7-8-1+幾何計(jì)數(shù)(一).題庫版.doc

.7-8-1幾何計(jì)數(shù)（一）教學(xué)目標(biāo)1.掌握計(jì)數(shù)常用方法；2.熟記一些計(jì)數(shù)公式及其推導(dǎo)方法；3.根據(jù)不同題目靈活運(yùn)用計(jì)數(shù)方法進(jìn)行計(jì)數(shù)本講主要介紹了計(jì)數(shù)的常用方法枚舉法、標(biāo)數(shù)法、樹形圖法、插板法、對(duì)應(yīng)法等，并滲透分類計(jì)數(shù)和用容斥原理的計(jì)數(shù)思想知識(shí)要點(diǎn)一、幾何計(jì)數(shù)在幾何圖形中，有許多有趣的計(jì)數(shù)問題，如計(jì)算線段的條數(shù)，滿足某種條件的三角形的個(gè)數(shù)，若干個(gè)圖分平面所成的區(qū)域數(shù)等等這類問題看起來似乎沒有什么規(guī)律可循，但是通過認(rèn)真分析，還是可以找到一些處理方法的常用的方法有枚舉法、加法原理和乘法原理法以及遞推法等n條直線最多將平面分成 個(gè)部分；n個(gè)圓最多分平面的部分?jǐn)?shù)為n(n-1)+2；n個(gè)三角形將平面最多分成3n(n-1)+2部分；n個(gè)四邊形將平面最多分成4n(n-1)+2部分在其它計(jì)數(shù)問題中，也經(jīng)常用到枚舉法、加法原理和乘法原理法以及遞推法等解題時(shí)需要仔細(xì)審題、綜合所學(xué)知識(shí)點(diǎn)逐步求解排列問題不僅與參加排列的事物有關(guān)，而且與各事物所在的先后順序有關(guān)；組合問題與各事物所在的先后順序無關(guān)，只與這兩個(gè)組合中的元素有關(guān)二、幾何計(jì)數(shù)分類數(shù)線段：如果一條線段上有n+1個(gè)點(diǎn)(包括兩個(gè)端點(diǎn))（或含有n個(gè)“基本線段”），那么這n+1個(gè)點(diǎn)把這條線段一共分成的線段總數(shù)為n+(n-1)+2+1條數(shù)角：數(shù)角與數(shù)線段相似，線段圖形中的點(diǎn)類似于角圖形中的邊數(shù)三角形：可用數(shù)線段的方法數(shù)如右圖所示的三角形（對(duì)應(yīng)法），因?yàn)镈E上有15條線段，每條線段的兩端點(diǎn)與點(diǎn)A相連，可構(gòu)成一個(gè)三角形，共有15個(gè)三角形，同樣一邊在BC上的三角形也有15個(gè)，所以圖中共有30個(gè)三角形數(shù)長方形、平行四邊形和正方形：一般的，對(duì)于任意長方形（平行四邊形），若其橫邊上共有n條線段，縱邊上共有m條線段，則圖中共有長方形（平行四邊形）mn個(gè)例題精講模塊一、簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù)【例 1】 七個(gè)同樣的圓如右圖放置，它有_條對(duì)稱軸【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù) 【難度】1星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】2008年，迎春杯，六年級(jí)，初賽，試題【解析】 如圖：6條【答案】條【例 2】 下面的表情圖片中：，沒有對(duì)稱軸的個(gè)數(shù)為（ ）（A） 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù) 【難度】2星 【題型】選擇【關(guān)鍵詞】2009年，第14屆，華杯賽，初賽，第1題【解析】 通過觀察可知，第1，2，5這三張圖片是有對(duì)稱軸的，其他的5張圖片都沒有對(duì)稱軸，所以沒有對(duì)稱軸的個(gè)數(shù)為5，正確答案是C。【答案】【鞏固】 中心對(duì)稱圖形是：繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180后能和原來的圖形重合的圖形，軸對(duì)稱圖形是：沿著一條直線對(duì)折后兩部分完全重合的圖形，圖的4個(gè)圖形中，既是中心對(duì)稱圖形又是的軸對(duì)稱圖形的有 個(gè)。 【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù) 【難度】2星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】2009年，希望杯，第七屆，五年級(jí)，一試，第7題【解析】 共有3個(gè)，除第二個(gè)外其余都是。【答案】個(gè)【例 3】 兩條直線相交所成的銳角或直角稱為兩條直線的“夾角”?，F(xiàn)平面上有若干條直線，它們兩兩相交，并且“夾角”只能是30，60或90。問：至多有多少條直線？【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù) 【難度】1星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】2005年，第十屆，華杯賽，初賽，試題，第12題【解析】 至多有6條直線，如圖：【答案】條【例 4】 下圖是王超同學(xué)為環(huán)境保護(hù)專欄設(shè)計(jì)的一個(gè)報(bào)頭，用到基本的幾何圖形：線段、三角形、四邊形、圓、弧線，其中用得最多的一種圖形是_ ?！