（試題 試卷 真題）第45講：梯形--基礎知識(36頁)

第45講：梯形-基礎知識從27講開始，我們針對中考數學中的熱門考點，從數學的基礎知識方面分26個專題進行探討。梯形及特殊梯形（等腰梯形和直角梯形）的性質與判定是中考考查的重點內容之一，常以選擇題、解答題的形式出現，選擇題主要考查各種圖形性質的區(qū)別，解答題則是綜合利用各種知識證明線段相等或解決其它一些問題。梯形是指一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形。平行的兩邊叫做梯形的底邊，長的一條底邊叫下底，短的一條底邊叫上底。不平行的兩邊叫腰；夾在兩底之間的垂線段叫梯形的高。解決梯形問題的常用方法： （1）“作對角線”：構造兩三角形；（2）“作高”：使兩腰在兩個直角三角形中； （3）“平移一腰”：構造一平行四邊形和一三角形；（4）“平移對角線”：使兩條對角線在同一個三角形中；（5）“延長兩腰”：構造具有公共角的兩個等腰三角形； （6）“過中點平移兩腰”：取一腰中點，平移兩腰，構成兩平行四邊形和一三角形；（7）“過一腰中點作另一腰的平行線”：構成兩全等三角形；（8）“頂點連一腰的中點并延長”：構成兩全等三角形；（9）取兩腰中點，連接，作中位線。結合2013年全國各地中考的實例，我們從三方面進行靜態(tài)幾何之梯形問題的探討：（1）普通梯形問題；（2）等腰梯形問題；（3）直角梯形問題。一、普通梯形問題：梯形的判定：（1）一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形是梯形；（2）一組對邊平行且不相等的四邊形是梯形。梯形的性質：（1）梯形的上下兩底平行；（2）梯形的中位線（兩腰中點相連的線叫做中位線）平行于兩底并且等于上下底和的一半。典型例題：版權歸江蘇泰州錦元數學工作室鄒強，轉載必究1.（2013年江蘇無錫3分）如圖，梯形ABCD中，ADBC，對角線AC、BD相交于O，AD=1，BC=4，則AOD與BOC的面積比等于【 】A B C D2.（2013年四川巴中3分）如圖，在梯形ABCD中，ADBC，點E、F分別是AB、CD的中點且EF=6，則AD+BC的值是【 】A9 B10.5 C12 D153.（2013年浙江寧波3分）如圖，梯形ABCD中，ADBC，AB=，BC=4，連結BD，BAD的平分線交BD于點E，且AECD，則AD的長為【 】A B C D124.（2013年甘肅天水4分）如圖所示，在梯形ABCD中，ADBC，對角線ACBD，且AC=12，BD=5，則這個梯形中位線的長等于 5.（2013年貴州六盤水4分）如圖，梯形ABCD中，ADBC，AD=4，AB=5，BC=10，CD的垂直平分線交BC于E，連接DE，則四邊形ABED的周長等于 6.（2013年黑龍江龍東地區(qū)3分）梯形ABCD中，ABCD，AB=3，CD=8，點E是對角線AC上一點，連接DE并延長交直線AB于點F，若=2，則= 7.（2013年湖南長沙3分）如圖，在梯形ABCD中，ADBC，B=50，C=80，AECD交BC于點E，若AD=2，BC=5，則邊CD的長是 8.（2013年福建廈門6分）如圖，在梯形ABCD中，ADBC，對角線AC，BD相交于點E若AE=4，CE=8，DE=3，梯形ABCD的高是，面積是54求證：ACBD9.（2013年山東淄博5分）如圖，ADBC，BD平分ABC求證：AB=AD出結論。二、等腰梯形問題：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。等腰梯形的判定：（1）兩腰相等的梯形是等腰梯形；（2）同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形；（3）對角線相等的梯形是等腰梯形。等腰梯形的性質：（1）等腰梯形的兩條腰相等；（2）等腰梯形在同一底上的兩個底角相等；（3）等腰梯形的兩條對角線相等；（4）等腰梯形是軸對稱圖形，對稱軸是上下底中點的連線所在直線(過兩底中點的直線）；（5）具備梯形的性質。