北京市朝陽(yáng)區(qū)2015-2016年高二上期末數(shù)學(xué)試題(理)含答案解析

1 / 20 北京市朝陽(yáng)區(qū) 2015年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué) 一、選擇題：共 10題 1 圓 被直線 截得的弦長(zhǎng)為 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系、圓的性質(zhì) 心坐標(biāo)為 (2,0),半徑 r=2,則圓心到直線 x=1的距離為 d=1，由垂徑定理可知，弦長(zhǎng)為 2 拋物線 上與其焦點(diǎn)距離等于 的點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】本題主要考查拋物線的定義 x，由拋物線的定義可知， x+ =3，則 x= 3 已知 ,則 是 的 2 / 20 【答案】 A 【解析】本題主要考查充分條件與必要條件 所以 ,因此，且 ，故 是 的充分而不必要條件 . 4 已知兩條不同的直線 ,三個(gè)不同的平面 ,下列說(shuō)法正確的是 【答案】 D 【解析】本題主要考查線面、面面平行與垂直的判定與性質(zhì)，考查空間想象能力 所以平面 內(nèi)存在一條直線 c與 為 所以 b與 位置關(guān)系不確定，故 行于同一條直線的兩個(gè)平面不一定平行，故 為 所以或 ，故 此， 5 在圓 上任取一點(diǎn) ,過(guò)點(diǎn) 作 軸的垂線段 為垂足 ,當(dāng)點(diǎn) 在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí) ,線段的中點(diǎn) 的軌跡方程是 A. B. C. D. 【答案】 C 3 / 20 【解析】本題主要考查點(diǎn)的軌跡方程、圓的方程 (s,t),M(x,y),D(s,0),由題意可知， s=x， t=2y，且 ，消去 s、 t，化簡(jiǎn)可得點(diǎn) 6 如圖 ,平行六面體 中 , 與 的交點(diǎn)為 ,設(shè) ,則下列向量中與 相等的向量是 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】本題主要考查空間向量的應(yīng)用 4 / 20 7 若由方程 和 所組成的方程組至多有兩組不同的實(shí)數(shù)解 ,則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 A. 或 B. 或 C. D. 【答案】 B 【解析】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系 . 方程 表示兩條直線，聯(lián)立兩個(gè)方程，消去 x，化簡(jiǎn)可得 2,由題意可知，判別式 =4,所以 或 8 設(shè) 是坐標(biāo)原點(diǎn) ,若直線 與圓 交于不同的兩點(diǎn) ,且,則實(shí)數(shù) 的最大值是 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】本題主要考查圓的性質(zhì)、平面向量的平行四邊形法則、菱形的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式 鄰邊作菱形，由 分別表示菱形兩條對(duì)角線所表示的向量，因?yàn)?所以 的夾角為直角或鈍角，所以圓心到直線 由點(diǎn)到直線的距離公式可得 ,所以 ，則實(shí)數(shù) 的最大值是 2 9 如圖 ,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為 1,粗實(shí)線畫出的是某三棱錐的三視圖 ,則該三棱錐的體積為 5 / 20 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】本題主要考查空間幾何體的三視圖、表面積與體積，考查了空間想象能力 三棱錐的底面面積為 ，高為 4，所以，該三棱角的體積 V= 10 已知?jiǎng)訄A 位于拋物線 的內(nèi)部 ( ),且過(guò)該拋物線的頂點(diǎn) ,則動(dòng)圓 的周長(zhǎng)的最大值是 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】本題主要考查拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、圓的方程與性質(zhì) =b2(b0),與聯(lián)立消去 4y=0,由題意可知，要使動(dòng)圓 的周長(zhǎng)最大，則圓的半徑也最大，且圓與拋物線相切，則判別式 =0，故 b=2，所以動(dòng)圓 的周長(zhǎng)的最大值是 6 / 20 二、填空題：共 6題 11 寫出命題 :“任意兩個(gè)等腰直角三角形都是相似的 ”的否定 :_;判斷 是_命題 . (后一 空中填 “真 ”或 “假 ”) 【答案】存在兩個(gè)等腰直角三角形 ,它們不相似 ; 假 【解析】本題主要拿考查全稱命題與特稱命題的否定、命題真假的判斷 題 : 存在兩個(gè)等腰直角三角形 ,它們不相似 ;顯然命題 是假命題 . 