利用初等函數(shù)連續(xù)性求極限

第二章 微積分學(xué)的創(chuàng)始人 德國數(shù)學(xué)家Leibniz 微分學(xué) 導(dǎo)數(shù) 描述函數(shù)變化快慢 微分 描述函數(shù)變化程度 從微觀上研究函數(shù) 導(dǎo)數(shù)與微分 英國數(shù)學(xué)家Newton 第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念 一 引例 1 變速直線運動的速度 設(shè)描述質(zhì)點運動位置的函數(shù)為 則到的平均速度為 而在時刻的瞬時速度為 2 曲線的切線斜率 曲線 在M點處的切線 割線MN的極限位置MT 割線MN的斜率 切線MT的斜率 割線MN的斜率的極限 兩個問題的共性 瞬時速度 切線斜率 所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限 為函數(shù)關(guān)于自變量的瞬時變化率的問題 二 導(dǎo)數(shù)的定義 定義1 設(shè)函數(shù) 在點 存在 并稱此極限為 記作 則稱函數(shù) 若 的某鄰域內(nèi)有定義 若上述極限不存在 在點不可導(dǎo) 若 也稱 在 就說函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)為無窮大 在時刻的瞬時速度 運動質(zhì)點的位置函數(shù) 曲線 在M點處的切線斜率 1 設(shè) 存在 則 2 已知 則 解 3 設(shè) 存在 且 求 所以 4 設(shè) 存在 求極限 解 原式 存在 在點 的某個右鄰域內(nèi) 則稱此極限值為 在處的右導(dǎo)數(shù) 記作 左 左 定義2 設(shè)函數(shù) 有定義 定理2 存在 不存在 單側(cè)導(dǎo)數(shù) 若極限 例如 在x 0處有 若函數(shù)在開區(qū)間I內(nèi)每點都可導(dǎo) 此時導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù) 記作 注意 就稱函數(shù)在I內(nèi)可導(dǎo) 若函數(shù) 與 則稱 在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo) 在閉區(qū)間上可導(dǎo) 且 例1 求函數(shù) C為常數(shù) 的導(dǎo)數(shù) 解 即 例2 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù) 解 即 說明 對一般冪函數(shù) 為常數(shù) 例如 四 初等函數(shù)的求導(dǎo)問題 1 常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) P94 四 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 若 曲線過 上升 若 曲線過 下降 若 切線與x軸平行 稱為駐點 若 切線與x軸垂直 切線方程 法線方程 例7 問曲線 哪一點有垂直切線 哪一點處 的切線與直線 平行 寫出其切線方程 解 令 得 對應(yīng) 則在點 1 1 1 1 處與直線 平行的切線方程分別為 即 故在原點 0 0 有垂直切線 五 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系 定理1 證 設(shè) 在點x處可導(dǎo) 存在 因此必有 其中 故 所以函數(shù) 在點x連續(xù) 注意 函數(shù)在點x連續(xù)未必可導(dǎo) 反例 在x 0處連續(xù) 但不可導(dǎo) 即 判斷可導(dǎo)性 不連續(xù) 一定不可導(dǎo) 直接用導(dǎo)數(shù)定義 可導(dǎo)必連續(xù) 但連續(xù)不一定可導(dǎo) 在求 設(shè) 其中 在 因 故 正確解法 時 下列做法是否正確 處連續(xù) 第二節(jié)函數(shù)的求導(dǎo)法則 二 反函數(shù)的求導(dǎo)法則 三 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 四 初等函數(shù)的求導(dǎo)問題 一 四則運算求導(dǎo)法則 一 四則運算求導(dǎo)法則 定理1 的和 差 積 商 除分母 為0的點外 都在點x可導(dǎo) 且 此法則可推廣到任意有限項的情形 推論 C為常數(shù) C為常數(shù) 例1 解 例2 求證 證 二 反函數(shù)的求導(dǎo)法則 定理2 y的某鄰域內(nèi)單調(diào)可導(dǎo) 例1 求反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 解 設(shè) 則 則 在點x可導(dǎo) 三 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 定理3 在點 可導(dǎo) 復(fù)合函數(shù) 且 在點x可導(dǎo) 例2 求下列導(dǎo)數(shù) 解 1 2 3 例如 關(guān)鍵 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu) 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo) 推廣 此法則可推廣到多個中間變量的情形 例3 設(shè) 求 解 例4 設(shè) 解 初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo) 且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù) 例7 求 解 關(guān)鍵