yǎng)教育心理學(xué)的秘密武器
- 教育技術(shù)的成功案例與實踐經(jīng)驗分享
- 商業(yè)綜合體工程監(jiān)理案例分析
- 能源革新引領(lǐng)教育升級探索智能教育設(shè)施的新模式
- 商業(yè)行業(yè)如何推動青少年健康飲食政策的落實
- 異口同音公開課
- 專利代理人資格考試實務(wù)試題及參考答案
- 運用信息技術(shù)助力勞動教育創(chuàng)新發(fā)展 論文
- GB/T 602-2002化學(xué)試劑雜質(zhì)測定用標(biāo)準(zhǔn)溶液的制備
- GB/T 4074.8-2009繞組線試驗方法第8部分:測定漆包繞組線溫度指數(shù)的試驗方法快速法
- 2023年涉縣水庫投資管理運營有限公司招聘筆試模擬試題及答案解析
- 新版有創(chuàng)血壓監(jiān)測ABP培訓(xùn)課件
- 重癥醫(yī)學(xué)科常用知情告知書
- 二等水準(zhǔn)測量記錄表
- 母線槽安裝檢驗批質(zhì)量驗收記錄
- 企業(yè)員工上下班交通安全培訓(xùn)(簡詳共2份)
評論
0/150
提交評論