《變化率問題》參考教學設計.doc

1.1.1 變化率問題一.內容和內容解析內容：平均變化率的概念及其求法。內容解析：本節(jié)課是高中數學（選修2-2）第一章導數及其應用的第一節(jié)1.1變化率與導數中的1.1.1變化率問題。本節(jié)內容通過分析研究氣球膨脹率問題、高臺跳水問題，總結歸納出一般函數的平均變化率概念，在此基礎上，要求學生掌握函數平均變化率解法的一般步驟。平均變化率是個核心概念，它在整個高中數學中占有及其重要的地位，是研究瞬時變化率及其導數概念的基礎。在這個過程中，注意特殊到一般、數形結合等數學思想方法的滲透。教學重點：函數平均變化率的概念。二.目標和目標解析新課標對“導數及其應用”內容的處理有了較大的變化，它不介紹極限的形式化定義及相關知識，也有別于以往教材將導數僅僅作為一種特殊的極限、一種“規(guī)則”來學習的處理方式，而是按照：平均變化率瞬時變化率導數的概念導數的幾何意義這樣的順序來安排，用“逼近”的方法定義導數，這種概念建立的方式形象、直觀、生動又容易理解，突出了導數概念的本質。平均變化率是本章的一個重要的基本概念，本節(jié)課是導數及其應用的起始課，對導數概念的形成起著奠基作用。目標：理解平均變化率的概念及內涵，掌握求平均變化率的一般步驟。目標解析：1.經歷從生活中的變化率問題抽象概括出函數平均變化率概念的過程，體會從特殊到一般的數學思想，體現了數學知識來源于生活，又服務于生活。2.通過函數平均變化率幾何意義的教學，讓學生體會數形結合的思想。3.通過例題的解析，讓學生進一步理解函數平均變化率的概念。三.教學問題診斷分析吹氣球是很多人具有的生活經驗，運動速度是學生非常熟悉的物理知識，這兩個實例的共同點是背景簡單。從簡單的背景出發(fā)，既可以利用學生原有的知識經驗，又可以減少因為背景的復雜而可能引起的對數學知識學習的干擾，這是有利的方面。但是如何從具體實例中抽象出共同的數學問題的本質是本節(jié)課教學的關鍵。教學難點：如何從兩個具體的實例中歸納總結出函數平均變化率的概念。四.教學支持條件分析為了有效實現教學目標，準備計算機、投影儀、多媒體課件等。1.在信息技術環(huán)境下，可以使兩個實例的背景更形象、更逼真，從而激發(fā)學生的學習興趣，通過演示平均變化率的幾何意義讓學生更好地體會數形結合思想。2.通過應用舉例的教學，不斷地提供給學生比較、分析、歸納、綜合的機會，體現了從特殊到一般的思維過程，既關注了學生的認知基礎，又促使學生在原有認知基礎上獲取知識，提高思維能力，保持高水平的思維活動，符合學生的認知規(guī)律。五.教學過程設計1.問題情景從生活述語和學生比較熟悉的姚明身高曲線引入課題。設計意圖：使學生了解生活中的變化率問題，為歸納函數平均變化率提供更多的實際背景。師生活動：稍加點撥，繼續(xù)引導學生舉出生活中的變化率問題。2.數學建構問題1：大家可能都有過吹氣球的回憶。在吹氣球的過程中,可以發(fā)現,隨著氣球內空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數學角度,如何描述這種現象呢?設計意圖：通過熟悉的生活體驗，提煉出數學模型，從而為歸納函數平均變化率概念提供具體背景。師生活動：由球的體積公式推導半徑關于體積的函數解析式，然后通過計算，用數據來回答問題，解釋上述現象。思考：當空氣容量從V1增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少?設計意圖：把問題1中的具體數據運算提升到一般的字母表示，體現從特殊到一般的數學思想。為歸納函數平均變化率概念作鋪墊。師生活動：教師播放多媒體，學生可以直接回答問題，教師板書其正確答案，并利用幾何畫板進行演示分析結果的分析與歸納。