典型例題：版權歸江蘇泰州錦元數學工作室鄒強，轉載必究1.（2013年上海市4分）在梯形ABCD中，ADBC，對角線AC和BD交于點O，下列條件中，能判斷梯形ABCD是等腰梯形的是【 】（A）BDC =BCD （B）ABC =DAB （C）ADB =DAC （D）AOB =BOC 2.（2013年湖北十堰3分）如圖，梯形ABCD中，ADBC，AB=DC=3，AD=5，C=60，則下底BC的長為【 】A8 B9 C10 D113.（2013年湖南懷化3分）如圖，已知等腰梯形ABCD的底角B=45，高AE=1，上底AD=1，則其面積為【 】 A4 B C1 D24.（2013年湖南張家界3分）順次連接等腰梯形四邊中點所得的四邊形一定是【 】A矩形 B正方形 C菱形 D直角梯形【答案】C。xyABCDPO5.（2013年江蘇南京2分）如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，AB=DC，AC與BD相交于點P。已知A(2, 3)，B(1, 1)，D(4, 3)，則點P的坐標為（ ， ）。6. （2013年江蘇揚州3分）如圖，在梯形ABCD中，ADBC，AB=AD=CD，BC=12，ABC=60，則梯形ABCD的周長為 7. （2013年遼寧盤錦3分）如圖，等腰梯形ABCD，ADBC，BD平分ABC，A=120若梯形的周長為10，則AD的長為 8. （2013年山東臨沂3分）如圖，等腰梯形ABCD中，ADBC，DEBC，BDDC，垂足分別為E，D，DE=3，BD=5，則腰長AB= 9. （2013年山東煙臺3分）如圖，四邊形ABCD是等腰梯形，ABC=60，若其四邊滿足長度的眾數為5，平均數為，上、下底之比為1：2，則BD= 10.（2013年海南省4分）如圖，在梯形ABCD中，ADBC，AB=CD=AD=5，B=60，則BC= 11.（2013年廣東深圳8分）如圖，在等腰梯形ABCD中，已知AD/BC，AB=DC，AC與BD交于點O，廷長BC到E，使得CE=AD，連接DE。（1）求證：BD=DE。（2）若ACBD，AD=3，SABCD=16，求AB的長。12. （2013年廣西百色6分）如圖，在等腰梯形ABCD中，DCAB，E是DC延長線上的點，連接AE，交BC于點F。（1）求證：ABFECF（2）如果AD5cm，AB8cm，CF2cm，求CE的長。13.（ 2013年廣西柳州10分）如圖，四邊形ABCD為等腰梯形，ADBC，連結AC、BD在平面內將DBC沿BC翻折得到EBC （1）四邊形ABEC一定是什么四邊形？（2）證明你在（1）中所得出的結論14. （ 2013年廣西欽州6分）如圖，梯形ABCD中，ADBC，ABDE，DEC=C，求證：梯形ABCD是等腰梯形15.（2013年湖北恩施8分）如圖所示，在梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA的中點，求證：四邊形EFGH為菱形16.（2013年山東濱州10分）某高中學校為高一新生設計的學生板凳的正面視圖如圖所示，其中BA=CD，BC=20cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距離分別為40cm、8cm為使板凳兩腿底端A、D之間的距離為50cm，那么橫梁EF應為多長？（材質及其厚度等暫忽略不計）【答案】解：如圖，設BM與AD相交于點H，CN與AD相交于點G，由題意得，MH=8cm，BH=40cm，則BM=32cm，四邊形ABCD是等腰梯形，AD=50cm，BC=20cm，17.（2013年四川南充8分）如圖，等腰梯形ABCD中，ADBC，AD3，BC7，B60，P為BC邊上一點（不與B，C重合），過點P作APEB，PE交CD 于E.（1）求證:APBPEC;（2）若CE3,求BP的長.A B D CB PB E BP的長為：3或4。