第一輪數(shù)學(xué)：7.1直線的方程

第七章 直線和圓的方程網(wǎng)絡(luò)體系總覽考點(diǎn)目標(biāo)定位（1）理解直線的斜率的概念，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式.掌握直線方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線方程.（2）掌握兩條直線平行與垂直的條件、兩條直線所成的角和點(diǎn)到直線的距離公式，能夠根據(jù)直線的方程判斷兩條直線的關(guān)系.（3）了解二元一次不等式表示平面區(qū)域.（4）了解線性規(guī)劃的意義，并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用.（5）了解解析幾何的基本思想，了解坐標(biāo)法.（6）掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，了解參數(shù)方程的概念，理解圓的參數(shù)方程.復(fù)習(xí)方略指南1.本章在高考中主要考查兩類問(wèn)題：基本概念題和求在不同條件下的直線方程.基本概念重點(diǎn)考查：（1）與直線方程特征值（主要指斜率、截距）有關(guān)的問(wèn)題；（2）直線的平行和垂直的條件；（3）與距離有關(guān)的問(wèn)題等.此類題大都屬于中、低檔題，以選擇題和填空題形式出現(xiàn)，每年必考.中心對(duì)稱與軸對(duì)稱問(wèn)題雖然在考試大綱中沒(méi)有提及，但也是高考的重點(diǎn)，復(fù)習(xí)時(shí)也應(yīng)很好地掌握.2.直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系等綜合性試題的難度較大，一般以解答題形式出現(xiàn)（此類問(wèn)題下一章重點(diǎn)復(fù)習(xí)）.3.由于一次函數(shù)的圖象是一條直線，因此有關(guān)函數(shù)、數(shù)列、不等式、復(fù)數(shù)等代數(shù)問(wèn)題往往借助直線方程進(jìn)行解決，考查學(xué)生的綜合能力及創(chuàng)新能力.在復(fù)習(xí)本章時(shí)要注意如下幾點(diǎn)：1.要能分辨線段的有向與無(wú)向概念上的混淆，有向線段的數(shù)量與有向線段長(zhǎng)度的混淆，能否分清這兩點(diǎn)是學(xué)好有向線段的關(guān)鍵2.在解答有關(guān)直線的問(wèn)題時(shí)，要注意（1）在確定直線的斜率、傾斜角時(shí)，首先要注意斜率存在的條件，其次是傾斜角的范圍；（2）在利用直線的截距式解題時(shí)，要注意防止由于“零截距”而造成丟解的情況；（3）在利用直線的點(diǎn)斜式、斜截式解題時(shí)，要注意檢驗(yàn)斜率不存在的情況，防止丟解；（4）要靈活運(yùn)用定比分點(diǎn)公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，在解決有關(guān)分割問(wèn)題、對(duì)稱問(wèn)題時(shí)可以簡(jiǎn)化運(yùn)算；（5）掌握對(duì)稱問(wèn)題的四種基本類型的解法；（6）在由兩直線的位置關(guān)系確定有關(guān)參數(shù)的值或其范圍時(shí)，要充分利用分類討論、數(shù)形結(jié)合、特殊值檢驗(yàn)等基本的數(shù)學(xué)思想方法7.1 直線的方程知識(shí)梳理1.直線的傾斜角、斜率及直線的方向向量（1）直線的傾斜角在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與x軸相交的直線，如果把x軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為，那么就叫做直線的傾斜角.當(dāng)直線和x軸平行或重合時(shí)，我們規(guī)定直線的傾斜角為0.可見(jiàn)，直線傾斜角的取值范圍是0180.（2）直線的斜率傾斜角不是90的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，常用k表示，即k=tan（90）.傾斜角是90的直線沒(méi)有斜率；傾斜角不是90的直線都有斜率，其取值范圍是（，+）.（3）直線的方向向量設(shè)F1（x1，y1）、F2（x2，y2）是直線上不同的兩點(diǎn)，則向量=（x2x1，y2y1）稱為直線的方向向量.向量=（1，）=（1，k）也是該直線的方向向量，k是直線的斜率.