高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第六章數(shù)列6.3等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和課件文新人教A版.ppt

6 3等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 2 知識(shí)梳理 雙基自測(cè) 2 1 自測(cè)點(diǎn)評(píng) 1 等比數(shù)列 1 等比數(shù)列的定義一般地 如果一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起 每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于 那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列 這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的 公比通常用字母表示 數(shù)學(xué) 2 同一個(gè)常數(shù) 公比 q q 0 3 知識(shí)梳理 雙基自測(cè) 2 1 自測(cè)點(diǎn)評(píng) 2 等比中項(xiàng)如果a G b成等比數(shù)列 那么G叫做a與b的等比中項(xiàng) 即 G是a與b的等比中項(xiàng) a G b成等比數(shù)列 3 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an 可推廣為an 4 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 G2 ab a1qn 1 amqn m 4 知識(shí)梳理 雙基自測(cè) 自測(cè)點(diǎn)評(píng) 2 1 2 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和的性質(zhì) 1 若k l m n k l m n N 則ak al 若m n 2k 則 2 相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列 即ak ak m ak 2m 仍是等比數(shù)列 公比為 3 若 an bn 項(xiàng)數(shù)相同 是等比數(shù)列 則 am an qm 5 知識(shí)梳理 雙基自測(cè) 自測(cè)點(diǎn)評(píng) 2 1 當(dāng)q 0時(shí) an 為擺動(dòng)數(shù)列 5 當(dāng)q 1或q 1 且n為奇數(shù)時(shí) Sn S2n Sn S3n S2n仍成等比數(shù)列 其公比為 遞增 遞減 常 qn 2 6 知識(shí)梳理 雙基自測(cè) 3 4 1 5 自測(cè)點(diǎn)評(píng) 1 下列結(jié)論正確的打 錯(cuò)誤的打 1 滿(mǎn)足an 1 qan n N q為常數(shù) 的數(shù)列 an 為等比數(shù)列 2 G為a b的等比中項(xiàng) G2 ab 3 等比數(shù)列中不存在數(shù)值為0的項(xiàng) 4 若 an 為等比數(shù)列 bn a2n 1 a2n 則數(shù)列 bn 也是等比數(shù)列 5 若數(shù)列 an 為等比數(shù)列 則數(shù)列 lnan 是等差數(shù)列 6 若數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式是an an 則其前n項(xiàng)和為 答案 7 知識(shí)梳理 雙基自測(cè) 自測(cè)點(diǎn)評(píng) 2 3 4 1 5 2 2016山東濰坊通考 中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作 算法統(tǒng)宗 中有這樣一個(gè)問(wèn)題 三百七十八里關(guān) 初行健步不為難 次日腳痛減一半 六朝才得到其關(guān) 要見(jiàn)次日行里數(shù) 請(qǐng)公仔細(xì)算相還 其大意為 有一個(gè)人走了378里路 第一天健步行走 從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半 走了6天后到達(dá)目的地 問(wèn)此人第4天和第5天共走了 A 60里B 48里C 36里D 24里 答案 8 知識(shí)梳理 雙基自測(cè) 自測(cè)點(diǎn)評(píng) 2 3 4 1 5 3 2016河南鄭州二模 已知 an 為等差數(shù)列 公差為1 且a5是a3與a11的等比中項(xiàng) Sn是 an 的前n項(xiàng)和 則S12的值為 A 21B 42C 63D 54 答案 9 知識(shí)梳理 雙基自測(cè) 自測(cè)點(diǎn)評(píng) 2 3 4 1 5 4 在數(shù)列 an 中 a1 2 an 1 2an Sn為 an 的前n項(xiàng)和 若Sn 126 則n 答案 10 知識(shí)梳理 雙基自測(cè) 自測(cè)點(diǎn)評(píng) 2 3 4 1 5 5 在等比數(shù)列 an 中 已知a5 a1 15 a4 a2 6 若公比q 1 則a3 答案 解析 11 知識(shí)梳理 雙基自測(cè) 自測(cè)點(diǎn)評(píng) 1 等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差可以為零 且等差中項(xiàng)唯一 而等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比均不為零 等比中項(xiàng)可以有兩個(gè)值 2 在等比數(shù)列中 由an 1 qan q 0 并不能立即判斷 an 為等比數(shù)列 還要驗(yàn)證a1 0 若am an ap aq 則m n p q不一定成立 因?yàn)槌?shù)列也是等比數(shù)列 但若m n p q 則有3 在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí) 如果不能確定q與1的關(guān)系 必須分q 1和q 1兩種情況討論 12 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 例1 1 設(shè) an 是由正數(shù)組成的等比數(shù)列 Sn為其前n項(xiàng)和 已知a2a4 