群的同構(gòu)定理

3.4 群的同構(gòu)定理 同態(tài)基本定理：設(shè)是群到群的一個(gè)同態(tài)滿射，則。 用圖表示： 將同態(tài)基本定理推廣就得到下面的第一同構(gòu)定理。定理1 (第一同構(gòu)定理) 設(shè)是群到群的一個(gè)滿同態(tài)，且 ，記，則 ，或 。當(dāng)時(shí)，第一同構(gòu)定理退化成同態(tài)基本定理第一同構(gòu)定理也可以用圖表示：證明 首先，由有。作映射： ， ，。以下驗(yàn)證是到的一個(gè)同構(gòu)映射。（1）是映射：設(shè)，則，于是，從而， 即中的每個(gè)賠集在下的像唯一，因此確為到的一個(gè)映射。（2）是滿射：，因?yàn)槭菨M射，所以存在，使得，從而存在，使得，即是滿射。（3）是單射：設(shè)，即，從而。但是滿同態(tài)且，所以，使得。于是由已知條件得，從而，即是單射。 （4）又由于， 所以是到的一個(gè)同態(tài)映射。 綜上所述，是到的一個(gè)同構(gòu)。所以。作業(yè)：P104第4題（提示：用同態(tài)基本定理）。推論1. 設(shè)且，則 。證明 取自然同態(tài)，其核。在第一同構(gòu)定理中取，取為這里的，并注意，由第一同構(gòu)定理得 。例1 設(shè)，證明 。證明 由。又顯然，直接由推論得 。注意：交換的位置也可以得 。定理2 (第二同構(gòu)定理) 設(shè)是群，則，且 。第二同構(gòu)定理也可以用圖表示：證明：由，有，且。作映射 ，則顯然是到的滿同態(tài)。且 ， 于是由同態(tài)基本定理得 。例2 設(shè)分別為3次、4次對(duì)稱群，是Klein四元群， 證明：。 證明 首先（見前面）。以下驗(yàn)證： 且，再用第二同構(gòu)定理即可得證。事實(shí)上，把中的每個(gè)置換看成保持4不動(dòng)，則顯然成立。于是 。又且，所以。于是由第二同構(gòu)定理 。定理3(第三同構(gòu)定理) 設(shè)是群，且，則（1）存在的唯一子群，使得；（2）當(dāng)時(shí)，存在的唯一正規(guī)子群，使得，且。 第三同構(gòu)定理表明：商群的子群仍為商群，且呈的 形式，其中；而且是的正規(guī)子群當(dāng)且僅當(dāng)是的正規(guī)子群。證明 （1）取自然同態(tài)，其核。由上一節(jié)定理4知，在的包含的子群與的所有子群之間可以建立一個(gè)保持包含關(guān)系的雙射，因此當(dāng)時(shí)，必然存在的唯一的子群與之對(duì)應(yīng)，即。另一方面，根據(jù)的定義有，所以。（2）還是由上一節(jié)定理4，當(dāng)時(shí)，存在的唯一的正規(guī)子群，使得。再由第一同構(gòu)定理得 。（此文檔部分內(nèi)容來源于網(wǎng)