有限元復習大綱.doc

By大俠、鈺姐有限元復習大綱1.有限元程序設(shè)計的基本原理是什么？實際上就是最小勢能原理，不同之處，即技術(shù)核心所在就是采用分段離散的方式來組合出全場幾何域上的試函數(shù)，而不是直接尋找全場上的試函數(shù)。2.有限元程序的具體實現(xiàn)步驟？請以桿系結(jié)構(gòu)為例子進行闡述說明。Ansys步驟：1進入ANSYS；2設(shè)置計算類型；3選擇單元類型；4定義材料參數(shù)；5定義截面；6生成幾何模型；7網(wǎng)格劃分；8模型施加約束、荷載；9分析計算；10結(jié)果顯示；11退出系統(tǒng)。3.你所了解的有限元軟件都有哪些？ANSYS、ADINA、ABAQUS、MSC等4.計算力學涉及哪些領(lǐng)域？涉及領(lǐng)域：有限元方法、理論及應(yīng)用力學、應(yīng)用數(shù)值分析和計算機及信息科學。計算力學的應(yīng)用范圍擴大到固體力學、巖土力學、水力學、流體力學、生物力學等領(lǐng)域。5.解決計算固體力學的靜力問題都有哪些常用方法？在固體力學領(lǐng)域應(yīng)用最廣泛的數(shù)值方法是有限元法，其他數(shù)值方法還有有限差分法、加權(quán)殘量法、邊界元法、有限條法、自由網(wǎng)格法等 。6.為什么要采用有限元方法來解決工程問題？與常規(guī)解析方法有什么不同？運用有限元方法解決工程實際問題時，不管是簡單結(jié)構(gòu)或者是復雜的結(jié)構(gòu)，其求解過程是完全相同的，由于每個步驟都具有標準化和規(guī)范性的特征，可以在計算機上進行編程而自行實現(xiàn)，這是常規(guī)解析方法無法實現(xiàn)的。7.從物理模型到有限元求解結(jié)果，中間存在哪些可能誤差？有限元分析是用較簡單的問題代替復雜問題后再求解。它將求解域看成是由許多稱為有限元的小的互連子域組成，對每一單元假定一個合適的(較簡單的)近似解，然后推導求解這個域總的滿足條件(如結(jié)構(gòu)的平衡條件)，從而得到問題的解。這個解不是準確解，而是近似解，因為實際問題被較簡單的問題所代替。由于大多數(shù)實際問題難以得到準確解，而有限元不僅計算精度高，而且能適應(yīng)各種復雜形狀，因而成為行之有效的工程分析手段。按位移法求解的有限元法中，應(yīng)力解答的精度要小于位移解答精度的原因：應(yīng)用位移元進行有限元分析時，未知場函數(shù)是位移，從系統(tǒng)平衡方程解得的是各個結(jié)點的位移值。而應(yīng)變矩陣是插值函數(shù)對坐標進行求導后得到的矩陣。求導一次，插值多項式的次數(shù)就降低一次。所以通過導數(shù)運算得到的應(yīng)變和應(yīng)力精度較位移降低了，即利用以上兩式得到的應(yīng)變和應(yīng)力的解答可能具有較大的誤差。應(yīng)力解的誤差表現(xiàn)于：單元內(nèi)部不滿足平衡方程單元與單元的交界面上應(yīng)力一般不連續(xù)在力的邊界上一般不滿足力的邊界條件用非協(xié)調(diào)單元反而比協(xié)調(diào)單元精度高的原因：單元原是連續(xù)體的一部分，具有無限多個自由度。在假定了單元的位移函數(shù)后，自由度限制為只有以結(jié)點位移表示的有限自由度，即位移函數(shù)對單元的變形進行了約束和限制，使單元的剛度較實際連續(xù)體加強了，因此連續(xù)體的整體剛度隨之增加，離散后的較小。8.有限元分析的兩種典型力學模型是什么？我們目前常用的模型是哪類？集中參數(shù)模型（彈簧質(zhì)點體系）、基于連續(xù)力學模型（梁、桁架、板殼）9.桿系結(jié)構(gòu)包括哪些類型？哪些結(jié)構(gòu)可以采用桿系結(jié)構(gòu)模擬，請舉例說明。桿系結(jié)構(gòu)：梁、拱、框架、桁架等。它們常可離散成桿元和梁元，用桿件相互連接組成的幾何不變體系。如連續(xù)梁、桁架、剛架、拱、懸索結(jié)構(gòu)、網(wǎng)架結(jié)構(gòu)等。10.有限元法的基本思路？有限元方法的基本思路：將連續(xù)系統(tǒng)分割成有限個分區(qū)或單元，對每個單元提出一個近似解，再將所有單元按標準方法組合成一個與原有系統(tǒng)近似的系統(tǒng)。