（4）求直線斜率的方法定義法：已知直線的傾斜角為，且90，則斜率k=tan.公式法：已知直線過(guò)兩點(diǎn)P1（x1，y1）、P2（x2，y2），且x1x2，則斜率k=.方向向量法：若a=（m，n）為直線的方向向量，則直線的斜率k=.平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一條直線都有傾斜角，但不是每一條直線都有斜率.斜率的圖象如下圖.對(duì)于直線上任意兩點(diǎn)P1（x1，y1）、P2（x2，y2），當(dāng)x1=x2時(shí)，直線斜率k不存在，傾斜角=90；當(dāng)x1x2時(shí)，直線斜率存在，是一實(shí)數(shù)，并且k0時(shí)，=arctank，k0時(shí)，=+arctank.2.直線方程的五種形式（1）斜截式：y=kx+b.（2）點(diǎn)斜式：yy0=k（xx0）.（3）兩點(diǎn)式：=.（4）截距式：+=1.（5）一般式：Ax+By+C=0.點(diǎn)擊雙基1.直線xtan+y=0的傾斜角是A. B. C. D.解析：k=tan=tan（）=tan且0，）.答案：D2.過(guò)兩點(diǎn)（1，1）和（3，9）的直線在x軸上的截距是A. B. C. D.2解析：求出過(guò)（1，1）、（3，9）兩點(diǎn)的直線方程，令y=0即得.答案：A3.直線xcosy20的傾斜角范圍是A.，）（，B.0，）C.0，D.，解析：設(shè)直線的傾斜角為，則tan=cos.又1cos1，tan.0，）.答案：B4.直線y=1與直線y=x+3的夾角為_(kāi).解法一：l1：y=1與l2：y=x+3的斜率分別為k1=0，k2=.由兩直線的夾角公式得 tan=，所以兩直線的夾角為60.解法二：l1與l2表示的圖象為（如下圖所示）y=1與x軸平行，y=x+3與x軸傾斜角為60，所以y=1與y=x+3的夾角為60.答案：605.下列四個(gè)命題：經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P0（x0，y0）的直線都可以用方程yy0=k（xx0）表示；經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直線都可以用方程（x2x1）（xx1）=（y2y1）（yy1）表示；不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線都可以用方程+=1表示；經(jīng)過(guò)定點(diǎn) A（0，b）的直線都可以用方程y=kx+b表示.其中真命題的個(gè)數(shù)是A.0 B.1 C.2 D.3解析：對(duì)命題，方程不能表示傾斜角是90的直線，對(duì)命題，當(dāng)直線平行于一條坐標(biāo)軸時(shí)，則直線在該坐標(biāo)軸上截距不存在，故不能用截距式表示直線.只有正確. 答案：B典例剖析【例1】 已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)是A（3，4）、B（0，3）、C（6，0），求它的三條邊所在的直線方程.剖析：一條直線的方程可寫(xiě)成點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式和一般式等多種形式.使用時(shí)，應(yīng)根據(jù)題目所給的條件恰當(dāng)選擇某種形式，使得解法簡(jiǎn)便.由頂點(diǎn)B與C的坐標(biāo)可知點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)C在x軸上，于是BC邊所在的直線方程用截距式表示，AB所在的直線方程用斜截式的形式表示，AC所在的直線方程利用兩點(diǎn)式或點(diǎn)斜式表示均可，最后為統(tǒng)一形式，均化為直線方程的一般式.解：如下圖，因ABC的頂點(diǎn)B與C的坐標(biāo)分別為（0，3）和（6，0），故B點(diǎn)在y軸上，C點(diǎn)在x軸上，即直線BC在x軸上的截距為6，在y軸上的截距為3，利用截距式，直線BC的方程為+=1，化為一般式為x2y+6=0.由于B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3），故直線AB在y軸上的截距為3，利用斜截式，得直線AB的方程為y=kx+3.又由頂點(diǎn)A（3，4）在其上，所以4=3k+3.故k=.于是直線AB的方程為y=x+3，化為一般式為7x+3y9=0.由A（3，4）、C（6，0），得直線AC的斜率kAC=.