1 S3 7 則S5等于 2 2016銀川一中一模 在等比數(shù)列 an 中 若a1 a4 3 則該數(shù)列前五項(xiàng)的積為 A 3B 3C 1D 1 3 在等比數(shù)列 an 中 a2 a5 18 a3 a6 9 an 1 則n 思考解決等比數(shù)列基本運(yùn)算問(wèn)題的常見(jiàn)思想方法有哪些 答案 13 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 14 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 3 a3 a6 q a2 a5 q a2 a5 18 a1q a1q4 18 a1 32 an a1qn 1 1 解得n 6 15 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 解題心得解決等比數(shù)列有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)思想方法 1 方程的思想 等比數(shù)列中有五個(gè)量a1 n q an Sn 一般可以 知三求二 通過(guò)列方程 組 求關(guān)鍵量a1和q 問(wèn)題可迎刃而解 2 分類(lèi)討論的思想 因?yàn)榈缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對(duì)公比q的分類(lèi)討論 所以當(dāng)某一參數(shù)為公比進(jìn)行求和時(shí) 就要對(duì)參數(shù)是否為1進(jìn)行分類(lèi)求和 3 整體思想 應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí) 常把qn或當(dāng)成整體進(jìn)行求解 16 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1 1 2016陜西漢中市質(zhì)檢二 已知 an 為等比數(shù)列 a1 3 且4a1 2a2 a3成等差數(shù)列 則a3 a5等于 A 189B 72C 60D 33 2 已知 an 是等差數(shù)列 公差d不為零 前n項(xiàng)和是Sn 若a3 a4 a8成等比數(shù)列 則 A a1d 0 dS4 0B a1d0 dS40 答案 17 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 解析 1 4a1 2a2 a3成等差數(shù)列 4a2 4a1 a3 即4a1q 4a1 a1q2 q2 4q 4 0 q 2 a3 a5 a1 q2 q4 3 4 16 60 2 設(shè) an 的首項(xiàng)為a1 公差為d 則a3 a1 2d a4 a1 3d a8 a1 7d a3 a4 a8成等比數(shù)列 a1 3d 2 a1 2d a1 7d 即3a1d 5d2 0 18 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 例2已知數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和Sn 1 an 其中 0 1 證明 an 是等比數(shù)列 并求其通項(xiàng)公式 思考判斷或證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列有哪些方法 19 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 20 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 解題心得1 證明數(shù)列 an 是等比數(shù)列常用的方法 2 等比中項(xiàng)法 證明 an 1 an 1 3 通項(xiàng)公式法 若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫(xiě)成an c qn 1 c q均是不為0的常數(shù) n N 則 an 是等比數(shù)列 2 若判斷一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列 則只要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可 21 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2在數(shù)列 an 中 Sn為數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 且Sn 1 kan k 0 且k 1 1 求an 22 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 23 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 考向一等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)的應(yīng)用例3 1 2016山西晉城高三期末 在由正數(shù)組成的等比數(shù)列 an 中 若a3a4a5 3 則sin log3a1 log3a2 log3a7 的值為 2 在正項(xiàng)等比數(shù)列 an 中 已知a1a2a3 4 a4a5a6 12 an 1anan 1 324 則n 思考經(jīng)常用等比數(shù)列的哪些性質(zhì)簡(jiǎn)化解題過(guò)程 答案 24 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 25 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 考向二等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用例4設(shè)等比數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 若S2 3 S4 15 則S6 A 31B 32C 63D 64思考本題應(yīng)用什么性質(zhì)求解比較簡(jiǎn)便 答案 解析 26 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 解題心得1 在解答等比數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題時(shí) 