問題2：在高臺跳水運動中, 運動員相對于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時間t(單位:s) 存在函數關系h(t)=4.9t2+6.5t+10，如果用運動員在某段時間內的平均速度描述其運動狀態(tài), 那么:（1）在0t0.5這段時間里,運動員的平均速度為多少？（2）在1t2這段時間里, 運動員的平均速度為多少？設計意圖：高臺跳水展示了生活中最常見的一種變化率運動速度，而運動速度是學生非常熟悉的物理知識，這樣可以減少因為背景的復雜而可能引起的對數學知識學習的干擾。通過計算為歸納函數平均變化率概念提供又一重要背景。師生活動：教師播放多郭晶晶、吳敏霞在2008年北京奧運會上跳水比賽錄像，讓學生在情景中感受速度變化，學生通過計算回答問題。對第（2）小題的答案說明其物理意義。探究：計算運動員在0t這段時間里的平均速度,并思考下面的問題:(1) 運動員在這段時間里是靜止的嗎?(2) 你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎?設計意圖：通過計算得出平均速度只能粗略地描述運動狀態(tài)，從而為瞬時速度的提出埋下伏筆即為導數的概念作了鋪墊，利用圖像解釋的過程體現了數形結合的數學思想方法。師生活動：教師播放多媒體，學生通過計算回答問題。對答案加以說明其物理意義（突出數形結合思想對教材的一個處理）。思考：當運動員起跳后的時間從t1增加到t2時,運動員的平均速度是多少?設計意圖：把問題2中的具體數據運算提升到一般的字母表示，體現從特殊到一般的數學思想（體現化歸的數學思想）。并為歸納函數平均變化率概念作鋪墊。師生活動：教師播放多媒體，學生可以直接回答問題，教師板書其正確答案。通過引導，使學生逐步歸納出問題1、2的共性。定義：一般地,函數y=f(x)中，式子稱為函數f(x)從x1到x2的平均變化率。其中令，則: 。設計意圖：歸納概念的過程，體現了從特殊到一般的數學思想。思考：（1）,的符號是怎樣的？（2）平均變化率有哪些變式？設計意圖：加深對概念內涵的理解。師生活動：教師播放多媒體，師生共同討論得出結果。思考：觀察函數f(x)的圖象平均變化率表示什么?（圖略）設計意圖：從幾何角度理解平均變化率的概念即平均變化率的幾何意義，體現數形結合的數學思想。3.數學應用例題 (1) 計算函數f(x)=2x+1在區(qū)間3,1上的平均變化率；(2) 求函數f(x)=x2+1的平均變化率。設計意圖：概念的簡單應用，體現了由易到難，由特殊到一般的數學思想，符合學生的認知規(guī)律。師生活動：教師適當點撥，學生口答。練習（1）已知函數f(x)=-x2+x的圖象上的一點A(-1,-2)及臨近一點B(-1+x,-2+y),則y/x=( )A . 3B . 3x-(x)2C . 3-(x)2D . 3-x （2）求y=x2在x=x0附近的平均變化率.設計意圖：進一步加深對概念的理解，突出求平均變化率的一般步驟。從課堂練習一到例題，再到課堂練習二，體現了由易到難，由特殊到一般的數學思想。師生活動：教師板書，并引導學生歸納求平均變化率的一般步驟：（1）作差（2）作商最后請一位同學板演，其余同學在草稿上練習。4.總結提高（1）函數平均變化率的概念是什么？它是通過什么實例歸納總結出來的？（2）求函數平均變化率的一般步驟是怎樣的？（3）這節(jié)課主要用了哪些數學思想？師生活動：最后師生共同歸納總結：函數平均變化率的概念、吹氣球及高臺跳水兩個實例、求函數平均變化率的一般步驟、主要的數學思想有：從特殊到一般，數形結合。設計意圖：復習重點知識、思想方法，完善學生的