有限單元法解題步驟：結(jié)構(gòu)的離散化，即單元網(wǎng)格劃分；選擇位移模式；分析單元的力學特征，利用幾何方程導出結(jié)點位移表示的單元應(yīng)變，利用本構(gòu)方程建立單元內(nèi)任意一點的應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系，利用變分原理建立單元的平衡方程；集合所有單元的平衡方程，建立整個結(jié)構(gòu)的平衡方程（即總的平衡方程），包括將剛度集成總剛，以及將單元的等效結(jié)點力列陣集成總的荷載列陣；求解結(jié)點位移和計算單元應(yīng)力，包括邊界條件修正； 解方程，得到未知問題的節(jié)點值；后處理。11.掌握直接剛度法，掌握單元剛度矩陣合成整體剛度矩陣，掌握子塊搬家。12.能夠采用直接剛度法求解簡單的桁架結(jié)構(gòu)受力。作業(yè)一（去年考題）P99 P10513.掌握桁架單元的整體坐標和單元坐標的轉(zhuǎn)換過程。作業(yè)一（去年考題）P99 P10514.勢能，應(yīng)變能和外力功之間的關(guān)系是什么？勢能=應(yīng)變能-外力功15.求解數(shù)學模型的三種模式？強形式：偏微分方程+邊界條件；弱形式：加權(quán)余量法、伽遼金法；變分形式：瑞利-里茲法16.了解加權(quán)余量法的基本概念和實現(xiàn)流程，掌握伽遼金法（Galerkin加權(quán)殘值法）的計算。加權(quán)余量法求解流程：1.初步選取嘗試函數(shù)、構(gòu)造近似解2.結(jié)合問題的邊界條件對嘗試函數(shù)進行修正，以簡化求解3.寫出加權(quán)余數(shù)表達式（伽遼金法選取加權(quán)函數(shù)）4.令權(quán)余數(shù)表達式在各嘗試函數(shù)下為0，得到代數(shù)方程組，解之得到待定系數(shù)，從而確定近似解。伽遼金法（Galerkin加權(quán)殘值法）：作業(yè)二第1題，P56。17.了解變分原理的基本概念。變分命題的實質(zhì)是求泛函的極值問題。18.彈性力學對應(yīng)的變分原理是什么？我們常用的是哪一種？彈性力學對應(yīng)的變分原理是能量法，具體有最小勢能原理和最小余能原理，其中最小勢能原理用于位移法，是以位移作為基本的未知數(shù)；最小余能原理用于力法，以應(yīng)力作為基本未知數(shù)求解。目前常用的是最小勢能原理。19.什么是最小勢能原理，其表述？設(shè)有滿足位移邊界條件BC（u）的許可位移場，其中真實的位移場使物體的總勢能取最小值，即： 20.了解最小勢能原理的變分基礎(chǔ)，掌握桿系以及梁單元的變分原理及其推導過程P65（作業(yè)二）。1、桿單元，左邊固定，右邊施加一集中力考慮到許可位移場的性質(zhì)，它事先已滿足位移邊界條件，因此在位移邊界上，它的微分增量為零，即由變分方法，對泛函取極值，令 由于是變分增量，具有任意性，要使上式恒滿足，則有：2、受均布外荷載簡支梁的平面彎曲問題該問題的最小勢能原理，其數(shù)學變分提法為：設(shè)有滿足位移邊界條件的許可位移場函數(shù)，其中真實的一組使得以下泛函取極小值，即21.了解一般彈性問題的最小勢能原理的變分過程。P6722.求解彈性問題，采用微分形式和積分形式有哪些不同之處？最常用的是哪種形式？求解過程、函數(shù)的要求及形式、泛函形式、技術(shù)關(guān)鍵、難易程度、求解精度、方程的最后形式、方法的規(guī)范性、方法的通用性、解題范圍不同。由于工程問題非常復雜，要求所采用的方法具有較好的規(guī)范性、較低的難度、較低的函數(shù)連續(xù)性要求、較明確的物理概念、較好的通用性。而基于最小勢能原理的積分形式求解方法具有較明顯的綜合優(yōu)勢。23.虛功原理的概念？變形體中滿足平衡的力系在任意滿足協(xié)調(diào)條件的變形狀態(tài)上作的虛功等于零，即體系外力的虛功與內(nèi)力的虛功之和等于零，即。24.純彎梁的假設(shè)？