高中數(shù)學(xué)第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用1.3.3函數(shù)的最大（小）值與導(dǎo)數(shù)講義新人教A版.docx

1.3.3函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)1函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上的最值如果在區(qū)間a，b上函數(shù)yf(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線(xiàn)，則該函數(shù)在a，b上一定能夠取得最大值和最小值，并且函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)取得2求函數(shù)yf(x)在a，b上的最值的步驟(1)求函數(shù)yf(x)在(a，b)內(nèi)的極值；(2)將函數(shù)yf(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上的最值在區(qū)間(a，b)上函數(shù)f(x)的圖象是一條連續(xù)的曲線(xiàn)時(shí)，f(x)在(a，b)內(nèi)不一定有最值常見(jiàn)的有以下幾種情況：如圖，圖中的函數(shù)yf(x)在(a，b)上有最大值而無(wú)最小值；圖中的函數(shù)yf(x)在(a，b)上有最小值而無(wú)最大值；圖中的函數(shù)yf(x)在(a，b)上既無(wú)最大值也無(wú)最小值；圖中的函數(shù)yf(x)在(a，b)上既有最大值又有最小值1判一判(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)函數(shù)的最大值一定是函數(shù)的極大值()(2)開(kāi)區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無(wú)最值()(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的最大值和最小值一定在兩個(gè)端點(diǎn)處取得()答案(1)(2)(3)2做一做(1)設(shè)函數(shù)f(x)e2x3x(xR)，則f(x)_(填“有”或“無(wú)”)最值(2)已知函數(shù)yx3x2x，該函數(shù)在區(qū)間0,3上的最大值是_(3)已知函數(shù)f(x)x33x2m(x2,2)，f(x)的最小值為1，則m_.答案(1)無(wú)(2)15(3)1探究求已知函數(shù)的最值例1已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)x2(xa)(1)若f(1)3，求a的值及曲線(xiàn)yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線(xiàn)方程；(2)求f(x)在區(qū)間0,2上的最大值解(1)f(x)3x22ax.因?yàn)閒(1)32a3，所以a0.又當(dāng)a0時(shí)，f(1)1，f(1)3.所以曲線(xiàn)yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線(xiàn)方程為3xy20.(2)令f(x)0，解得x10，x2.當(dāng)0，即a0時(shí)，f(x)在0,2上單調(diào)遞增，從而f(x)maxf(2)84A當(dāng)2，即a3時(shí)，f(x)在0,2上單調(diào)遞減，從而f(x)maxf(0)0.當(dāng)02，即0a3時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而f(x)max綜上所述，f(x)max條件探究將本例(2)中區(qū)間0,2改為1,0，結(jié)果如何？解令f(x)0，解得x10，x2a當(dāng)a0，即a0時(shí)，f(x)在1,0上單調(diào)遞增，從而f(x)maxf(0)0；當(dāng)a1，即a時(shí)，f(x)在1,0上單調(diào)遞減，從而f(x)maxf(1)1a；當(dāng)1a0，即a0，且x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x1(1,0)0(0,2)2f(x)0f(x)7abb16ab由表可知，當(dāng)x0時(shí)，f(x)取得極大值，也就是函數(shù)在1,2上的最大值，f(0)3，即b3.又f(1)7a3，f(2)16a3f(1)，f(2)16a329，解得a2.(2)當(dāng)af(1)，f(2)16a293，解得a2.綜上可得，a2，b3或a2，b29.拓展提升由函數(shù)的最值來(lái)確定參數(shù)的問(wèn)題是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的逆向運(yùn)用，解題時(shí)一般采用待定系數(shù)法，列出含參數(shù)的方程或方程組，從而求出參數(shù)的值，這也是方程思想的應(yīng)用【跟蹤訓(xùn)練2】已知函數(shù)f(x)x33x29xA(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若f(x)在區(qū)間2,2上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值解(1)f(x)3x26x9.