2017_18學(xué)年高中數(shù)學(xué)1.4導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用教學(xué)案蘇教版選修.docx

1.4 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用面積、體積最大問題例1用長(zhǎng)為18 cm的鋼條圍成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的框架，要求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬之比為21，問該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各為多少時(shí)，其體積最大？最大體積是多少？思路點(diǎn)撥不妨設(shè)長(zhǎng)方體的寬為x m，則長(zhǎng)為2x m，高為h(4.53x)m.建立長(zhǎng)方體的體積函數(shù)模型，再求最值精解詳析設(shè)長(zhǎng)方體的寬為x m，則長(zhǎng)為2x m，高為h(4.53x)m.故長(zhǎng)方體的體積為V(x)2x2(4.53x)(9x26x3)m3.從而V(x)18x18x218x(1x)令V(x)0，解得x0(舍去)，或x1，因此x1.當(dāng)0x0；當(dāng)1x時(shí)，V(x)0，故在x1處V(x)取得極大值，并且這個(gè)極大值就是V(x)的最大值從而最大體積VV(1)9126133(m3)，此時(shí)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為2 m，高為1.5 m.故當(dāng)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為2 m，寬為1 m，高為1.5 m時(shí)，體積最大，最大體積為3 m3.一點(diǎn)通在求實(shí)際問題中的最大值或最小值時(shí)，一般是先設(shè)自變量、因變量，建立函數(shù)關(guān)系式，并確定其定義域，利用求函數(shù)的最值的方法求解，注意結(jié)果應(yīng)與實(shí)際情況相結(jié)合用導(dǎo)數(shù)求解實(shí)際問題中的最大(小)值時(shí)，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么依據(jù)實(shí)際意義，該極值點(diǎn)也就是最值點(diǎn)1要做一個(gè)圓錐形的漏斗，其母線長(zhǎng)為20 cm，要使其體積最大，則高為_cm.解析：設(shè)該漏斗的高為x cm，則底面半徑為 cm，其體積為Vx(202x2)(400xx3)(0x20)，則V(4003x2)令V0，解得x1，x2(舍去)當(dāng)0x0；當(dāng)x20時(shí)，V0，所以當(dāng)x時(shí)，V取得最大值答案：2用長(zhǎng)為90 cm，寬為48 cm的長(zhǎng)方形鐵皮做一個(gè)無蓋的容器先在四角分別截掉一個(gè)大小相同的小正方形，然后把四邊翻折90，再焊接而成問該容器的高為多少時(shí)，容器的容積最大？最大容積是多少？解：設(shè)容器的高為x cm，容積為V(x) cm3，則V(x)x(902x)(482x)4x3276x24 320x(0x24)故V(x)12x2552x4 32012(x10)(x36)令V(x)0，得x10，或x36(舍去)當(dāng)0x0，即V(x)為增函數(shù)；當(dāng)10x24時(shí)，V(x)0，即V(x)為減函數(shù)因此，在定義域(0,24)內(nèi)，函數(shù)V(x)只有當(dāng)x10時(shí)取得最大值，其最大值為V(10)19 600(cm3)因此當(dāng)容器的高為10 cm時(shí)，容器的容積最大，最大容積為19 600 cm3.成本最低(費(fèi)用最省)問題例2如圖，某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為200 m2的三級(jí)污水處理池，由于地形限制，長(zhǎng)、寬都不能超過16 m，如果池外周壁建造單價(jià)為每米400元，中間兩條隔墻建造單價(jià)為每米248元，池底建造單價(jià)為每平方米80元(池壁厚度忽略不計(jì)，且池?zé)o蓋)(1)寫出總造價(jià)y(元)與污水處理池長(zhǎng)x(m)的函數(shù)關(guān)系式，并指出其定義域；(2)污水處理池的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，污水處理池的總造價(jià)最低？并求出最低總造價(jià)思路點(diǎn)撥精解詳析(1)污水處理池長(zhǎng)為x m，則寬為 m.據(jù)題意解得x16，y40024816 000800x16 000，(2)由(1)知y8000，解得x18，當(dāng)x(0,18)時(shí)，函數(shù)y為減函數(shù)；當(dāng)x(18，)時(shí)，函數(shù)y為增函數(shù)又x16，當(dāng)x16時(shí)，ymin45 000.