18. （2013年云南八地市9分）如圖，四邊形ABCD是等腰梯形，下底AB在x軸上，點D在y軸上，直線AC與y軸交于點E（0，1），點C的坐標為（2，3）（1）求A、D兩點的坐標；（2）求經過A、D、C三點的拋物線的函數關系式；（3）在y軸上是否在點P，使ACP是等腰三角形？若存在，請求出滿足條件的所有點P的坐標；若不存在，請說明理由，解得。拋物線的關系式為：y=x22x+3。19. （2013年浙江杭州8分）如圖，在等腰梯形ABCD中，ABDC，線段AG，BG分別交CD于點E，F，DE=CF求證：GAB是等腰三角形三、直角梯形問題：一腰垂直于底的梯形叫直角梯形。直角梯形的判定：有兩個內角是直角的梯形是直角梯形。直角梯形的性質：（1）直角梯形有兩個角是直角；（2）具備梯形的性質。典型例題：版權歸江蘇泰州錦元數學工作室鄒強，轉載必究1.（2013年廣東廣州3分）如圖，四邊形ABCD是梯形，ADBC，CA是BCD的平分線，且ABAC，AB=4，AD=6 ，則=【 】 A B C D 2.（2013年黑龍江龍東地區(qū)3分）如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，BCD=90，ABC=45，AD=CD，CE平分ACB交AB于點E，在BC上截取BF=AE，連接AF交CE于點G，連接DG交AC于點H，過點A作ANBC，垂足為N，AN交CE于點M則下列結論；CM=AF；CEAF；ABFDAH；GD平分AGC.其中正確的個數是【 】A1 B2 C3 D43.（2013年山東淄博4分）如圖，直角梯形ABCD中，ABCD，C=90，BDA=90，AB=a，BD=b，CD=c，BC=d，AD=e，則下列等式成立的是【 】A b2=ac Bb2=ce Cbe=ac Dbd=ae4.（2013年云南曲靖3分）如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，C=45，AD=1，BC=4，則CD= 5.（ 2013年廣西貴港7分）如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，AGCD交BC于點G，點E、F分別為AG、CD的中點，連接DE、FG（1）求證：四邊形DEGF是平行四邊形；（2）當點G是BC的中點時，求證：四邊形DEGF是菱形6.（ 2013年廣西玉林、防城港10分）如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，ADDC，點A關于對角線BD的對稱點F剛好落在腰DC上，連接AF交BD于點E，AF的延長線與BC的延長線交于點G，M，N分別是BG，DF的中點（1）求證：四邊形EMCN是矩形；（2）若AD=2，S梯形ABCD=，求矩形EMCN的長和寬7. （2013年黑龍江大慶9分）如圖所示，在直角梯形ABCD中，AB為垂直于底邊的腰，AD=1，BC=2，AB=3，點E為CD上異于C，D的一個動點，過點E作AB的垂線，垂足為F，ADE，AEB，BCE的面積分別為S1，S2，S3（1）設AF=x，試用x表示S1與S3的乘積S1S3，并求S1S3的最大值；（2）設=t，試用t表示EF的長；（3）在（2）的條件下，當t為何值時，S22=4S1S38.（2013年江蘇宿遷12分）如圖，在梯形ABCD中，ABDC，B=90，且AB=10，BC=6，CD=2點E從點B出發(fā)沿BC方向運動，過點E作EFAD交邊AB于點F將BEF沿EF所在的直線折疊得到GEF，直線FG、EG分別交AD于點M、N，當EG過點D時，點E即停止運動設BE=x，GEF與梯形ABCD的重疊部分的面積為y（1）證明AMF是等腰三角形；（2）當EG過點D時（如圖（3），求x的值；（3）將y表示成x的函數，并求y的最大值9. （2013年江蘇揚州12分）如圖1，在梯形ABCD中，ABCD，B=90，AB=2，CD=1，BC=m，P為線段BC上的一動點，且和B、C不重合，連接PA，過P作PEPA交CD所在直線于E設BP=x，CE=y（1）求y與x的