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專題檢測(三) 平面向量一、選擇題1設(shè)a(1,2),b(1,1),cakb.若bc,則實(shí)數(shù)k的值等于()ABC D解析:選A因?yàn)閏akb(1k,2k),又bc,所以1(1k)1(2k)0,解得k.2(2017貴州適應(yīng)性考試)已知向量a(2,4),b(1,1),c(2,3),若ab與c共線,則實(shí)數(shù)()A. BC. D解析:選B法一:ab(2,4),c(2,3),因?yàn)閍b與c共線,所以必定存在唯一實(shí)數(shù),使得abc,所以解得法二:ab(2,4),c(2,3),由ab與c共線可知,解得.3(2018屆高三云南11??鐓^(qū)調(diào)研)已知平面向量a與b的夾角為45,a(1,1),|b|2,則|3ab|等于()A136B2C. D解析:選D依題意得a22,ab2cos 452,|3ab|.4在等腰梯形ABCD中,2,M為BC的中點(diǎn),則()A. B.C. D.解析:選B因?yàn)?,所以2.又M是BC的中點(diǎn),所以()().5(2017成都二診)已知平面向量a,b的夾角為,且|a|1,|b|,則a2b與b的夾角是()A. B.C. D.解析:選A法一:因?yàn)閨a2b|2|a|24|b|24ab1141cos 3,所以|a2b|,又(a2b)bab2|b|21cos 2,所以cosa2b,b,所以a2b與b的夾角為.法二:(特例法)設(shè)a(1,0),b,則(a2b)b,|a2b| ,所以cosa2b,b,所以a2b與b的夾角為.6已知點(diǎn)A(1,1),B(1,2),C(2,1),D(3,4),則向量在方向上的投影為()A. BCD解析:選A由題意知(2,1),(5,5),則在方向上的投影為|cos,.7(2017安徽二校聯(lián)考)在邊長為1的正三角形ABC中,D,E是邊BC的兩個(gè)三等分點(diǎn)(D靠近點(diǎn)B),則等于()A. B.C. D.解析:選C法一:因?yàn)镈,E是邊BC的兩個(gè)三等分點(diǎn),所以BDDECE,在ABD中,AD2BD2AB22BDABcos 6021221,即AD,同理可得AE,在ADE中,由余弦定理得cosDAE,所以|cosDAE.法二:如圖,建立平面直角坐標(biāo)系,由正三角形的性質(zhì)易得A,D,E,所以,所以.8(2017東北四市模擬)已知向量(3,1),(1,3),mn (m0,n0),若mn1,則|的最小值為()A. B.C. D.解析:選C由(3,1),(1,3),得mn(3mn,m3n),因?yàn)閙n1(m0,n0),所以n1m且0m1,所以(12m,4m3),則| (0m1),所以當(dāng)m時(shí),|min.9已知向量m,n的模分別為,2,且m,n的夾角為45.在ABC中,2m2n,2m6n,2,則|()A2 B2C4 D8解析:選B因?yàn)?,所以點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn),所以()2m2n,所以|2|mn|22 2.10(2018屆高三湘中名校聯(lián)考)若點(diǎn)P是ABC的外心,且0,C120,則實(shí)數(shù)的值為()A BC1 D1解析:選C設(shè)AB中點(diǎn)為D,則2.因?yàn)?,所以20,所以向量,共線又P是ABC的外心,所以PAPB,所以PDAB,所以CDAB.因?yàn)锳CB120,所以APB120,所以四邊形APBC是菱形,從而2,所以20,所以1.11已知RtAOB的面積為1,O為直角頂點(diǎn),設(shè)向量a,b,a2b,則的最大值為()A1 B2C3 D4解析:選A如圖,設(shè)A(m,0),B(0,n),mn2,則a(1,0),b(0,1),a2b(1,2),(m1,2),(1,n2),5(m2n)521,當(dāng)且僅當(dāng)m2n,即m2,n1時(shí),等號(hào)成立12已知ABC是邊長為1的等邊三角形,點(diǎn)D,E分別是邊AB,BC的中點(diǎn),連接DE并延長到點(diǎn)F,使得DE2EF,則的值為()A B.C. D.解析:選B如圖所示,.又D,E分別為AB,BC的中點(diǎn),且DE2EF,所以,所以.又,則()2222.又|1,BAC60,故11.二、填空題13在ABC中,點(diǎn)O在線段BC的延長線上,且3,當(dāng)xy時(shí),則xy_.解析:(),xy2.答案:214已知a,b是非零向量,f(x)(axb)(bxa)的圖象是一條直線,|ab|2,|a|1,則f(x)_.解析:由f(x)abx2(a2b2)xab的圖象是一條直線,可得ab0.因?yàn)閨ab|2,所以a2b24.因?yàn)閨a|1,所以a21,b23,所以f(x)2x.答案:2x15(2017天津高考)在ABC中,A60,AB3,AC2.若2, (R),且4,則的值為_解析:法一:().又323,所以()2233454,解得.法二:以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向,建立平面直角坐標(biāo)系,不妨假設(shè)點(diǎn)C在第一象限,則A(0,0),B(3,0),C(1,)由2,得D ,由,得E(3,),則(3,)(3)54,解得.答案:16定義平面向量的一種運(yùn)算ab|ab|ab|sina,b,其中a,b是a與b的夾角,給出下列命題:若a,b90,則aba2b2;若|a|b|,則(ab)(ab)4ab;若|a|b|,則ab2|a|2;若a(1,2),b(2,2),則(ab)b.其中真命題的序號(hào)是_解析:中,因?yàn)閍,b90,則ab|ab|ab|a2b2,所以成立;中,因?yàn)閨a|b|,所以(ab),(ab)90,所以(ab)(ab)|2a|2b|4|a
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