12 已知 ,則 的外接圓的方程是 . 【答案】 【解析】本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與圓的性質(zhì) 段 直平分線的交點(diǎn)即為圓心，所以圓心坐標(biāo)為 (3,4),則半徑 r=5,所以，所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為13 中心在原點(diǎn) ,焦點(diǎn)在 軸上 ,虛軸長(zhǎng)為 并且離心率為 的雙曲線的漸近線方程為 _. 【答案】 7 / 20 【解析】本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 由題意可知， b= ，又因?yàn)?e=3，所以 c=3a， 易求得 a=1，所 以雙曲線方程為 ，則漸近線方程為14 過(guò)橢圓 C: 的右焦點(diǎn) 的直線與橢圓 , ,則點(diǎn) 與左焦點(diǎn)的距離 =_. 【答案】 【解析】本題主要考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、平面向量的共線定理 為 ,所以 x=1代入橢圓方程求得 |y|= ,即 | ,又因?yàn)?,所以 = 15 下圖為四棱錐 的表面展開(kāi)圖 ,四邊形 為矩形 , 底面上的射影為點(diǎn) ,四棱錐的高為 ,則在四棱錐 中 , 與平面 所成角的正切值為_(kāi). 8 / 20 P 4 ( P )P 3 ( P )P 2 ( P )P 1 ( P )C【答案】 【解析】本題主要考查直線與平面所成的角、線面垂直，考查了空間想象能力 四棱錐 中， 以 因?yàn)?，所?，又 ， 所以 與平面 所成角的正切值 為 16 如圖 ,正方體 的棱長(zhǎng)為 1,點(diǎn) ,的動(dòng)點(diǎn) (, 重合 )有四個(gè)命題 : 平面 /平面 ; 平面 平面 ; 三棱錐 的體積有最大值 . 9 / 20 其中真命題的序號(hào)是 _. D 1B 1A 1案】 【解析】本題主要考查線面與面面平行與垂直的判定與性質(zhì)、空間幾何體的體積空間向量的應(yīng)用，考查了空間想象能力 接 證 然 平面 此 錯(cuò)誤 ;根據(jù)線面與面面平行的判定定理易證平面易知 /平面 ，故 正確 ;利用線面與面面垂直的判定定理易證則易得平面 平面 ，故 正確 ;因?yàn)?為三角形 與 B、 以點(diǎn) 此， 錯(cuò)誤 . 三、解答題：共 3題 10 / 20 17 如圖 ,長(zhǎng)方體 中 , 為 的中點(diǎn) ,點(diǎn) 分別為棱的中點(diǎn) C 1A 1( )求證 :平面 /平面 ; ( )求證 :平面 平面 . 【答案】 ( )在長(zhǎng)方體 中 ,點(diǎn) 和點(diǎn) 分別為所在棱的中點(diǎn) , 所以 且 ,從而四邊形 為平行四邊形 . 所以 . 又因?yàn)?平面 C 平面 所以 平面 又點(diǎn) 中點(diǎn) , 所以 中位線 ,所以 . 由于 平面 N 平面 所以 平面 11 / 20 又因?yàn)?平面 平面 , 所以平面 平面 ( )在長(zhǎng)方體 中 , 平面 平面 所以 . 在矩形 則 , 從而 ,即 . 因?yàn)?平面 , 所以 平面 . 又 面 ,所以平面 平面 , 【解析】本題主要考查線面與面面平行與垂直的判定定理與性質(zhì)定理， 考查了空間想象能力 .(1)根據(jù)題意，先證明四邊形 為平行四邊形，即可證明 ，易得 平面 理可證明 平面 結(jié)果易證 ;(2)先證明 ， ，易得 平面 ，則結(jié)論即可證明 . 12 / 20 18 如圖 ,四棱錐 的底面 為直角梯形 , / ,且,平面 底面為 的中點(diǎn) , 為等邊三角形 , 是棱 上的一點(diǎn) ,設(shè) 與 不重合 ). ( )求證 : ; ( )若 /平面 ,求 的值 ; ( )若二面角 的平面角為 ,求 的值 . 【答案】 ( )因?yàn)?為等邊三角形 , 為 的中點(diǎn) ,所以 . 