當桿件受一對方向相反、作用面位于桿的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)的力偶作用時，桿件將發(fā)生彎曲變形，受彎桿件常簡稱為梁。梁發(fā)生純彎時，其橫截面上只有彎矩一種內(nèi)力。根據(jù)平截面假定，梁的橫截面在彎曲變形后仍保持為平面，且仍垂直于撓曲后的梁軸線。25.什么是鐵木辛柯梁，與經(jīng)典梁的區(qū)別？鐵木辛柯梁：位移撓度的一階導數(shù)連續(xù)，如果對撓度函數(shù)和截面轉(zhuǎn)角進行獨立插值，并且考慮剪切變形的影響，這樣所構(gòu)造出來的梁單元。普通梁未考慮剪切變形的影響，而鐵木辛柯梁考慮了剪切變形的影響，并對撓度函數(shù)進行獨立插值。鐵木辛柯梁的撓度值包含了彎曲和剪切引起的變形，且長細比越小，對剪切變形的影響越大。26.什么叫做剪切閉鎖，可以采用什么方法處理和避免？剪切閉鎖：是由于約束條件未能精確滿足（dw/dx-0），在梁很薄時導致不確當?shù)乜鋸埩思羟袘?yīng)變能項的量級而造成的現(xiàn)象。避免產(chǎn)生剪切閉鎖的方法：減縮積分、假設(shè)剪切應(yīng)變、替代插值函數(shù)。27.單元的剛度存儲有哪些方法？掌握半帶寬的計算。（去年考）全矩陣存貯法、對稱三角存貯法、半帶寬存貯法、一維壓縮存貯法。帶寬：反應(yīng)非零數(shù)據(jù)集中程度的一個指標。半帶寬存貯法 ：存貯上三角形（或下三角形）半帶寬以內(nèi)的元素。半寬帶的計算： 則整體剛度矩陣的最大半寬帶為 對于2D問題，對于3D問題，28.平面三節(jié)點三角形單元的特性？與四邊形相比，其精度如何？三節(jié)點三角形單元：是常應(yīng)變單元，應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣為常數(shù)，對于應(yīng)變梯度較大的區(qū)域，單元劃分應(yīng)適當密集，否則不能反映出應(yīng)變的真實變化，從而導致較大的誤差。而四節(jié)點矩形單元，其應(yīng)變和應(yīng)力為一次線性變化，這種單元的位移模式是完備和協(xié)調(diào)的，因而比三節(jié)點常應(yīng)變單元的精度高。29.三角形單元剛度矩陣的性質(zhì)，整體剛度矩陣的性質(zhì)。單元剛度矩陣k的性質(zhì)：單元剛度矩陣中每個元素有明確的物理意義例如，表示單元第j個自由度產(chǎn)生單位位移()，其他自由度固定（=0）時，在第i個自由度產(chǎn)生的節(jié)點力；它反應(yīng)了單元抵抗變形的能力。由于剛體位移不引起內(nèi)力，因此同一行或同一列的系數(shù)之和為零。每一行或每一列元素之和為零；對稱矩陣；奇異矩陣，即k的行列式為零；常量矩陣。整體剛度矩陣K的特性：對稱性；Kii 0；稀疏；帶狀矩陣；奇異；正定；各列相加等于零。30.掌握三角形單元剛度矩陣的計算，掌握三角形等效節(jié)點力的計算。（1）平面應(yīng)力三角形單元 （2）平面應(yīng)變?nèi)切螁卧?1.掌握總剛集成。32.掌握位移函數(shù)和形函數(shù)的概念，掌握二者之間的關(guān)系。位移函數(shù)u：是單元內(nèi)部位移變化的數(shù)學表達式，設(shè)為坐標的函數(shù)，由于有限元法采用能量原理進行單元分析，因而必須事先設(shè)定位移函數(shù)。但在有限元中，當單元劃分得足夠小時，把位移函數(shù)設(shè)定為簡單的多項式就可以獲得相當好的精確度。形函數(shù)N：是用單位結(jié)點位移分量來描述位移函數(shù)的插值函數(shù)。二者關(guān)系式： 33.選擇單元位移函數(shù)需要滿足的條件有哪些？選擇單元位移函數(shù)應(yīng)滿足一下條件：1）反映單元的剛體位移與常量應(yīng)變。2）相鄰單元在公共邊界上的位移連續(xù)，即單元之間不能重疊，也不能脫離34.什么是C0階和C1階問題？C0型單元：指在泛函（勢能）中位移函數(shù)出現(xiàn)的最高階導數(shù)是1階，在單元交界面上具有0階的連續(xù)導數(shù)，即節(jié)點上只要求位移連續(xù)。一般的桿單元、平面問題單元、空間問題單元都是C0型單元。