利用點(diǎn)斜式得直線AC的方程為y0=（x+6），化為一般式為4x+9y+24=0.也可用兩點(diǎn)式，得直線AC的方程為=，再化簡(jiǎn)即可.評(píng)述：本題考查了求直線方程的基本方法.【例2】 已知兩直線a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交點(diǎn)為P（2，3），求過(guò)兩點(diǎn)Q1（a1，b1）、Q2（a2，b2）（a1a2）的直線方程.剖析：利用點(diǎn)斜式或直線與方程的概念進(jìn)行解答.解：P（2，3）在已知直線上， 2a1+3b1+1=0，2a2+3b2+1=0.2（a1a2）+3（b1b2）=0，即=.所求直線方程為yb1=（xa1）.2x+3y（2a1+3b1）=0，即2x+3y+1=0.評(píng)述：此解法運(yùn)用了整體代入的思想，方法巧妙.思考討論 依“兩點(diǎn)確定一直線”，那么你又有新的解法嗎？提示： 由2a1+3b1+1=0，2a2+3b2+1=0，知Q1、Q2在直線2x+3y+1=0上.【例3】 一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（3，2），并且分別滿足下列條件，求直線方程：（1）傾斜角是直線x4y+3=0的傾斜角的2倍；（2）與x、y軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn)，且AOB的面積最?。∣為坐標(biāo)原點(diǎn)）.剖析：（2）將面積看作截距a、b的函數(shù)，求函數(shù)的最小值即可.解：（1）設(shè)所求直線傾斜角為，已知直線的傾斜角為，則2，且tan，tantan2，從而方程為8x15y+6=0.（2）設(shè)直線方程為1，a0，b0，代入P（3，2），得12，得ab24，從而SAOBab12，此時(shí)，k.方程為2x+3y12=0.評(píng)述：此題（2）也可以轉(zhuǎn)化成關(guān)于a或b的一元函數(shù)后再求其最小值.深化拓展 若求|PA|PB|及|OA|+|OB|的最小值，又該怎么解呢？提示： 可類似第（2）問(wèn)求解.闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)1.直線x2y+2k=0與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積不大于1，那么k的范圍是A.k1B.k1C.1k1且k0D.k1或k1解析：令x=0，得y=k；令y=0，得x=2k.三角形面積S=xy=k2.又S1，即k21，1k1.又k=0時(shí)不合題意，故選C.答案：C2.（2004年湖南，2）設(shè)直線ax+by+c=0的傾斜角為，且sin+cos=0，則a、b滿足A.a+b=1 B.ab=1 C.a+b=0 D.ab=0解析：0180，又sin+cos=0，=135，ab=0.答案：D3.（2004年春季北京）直線xy+a=0（a為實(shí)常數(shù)）的傾斜角的大小是_.解析：k=，即tan=.=30.答案：304.（2005年北京東城區(qū)目標(biāo)檢測(cè)）已知直線l1：x2y+3=0，那么直線l1的方向向量a1為_(kāi)（注：只需寫(xiě)出一個(gè)正確答案即可）；l2過(guò)點(diǎn)（1，1），并且l2的方向向量a2與a1滿足a1a2=0，則l2的方程為_(kāi).解析：由方向向量定義即得a1為（2，1）或（1，）.a1a2=0，即a1a2.也就是l1l2，即k1k2=1.再由點(diǎn)斜式可得l2的方程為2x+y3=0.答案：（2，1）或（1，） 2x+y3=05.已知直線l的斜率為6，且被兩坐標(biāo)軸所截得的線段長(zhǎng)為，求直線l的方程.解法一：設(shè)所求直線l的方程為y=kx+b.k6，方程為y=6x+b.令x=0，y=b，與y軸的交點(diǎn)為（0，b）；令y=0，x=，與x軸的交點(diǎn)為（，0）.根據(jù)勾股定理得（）2b237，b6.因此直線l的方程為y=6x6解法二：設(shè)所求直線為+=1，則與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為（a，0）、（0，b）.由勾股定理知a2b237.又k=6，解此方程組可得a2b237，=6.或a1， a1，b6 b6.因此所求直線l的方程為x+=1或x+=1，即6xy606.在ABC中，已知點(diǎn)A（5，2）、B（7，3），且邊AC的中點(diǎn)M在y軸上，邊BC的中點(diǎn)N在x軸上.