因?yàn)槠矫?平面 ,且平面 平面 平面 , 所以 平面 . 又 平面 ,所以 . 由已知得 , 13 / 20 所以 平面 . 且 平面 ,所以 . ( )連接 交 于 ,連接 . 因?yàn)?/平面 平面 , 平面 平面 , 所 以 . 因?yàn)?/ , 所以 . 又 ,所以 . 所以 ,則 為 的中點(diǎn) , . ( )方法一 : 依題意 ,若二面角 的大小為 ,則二面角 的大小為 . 14 / 20 連接 ,過(guò)點(diǎn) 作 交 于 ,過(guò) 作 于 ,連接 . 因?yàn)?平面 ,所以 平面 . 又 平面 ,所以 . 又 平面 平面 , 所以 平面 ,從而 . 則 為二面角 的平面角 ,即 . 在等邊 中 , 所以 . 又 ,所以 . 在 中 , 解得 . 方法二 :由于 ,以 為原點(diǎn) , 15 / 20 射線 分別為 正半軸 , 正半軸 , 正半軸建立空間直角坐標(biāo)系 , 如圖 . 根據(jù)條件 可知 : 平面 即 平面的一個(gè)法向量為 . 設(shè) ,由條件 可知 : ) 即 ,解得 : 即 . 設(shè)平面 的一個(gè)法向量為 , 16 / 20 則 , ,令 ,則 . 即 . 因?yàn)槎娼?的平面角為 , 所以 , 解得 . 因?yàn)?,所以 . 【解析】本題主要考查線面、面面平行與垂直的判定定理與性質(zhì)定理、二面角、空間向量的應(yīng)用，考查了空間想象能力 .(1)根據(jù)題意證明 、 ，即可證明 平面 ，則結(jié)論易得 ;(2) 連接 交 于 ,連接 ，由 /平面 可得 ，根據(jù)題意證明，則易求 (3) 依題意 ,若二面角 的大小為 ,則二面角的大小為 ，連接 ,過(guò)點(diǎn) 作 交 于 ,過(guò) 作 于 ,連接 ，證 明，則 為二面角 的平面角 ,即 ，根據(jù)已知條件求解即可 ;法二：由于 ,以 為原點(diǎn) ,射線 分別為 正半軸 , 正半軸 , 正半軸建立空間直角坐標(biāo)系 , 平面 即 平面的一個(gè)法向量為 ，求出 平面 的一個(gè)法向量為 ，根據(jù)題意 ，化簡(jiǎn)求解即可 . 17 / 20 19 已知橢圓 ,過(guò)原點(diǎn) 作直線 交橢圓 于 兩點(diǎn) , 為橢圓上異于 的動(dòng)點(diǎn) ,連接 ,設(shè)直線 的斜率分別為 ),過(guò) 作直線 的平行線 ,分別交橢圓 于 和 . ( )若 分別為橢圓 的左、右頂點(diǎn) ,是否存在點(diǎn) ,使 ?說(shuō)明理由 . ( )求 的值 ; ( )求 的值 . 【答案】 ( )不存在點(diǎn) ,使 設(shè) 此時(shí) ,則 . 若 ,則需使 ,即 . 又點(diǎn) 在橢圓 上所以 ,把 代入 (1)式中解得 , ,且 點(diǎn)矛盾 ,所以不存在 . ( )設(shè) ,依題意直 線 過(guò)原點(diǎn) ,則 . 由于 為橢圓上異于 的點(diǎn) ,則直線 的斜率 ,直線 的斜率 橢圓 的方程化為 ,由于點(diǎn) 和點(diǎn) 都為橢圓 上的點(diǎn) ,則 18 / 20 ,兩式 相減得 ,因?yàn)辄c(diǎn) 和點(diǎn) 不重合 ,所以,即 . ( )方法一 : 由于 分別平行于直線 ,則直線 的斜率 ,直線 的斜率 . 設(shè)直線 的方程為 ,代入到橢圓方程中 ,得 ,解得 . 設(shè) ,由直線 過(guò)原點(diǎn) ,則 . 則 = . 由于 ,所以 ,即 . 直線 的方程為 ,代入到橢圓方程中 ,得 ,解得 . 同理可得 由 ( )問(wèn) ,且 ,則 . 即 化簡(jiǎn)得 . 19 / 20 即 . 方法二 : 設(shè) ,由直線 都過(guò)原點(diǎn) ,則 . 由于 分別平行于直線 ,則直線 的斜率 ,直線 的斜率 ,由 ( )問(wèn),可得 則 可能在 軸上 ,即 ,所以 ,過(guò)原點(diǎn)的直線 的方程為 ,代入橢圓 的方程中 ,得,化簡(jiǎn)得 . 由于點(diǎn) 在橢圓 上 ,所以 ,所以 ,不妨設(shè) ,代入到直線中 ,得 則 . = = = . 又 ,所以 . 【解析】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、直線的斜率公式、兩條直線的位置關(guān)系、兩點(diǎn)間的距離公式、平面向量的數(shù)量 積，考查了計(jì)算能力 .(1) 設(shè) ,(或 ),求出之間的關(guān)系，聯(lián)立橢圓方程，求出 的值，即可判斷結(jié)論 ;(2) 設(shè) , 20 / 20 依題意直線 過(guò)原