當(dāng)且僅當(dāng)長(zhǎng)為16 m、寬為12.5 m時(shí)，總造價(jià)y最低為45 000元一點(diǎn)通(1)實(shí)際生活中用料最省、費(fèi)用最低、損耗最小、最節(jié)省時(shí)間等都需要利用導(dǎo)數(shù)求解相應(yīng)函數(shù)的最小值，此時(shí)根據(jù)f(x)0求出函數(shù)取極值的點(diǎn)(注意根據(jù)實(shí)際意義舍去不合適的函數(shù)取極值的點(diǎn))，若函數(shù)在該點(diǎn)附近滿足左減右增，則此時(shí)惟一的極小值就是所求函數(shù)的最小值(2)在解題過程中很容易忽略關(guān)鍵詞“無蓋”，從而多求了一個(gè)底面積實(shí)際問題中的用料最省問題一般都是要求幾何體的表面積，但要注意實(shí)物的表面積往往會(huì)缺少一個(gè)底面或側(cè)面等3做一個(gè)容積為256升的方底無蓋水箱，它的高為_分米時(shí)最省材料解析：設(shè)水箱底面邊長(zhǎng)為x分米，則高為分米，用料總面積Sx24xx2，S2x，令S0得x8，當(dāng)0x8時(shí)，S0，當(dāng)x8時(shí)，S0，所以當(dāng)x8時(shí)，S取得最小值，則高為4分米答案：44某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩經(jīng)測(cè)算，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬元，距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為(2)x萬元假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素記余下工程的費(fèi)用為y萬元(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)m640米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使y最??？解：(1)設(shè)需新建n個(gè)橋墩，則(n1)xm，即n1.所以yf(x)256n(n1)(2)x256(2)xm2m256.(2)由(1)知，f(x)mx(x512)令f(x)0，得x512，所以x64.當(dāng)0x64時(shí)，f(x)0，f(x)在區(qū)間(0,64)內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)64x640時(shí)，f(x)0，f(x)在區(qū)間(64,640)內(nèi)為增函數(shù)所以f(x)在x64處取得最小值此時(shí)n119.故需新建9個(gè)橋墩才能使y最小利潤(rùn)最大問題例3某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的月生產(chǎn)量x(噸)與每噸產(chǎn)品的價(jià)格P(元/噸)之間的關(guān)系式為P24 200x2，且生產(chǎn)x噸的成本為R50 000200x(元)問該工廠每月生產(chǎn)多少噸產(chǎn)品才能使利潤(rùn)達(dá)到最大？最大利潤(rùn)是多少？(利潤(rùn)收入成本)思路點(diǎn)撥根據(jù)利潤(rùn)與生產(chǎn)量以及價(jià)格之間的關(guān)系，建立滿足題意的函數(shù)關(guān)系式，然后利用導(dǎo)數(shù)求解精解詳析每月生產(chǎn)x噸時(shí)的利潤(rùn)為f(x)x(50 000200x)x324 000x50 000(x0)由f(x)x224 0000，解得x1200，x2200(舍去)因?yàn)閒(x)在0，)內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)x200使f(x)0，且0x200時(shí)，f(x)0；x200時(shí)，f(x)0；故x200就是最大值點(diǎn)，且最大值為f(200)200324 00020050 0003 150 000(元)所以每月生產(chǎn)200噸產(chǎn)品時(shí)，利潤(rùn)達(dá)到最大，最大利潤(rùn)為315萬元一點(diǎn)通利潤(rùn)最大問題是生活中常見的一類問題，一般根據(jù)“利潤(rùn)收入成本”建立函數(shù)關(guān)系式，再利用導(dǎo)數(shù)求最大值求解時(shí)要注意：價(jià)格要大于成本，否則就會(huì)虧本；銷量要大于0，否則不會(huì)獲利5某商品一件的成本為30元，在某段時(shí)間內(nèi)，若以每件x元出售，可賣出(200x)件，當(dāng)每件商品的定價(jià)為_元時(shí)，利潤(rùn)最大解析：利潤(rùn)為S(x)(x30)(200x)x2230x6 000(30x200)，S(x)2x230，由S(x)0得x115，當(dāng)30x0；當(dāng)115x200時(shí)，S(x)0)要將直徑為d的圓木鋸成強(qiáng)度最大的橫梁，斷面的寬x應(yīng)為_解析：設(shè)斷面高為h，則h2d2x2.設(shè)橫梁的強(qiáng)度函數(shù)為f