令f(x)0，解得x3，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，1)，(3，)(2)f(2)2a，f(2)22a，f(2)f(2)在(1,3)上f(x)0，在(1,3)上f(x)單調(diào)遞增，又f(x)在2，1上單調(diào)遞減，f(2)和f(1)分別是f(x)在區(qū)間2,2上的最大值和最小值于是有22a20，解得a2，f(x)x33x29x2，f(1)7，即函數(shù)f(x)在區(qū)間2,2上的最小值為7.探究與函數(shù)最值有關(guān)的綜合問(wèn)題例3設(shè)函數(shù)f(x)tx22t2xt1(xR，t0)(1)求函數(shù)f(x)的最小值h(t)；(2)在(1)的條件下，若h(t)2tm對(duì)t(0,2)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解(1)f(x)t(xt)2t3t1(xR，t0)，當(dāng)xt時(shí)，f(x)的最小值為f(t)t3t1，即h(t)t3t1.(2)令g(t)h(t)(2t)t33t1.由g(t)3t230及t0，得t1，當(dāng)t變化時(shí)，g(t)，g(t)的變化情況如下表：t(0,1)1(1,2)g(t)0g(t)極大值由上表可知當(dāng)t1時(shí)，g(t)有極大值g(1)1.又在定義域(0,2)內(nèi)，g(t)有唯一的極值點(diǎn)，函數(shù)g(t)的極大值也就是g(t)在定義域(0,2)內(nèi)的最大值，即g(t)max1.h(t)2tm在(0,2)內(nèi)恒成立，即g(t)m在(0,2)內(nèi)恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)g(t)max1m，即m1時(shí)上式成立，實(shí)數(shù)m的取值范圍是(1，)拓展提升(1)涉及到不等式恒成立、不等式能成立的問(wèn)題時(shí)，一般需轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值來(lái)解決若不等式中含參數(shù)，則可考慮分離參數(shù)，以求避免分類(lèi)討論(2)不等式恒成立、能成立常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化策略af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min；f(x)g(x)k恒成立kf(x)g(x)min；f(x)g(x)恒成立f(x)g(x)min0；af(x)能成立af(x)min，af(x)能成立af(x)max.【跟蹤訓(xùn)練3】設(shè)函數(shù)f(x)1(1a)xx2x3，其中a0.(1)討論f(x)在其定義域上的單調(diào)性；(2)當(dāng)x0,1時(shí)，求f(x)取得最大值和最小值時(shí)的x的值解(1)f(x)的定義域?yàn)镽，f(x)1a2x3x2.令f(x)0，得x1，x2，x1x2，所以f(x)3(xx1)(xx2)當(dāng)xx2時(shí)，f(x)0；當(dāng)x1x0.故f(x)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)因?yàn)閍0，所以x10.當(dāng)a4時(shí)，x21，由(1)知，f(x)在0,1上單調(diào)遞增，所以f(x)在x0和x1處分別取得最小值和最大值當(dāng)0a4時(shí)，x21.由(1)知，f(x)在0，x2上單調(diào)遞增，在x2,1上單調(diào)遞減，因此f(x)在xx2處取得最大值又f(0)1，f(1)a，所以當(dāng)0a1時(shí)，f(x)在x1處取得最小值；當(dāng)a1時(shí)，f(x)在x0和x1處同時(shí)取得最小值；當(dāng)1a4時(shí)，f(x)在x0處取得最小值1.求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，只需比較極值和端點(diǎn)處的函數(shù)值即可；函數(shù)在一個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值，這個(gè)極值就是最值.2.求含參數(shù)的函數(shù)最值，可分類(lèi)討論求解.3.“恒成立”問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題.1設(shè)在區(qū)間a，b上函數(shù)yf(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線(xiàn)，且在區(qū)間a，b上存在導(dǎo)數(shù)，有下列三個(gè)命題：若f(x)在a，b上有最大值，則這個(gè)最大值必是a，b上的極大值；若f(x)在a，b上有最小值，則這個(gè)最小值必是a，b上的極小值；若f(x)在a，b上有最值，則最值必在xa或xb處取得其中正確的命題個(gè)數(shù)是()A0 B1 C2 D3答案A解析由于函數(shù)的最值可能在區(qū)間a，b的端點(diǎn)處取得，也可能在區(qū)間a，b內(nèi)取得，而當(dāng)最值在區(qū)間端點(diǎn)處取得時(shí)，其最值必不是極值，因此3個(gè)命題都是假命題2函數(shù)y2x33x212x5在2,1上的最大值、最小值分別是()A12，8 B1，8 C12，15 D5，16答案A解析y6x26x12，由y0x1或x2(舍去)當(dāng)x2時(shí)y1，當(dāng)x1時(shí)y12，當(dāng)x1時(shí)y8.所以ymax12，ymin8.故選A3函數(shù)f(x)12xx3在區(qū)間3,3上的最小值是_答案16解析由f(x)123x20，得x2或x2，又f(2)16，f(3)9，f(2)16，f(3)9.故最小值為16.4當(dāng)x_時(shí)，函數(shù)f(x)xex取得最小值答案1解析由f(x)ex(1x)0，得x1，當(dāng)x1時(shí)，f