C1型單元：指在泛函（勢能）中位移函數(shù)出現(xiàn)的最高階導數(shù)是2階，在單元交界面上具有1階的連續(xù)導數(shù)，即節(jié)點上除要求位移連續(xù)外，還要求1階導數(shù)連續(xù)。梁單元、板單元、殼單元都是C1型單元。35.掌握基于自然坐標的矩形單元形函數(shù)的推導。線性矩形單元，沿著 12線性矩形單元，沿著 43,沿著y軸平行線：同理：若原點坐標為，則有：36.了解基于面積坐標的三角形單元高階形式的推導。由面積坐標表示，則形函數(shù)公式為其中由圖可知37.了解serendipity單元形函數(shù)構(gòu)造。盡量在邊界上增加節(jié)點的單元叫做serendipity單元，P25738.可以采用哪些方法提高有限元的計算精度？不同單元連接時需要注意哪些問題？1、提高計算分析精度方法：h方法、p方法、r方法、自適應(yīng)方法及組合方法h-p adaptive。 h方法：不改變各單元上基底函數(shù)的配置情況，只通過逐步加密有限元網(wǎng)格來使結(jié)果向正確解逼近。 p方法：保持有限元的網(wǎng)格剖分固定不變，增加各單元上基底函數(shù)的階次，從而改善計算精度。 r方法：不改變單元類型和單元數(shù)目，通過移動節(jié)點來減少離散誤差，因而，單元的總自由度保持不變。自適應(yīng)方法：運用反饋原理，利用上一步的計算結(jié)果來修改有限元模型，其計算量較小，計算精度卻得到顯著提高。2、不同單元連接時需要注意：、單元之間不能沒有連接；、連接要協(xié)調(diào)，兩節(jié)點的邊不能與三節(jié)點的邊相連接；、邊節(jié)點不能與角節(jié)點連接。39.掌握等參單元的基本概念。等參變換：單元幾何形狀的變換和單元內(nèi)的場函數(shù)采用相同數(shù)目的節(jié)點參數(shù)及相同的插值函數(shù)進行變換。采用等參變換的單元稱為等參單元。等參元：幾何形狀函數(shù)矩陣N中的插值階次=位移形狀函數(shù)矩陣N中的插值階次。（超參元“”，亞參元“”）40.掌握雅可比矩陣的計算，掌握等參單元等效節(jié)點力的計算。作業(yè)6（去年考題）41.掌握等參變換的條件。對于兩個坐標系，即物理坐標系（x，y）和基準坐標系(,)，若要進行一對一的變換，其條件是雅可比行列式J0，等參單元的變換作為一種坐標變換也必須服從此條件。因為如果J=0，基準坐標系(,)中的面積微元將對應(yīng)于物理坐標系（x，y）的一個點，顯然這種變換不是一一對應(yīng)的。另外因為J=0，J-1將不成立，所以兩個之間偏導數(shù)的變換式也就不可能實現(xiàn)。42.如何確定高斯積分的階數(shù)？為何高斯積分點上的精度最高？通過數(shù)值分析和測試確定合理的高斯積分的階數(shù)。積分的階數(shù)對精確性、計算時間和消耗具有很大影響，選取合理的高斯積分通常基于：精確性和非奇異矩陣non-singularK在等參單元中，單元中階高斯積分點上的應(yīng)變或應(yīng)力近似解比其他部位具有較高的精度，因此我們稱階高斯積分點是等參單元中最佳應(yīng)力點。43.為何有時采用降階積分？掌握保證剛度矩陣為非奇異矩陣的最小高斯積分階數(shù)的計算。在以下2種情況下，采用低階規(guī)則（降階積分）：1）較少的點，較少的計算消耗2）低階規(guī)則可以軟化單元。高階單元給應(yīng)變能的貢獻可以在低階單元中消除，減輕了基于最小勢能原理得到的整體剛度（整體位移區(qū)域內(nèi)）。（n為高斯積分階數(shù)；N為系統(tǒng)獨立自由度；為單元數(shù)；d為應(yīng)變分量數(shù)，2D時為3，3D時為6）44.什么叫做零能模式？為什么會產(chǎn)生零能模式？由于采用減縮積分導致的使應(yīng)變能為零、而自身有別于剛體運動的位移模式稱為零能模式。既要使得Kse具有奇異性，以解決剪切自鎖問題，又要保證整體剛度矩陣K是非奇異的，以避免出現(xiàn)零能模式。45.常見的鋼筋混凝土有限元模擬鋼筋和混凝土的組合模式有哪些？各有哪些特點和適用情況？常用的鋼筋混凝土有限元組合模式：分離式模型、組合式模型、整體式模型。分離式模型：分離式鋼