為簡(jiǎn)化解題過(guò)程常常利用等比數(shù)列項(xiàng)的如下性質(zhì) 1 通項(xiàng)公式的推廣 an amqn m 2 等比中項(xiàng)的推廣與變形 am an m n 2p 及ak al am an k l m n 2 對(duì)已知條件為等比數(shù)列的前幾項(xiàng)和 求其前多少項(xiàng)和的問(wèn)題 應(yīng)用公比不為 1的等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì) Sn S2n Sn S3n S2n仍成等比數(shù)列比較簡(jiǎn)便 27 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3 1 2016安徽 江南十校 聯(lián)考 已知在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 an 中 a5 a6 4 則數(shù)列 log2an 的前10項(xiàng)和為 A 5B 6C 10D 12 2 已知等比數(shù)列 an 的首項(xiàng)a1 1 其前n項(xiàng)和為Sn 若 則公比q 答案 解析 28 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 例5 2016天津 文18 已知 an 是等比數(shù)列 前n項(xiàng)和為Sn n N 且 1 求 an 的通項(xiàng)公式 2 若對(duì)任意的n N bn是log2an和log2an 1的等差中項(xiàng) 求數(shù)列 1 的前2n項(xiàng)和 思考解決等差數(shù)列 等比數(shù)列的綜合問(wèn)題的基本思路是怎樣的 29 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 30 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 解題心得等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合問(wèn)題 涉及的知識(shí)面很寬 題目的變化也很多 但是萬(wàn)變不離其宗 只要抓住基本量a1 d q 充分運(yùn)用方程 函數(shù) 轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法 合理調(diào)用相關(guān)知識(shí) 就不難解決這類(lèi)問(wèn)題 31 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4已知等差數(shù)列 an 滿(mǎn)足 a1 2 且a1 a2 a5成等比數(shù)列 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 2 記Sn為數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 是否存在正整數(shù)n 使得Sn 60n 800 若存在 求n的最小值 若不存在 說(shuō)明理由 解 1 設(shè)數(shù)列 an 的公差為d 依題意 2 2 d 2 4d成等比數(shù)列 故有 2 d 2 2 2 4d 化簡(jiǎn)得d2 4d 0 解得d 0或d 4 當(dāng)d 0時(shí) an 2 當(dāng)d 4時(shí) an 2 n 1 4 4n 2 從而得數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為an 2或an 4n 2 32 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 2 當(dāng)an 2時(shí) Sn 2n 顯然2n60n 800成立 當(dāng)an 4n 2時(shí) 即n2 30n 400 0 解得n 40或n60n 800成立 n的最小值為41 綜上 當(dāng)an 2時(shí) 不存在滿(mǎn)足題意的n 當(dāng)an 4n 2時(shí) 存在滿(mǎn)足題意的n 其最小值為41 33 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 1 等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類(lèi)基本問(wèn)題 數(shù)列中有五個(gè)量a1 n q an Sn 一般可以 知三求二 通過(guò)列方程 組 便可迎刃而解 2 判定等比數(shù)列的方法 1 定義法 q是不為零的常數(shù) n N an 是等比數(shù)列 2 通項(xiàng)公式法 an cqn 1 c q均是不為零的常數(shù) n N an 是等比數(shù)列 3 等比中項(xiàng)法 an an 2 an an 1 an 2 0 n N an 是等比數(shù)列 34 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 3 求解等比數(shù)列問(wèn)題常用的數(shù)學(xué)思想 1 方程思想 如求等比數(shù)列中的基本量 2 分類(lèi)討論思想 如求和時(shí)要分q 1和q 1兩種情況討論 判斷單調(diào)性時(shí)對(duì)a1與q分類(lèi)討論 1 在等比數(shù)列中 易忽視每一項(xiàng)與公比都不為0 2 求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí) 易忽略q 1這一特殊情形 35 審題答題指導(dǎo) 如何理解條件和轉(zhuǎn)化條件典例在等差數(shù)列 an 中 a3 a4 a5 84 a9 73 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 2 對(duì)任意m N 將數(shù)列 an 中落入?yún)^(qū)間 9m 92m 內(nèi)的個(gè)數(shù)記為bm 求數(shù)列 bm 的前m項(xiàng)和Sm 審題要點(diǎn) 1 題干中已知條件有三個(gè) 數(shù)列 an 是等差數(shù)列 和兩個(gè)等式 2 第 2 問(wèn)中所含條件可理解為 數(shù)列 an 的各項(xiàng)在所給區(qū)間的項(xiàng)數(shù)為bm 3 第 2 問(wèn)中條件的轉(zhuǎn)化方法 文字