（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）求直線MN的方程.解：（1）設(shè)點(diǎn)C（x，y），由題意得=0，=0，得x=5，y=3.故所求點(diǎn)C的坐標(biāo)是（5，3）.（2）點(diǎn)M的坐標(biāo)是（0，），點(diǎn)N的坐標(biāo)是（1，0），直線MN的方程是=，即5x2y5=0.培養(yǎng)能力7.某房地產(chǎn)公司要在荒地ABCDE（如下圖）上劃出一塊長(zhǎng)方形地面（不改變方位）建造一幢八層的公寓樓，問(wèn)如何設(shè)計(jì)才能使公寓占地面積最大？并求出最大面積.（精確到1 m2）解：如下圖，在線段AB上任取一點(diǎn)P，分別向CD、DE作垂線劃得一塊長(zhǎng)方形土地，建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系，則AB的方程為+=1.設(shè)P（x，20x），則長(zhǎng)方形面積S=（100x）80（20x） （0x30）.化簡(jiǎn)得S=x2+x+6000（0x30）.配方，易得x=5，y=時(shí)，S最大，其最大值為6017 m2.8.（文）已知點(diǎn)P（1，1），直線l的方程為x2y+1=0.求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，且傾斜角為直線l的傾斜角一半的直線方程.解：設(shè)直線l的傾斜角為，則所求直線的傾斜角為，由已知直線l的斜率為tan=及公式tan=，得tan2+2tan1=0.解得tan=或tan=.由于tan=，而01，故0，00.于是所求直線的斜率為k=tan=.故所求的直線方程為y（1）=（）（x1），即（）xy（+1）=0.（理）設(shè)直線l的方程是2x+By1=0，傾斜角為.（1）試將表示為B的函數(shù)；（2）若，試求B的取值范圍；（3）若B（，2）（1，+），求的取值范圍.解：（1）若B=0，則直線l的方程是2x1=0，=；若B0，則方程即為y=x+，當(dāng)B0時(shí)，0，=arctan（），而當(dāng)B0時(shí)，0，=+arctan（），arctan （B0），即=f（B）= （B=0），arctan（B0）.（2）若=，則B=0，若，則tan或tan，即（B0）或（B0），2B0或0B.綜上，知2B.（3）若B2，則1，0tan1，0；若B1，則2，0tan2，arctan2.綜上，知arctan2或0.探究創(chuàng)新9.某市現(xiàn)有自市中心O通往正西和東北方向的兩條主要公路，為了解決交通擁擠問(wèn)題，市政府決定修一條環(huán)城路，分別在通往正西和東北方向的公路上選取A、B兩點(diǎn)，使環(huán)城公路在A、B間為線段，要求AB環(huán)城路段與中心O的距離為10 km，且使A、B間的距離|AB|最小，請(qǐng)你確定A、B兩點(diǎn)的最佳位置（不要求作近似計(jì)算）. 解：以O(shè)為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸的正半軸，正北方向?yàn)閥軸的正半軸，建立如下圖所示的坐標(biāo)系.設(shè)A（a，0）、B（b，b）（其中a0，b0），則AB的方程為=，即bx（a+b）y+ab=0.10=，a2b2=100（a2+2b2+2ab）100（2+2ab）=200（1+）ab.ab0，ab200（+1）.當(dāng)且僅當(dāng)“a2=2b2”時(shí)等號(hào)成立，而|AB|=，|AB|20（+1）.當(dāng)a2=2b2，ab=10，時(shí)，|AB|取最小值，即a=10，b=10 此時(shí)|OA|=a=10，|OB|=10，A、B兩點(diǎn)的最佳位置是離市中心O均為10km處.思悟小結(jié)直線的傾斜角、斜率及直線在坐標(biāo)軸上的截距是刻畫(huà)直線位置狀態(tài)的基本量，應(yīng)正確理解；直線方程有五種形式，其中點(diǎn)斜式要熟練掌握，這五種形式的方程表示的直線各有適用范圍，解題時(shí)應(yīng)注意不要丟解；含參數(shù)的直線方程問(wèn)題用數(shù)形結(jié)合法常常簡(jiǎn)捷些.教師下載中心教學(xué)點(diǎn)睛1.注意斜率和傾斜角的區(qū)別，讓學(xué)生了解斜率的圖象.2.直線方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式