拋物線-圓結(jié)合專題-(含解析).doc

拋物線與圓的結(jié)合問題 20140927例1、拋物線交軸于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn),已知拋物線的對稱軸為，,， 求二次函數(shù)的解析式；在拋物線對稱軸上是否存在一點(diǎn)，使點(diǎn)到、兩點(diǎn)距離之差最大？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由； 平行于軸的一條直線交拋物線于兩點(diǎn)，若以為直徑的圓恰好與軸相切，求此圓的半徑解：（1）將代入，得 將，代入，得 是對稱軸，將（2）代入（1）得， 二次函數(shù)得解析式是（2）與對稱軸的交點(diǎn)即為到的距離之差最大的點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為， 直線的解析式是，又對稱軸為， 點(diǎn)的坐標(biāo) （3）設(shè)、，所求圓的半徑為r，則 ，.(1) 對稱軸為， .(2)由（1）、（2）得：.(3) 將代入解析式，得 ，.(4)整理得： 由于 r=y，當(dāng)時，解得， ， （舍去），當(dāng)時，解得， ， （舍去）所以圓的半徑是或 例2、如圖，在直角坐標(biāo)系中，C過原點(diǎn)O，交x軸于點(diǎn)A（2，0），交y軸于點(diǎn)B（0，）。 求圓心的坐標(biāo)； 拋物線yax2bxc過O、A兩點(diǎn)，且頂點(diǎn)在正比例函數(shù)yx的圖象上，求拋物線的解析式； 過圓心C作平行于x軸的直線DE，交C于D、E兩點(diǎn)，試判斷D、E兩點(diǎn)是否在中的拋物線上； 若中的拋物線上存在點(diǎn)P（x0，y0），滿足APB為鈍角，求x0的取值范圍。解：（1）C經(jīng)過原點(diǎn)O， AB為C的直徑。 C為AB的中點(diǎn)。ABCDEFOHxy過點(diǎn)C作CH垂直x軸于點(diǎn)H，則有CHOB，OHOA1。圓心C的坐標(biāo)為（1，）。（2）拋物線過O、A兩點(diǎn)，拋物線的對稱軸為x1。拋物線的頂點(diǎn)在直線yx上， 頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，）把這三點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線拋物線yax2bxc，得解得拋物線的解析式為。 （3）OA2，OB2，.即C的半徑r2。D（3，），E（1，）代入檢驗，知點(diǎn)D、E均在拋物線上（4）AB為直徑，當(dāng)拋物線上的點(diǎn)P在C的內(nèi)部時，滿足APB為鈍角。1x00，或2x03。例3、如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M(1,4)，且經(jīng)過點(diǎn)N(2,3)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C。求拋物線的解析式及點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；若直線y=kx+t經(jīng)過C、M兩點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn)D，試證明四邊形CDAN是平行四邊形；點(diǎn)P在拋物線的對稱軸x=1上運(yùn)動，請?zhí)剿鳎涸趚軸上方是否存在這樣的P點(diǎn)，使以P為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，并且與直線CD相切，若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。解：（1）由拋物線的頂點(diǎn)是M（1，4），設(shè)解析式為 又拋物線經(jīng)過點(diǎn)N（2，3），所以 解得a1 所以所求拋物線的解析式為y令y0，得解得：得A（1，0） B（3，0） ；令x0，得y3，所以 C（0，3）.（2）直線y=kx+t經(jīng)過C、M兩點(diǎn)，所以即k1，t3 直線解析式為yx3. 令y0，得x3，故D（3，0） CD 連接AN，過N做x軸的垂線，垂足為F. 設(shè)過A、N兩點(diǎn)的直線的解析式為ymxn， 則解得m1，n1 所以過A、N兩點(diǎn)的直線的解析式為yx1 所以DCAN. 在RtANF中，AN3，NF3，所以AN 所以DCAN。 因此四邊形CDAN是平行四邊形.（3）假設(shè)在x軸上方存在這樣的P點(diǎn)，使以P為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，并且與直線CD相切，設(shè)P（1，u） 其中u0，則PA是圓的半徑且過P做直線CD的垂線，垂足為Q，則PQPA時以P為圓心的圓與直線CD相切。由第（2）小題易得：MDE為等腰直角三角形，故PQM也是等腰直角三角形， 由P（1，u）得PEu， PM|4-u|， PQ由得方程：，解得，舍去負(fù)值u ，符合題意的u，所以，滿足題意的點(diǎn)P存在，其坐標(biāo)為（1，）.例4、已知：如圖，拋物線的圖象與軸分別交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，經(jīng)過原點(diǎn)及點(diǎn)，點(diǎn)是劣弧上一動點(diǎn)（點(diǎn)與不重合）（1）求拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）求的面積；（3）連交于點(diǎn)，延長至，使，試探究當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到何處時，直線與相切，并請說明理由例4、解 （1）拋物線 的坐標(biāo)