究键c(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù) 【難度】2星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】2003年，希望杯，第一屆，四年級(jí)，二試，第9題【解析】 觀察圖形發(fā)現(xiàn)是：線段最多【答案】線段最多【例 5】 下面的和圖中共有_個(gè)正方形 【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù) 【難度】2星 【題型】解答【解析】 在的圖中，邊長為1的正方形個(gè)；邊長為2的正方形個(gè)； 邊長為3的正方形個(gè)；邊長為4的正方形個(gè)；邊長為5的正方形有，總共有 (個(gè))正方形在的圖中邊長為1的正方形個(gè)；邊長為2的正方形個(gè)； 邊長為3的正方形個(gè)；邊長為4的正方形個(gè)；總共有 (個(gè))【答案】個(gè)【鞏固】 請(qǐng)看下圖，共有多少個(gè)正方形？ 【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù) 【難度】2星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】【解析】 假設(shè)最小的正方形邊長為1，則面積為1的正方形有9個(gè)；面積為4的正方形有4個(gè)；面積為16的正方形有1個(gè)因此共有9+4+1=14個(gè)【答案】個(gè)【鞏固】 如下圖是一個(gè)圍棋盤，它由橫豎各19條線組成問：圍棋盤上有多少個(gè)右圖中的小正方形一樣的正方形？ 【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù) 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】第二屆，華杯賽，初賽，試題，第15題【解析】 我們先在右圖小正方形中找一個(gè)代表點(diǎn)，例如右下角的點(diǎn)E作為代表點(diǎn)然后將小正方形按題意放在圍棋盤上，仔細(xì)觀察點(diǎn)E應(yīng)在什么地方通過觀察，不難發(fā)現(xiàn)：（1）點(diǎn)E只能在棋盤右下角的正方形ABCD（包括邊界）的格子點(diǎn)上（2）反過來，右下角正方形ABCD中的每一個(gè)格子點(diǎn)都可以作為小正方形的點(diǎn)E，也只能作為一個(gè)小正方形的點(diǎn)E這樣一來，就將“小正方形的個(gè)數(shù)”化為“正方形ABCD中的格子點(diǎn)個(gè)數(shù)”了很容易看出正方形ABCD中的格子點(diǎn)為1010100個(gè)答：共有100個(gè)?！敬鸢浮總€(gè)【例 6】 下圖中共有_個(gè)正方形【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù) 【難度】2星 【題型】解答【解析】 每個(gè)正方形中有：邊長為1的正方形有個(gè)；邊長為2的正方形有個(gè)； 邊長為3的正方形有個(gè)；邊長為4的正方形有個(gè)；總共有(個(gè))正方形現(xiàn)有5個(gè)的正方形，它們重疊部分是4個(gè)的正方形因此，圖中正方形的個(gè)數(shù)是【答案】【例 7】 圖中有_個(gè)正方形【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù) 【難度】2星 【題型】解答【解析】 的正方形1個(gè)；的正方形4個(gè)；的正方形5個(gè)；22的正方形4個(gè)；11的正方形13個(gè)共27個(gè)【答案】【鞏固】 數(shù)一數(shù)：圖中共有_ 個(gè)正方形。【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù) 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】2003年，希望杯，第一屆，四年級(jí)，二試，第10題【解析】 按面積從小到大4+17+9+4+1=35個(gè)【答案】個(gè)【鞏固】 圖中共有 個(gè)正方形?！究键c(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù) 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】2008年，第6屆，走美杯，4年級(jí)，決賽，第7題【解析】 設(shè)最小正方形的邊長為，那么邊長為的正方形有個(gè)，邊長為的正方形有個(gè)，邊長為的正方形有個(gè)，邊長為的正方形有個(gè)，邊長為的正方形有個(gè)，邊長為的正方形有個(gè)，所以總共有（個(gè)）?！敬鸢浮總€(gè)【例 8】 下圖中共有_個(gè)正方形?！究键c(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù) 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】2006年，迎春杯，中年級(jí)，初試，4題【解析】 分類計(jì)算邊長為1的正方形有12個(gè)；長為2的正方形有1個(gè)；邊長為3的正方形有4個(gè)；邊長為4的有1個(gè)；邊長為1個(gè)對(duì)角線的有1個(gè)；邊長為2個(gè)對(duì)角線的有1個(gè)；所以一共有：（個(gè)）【答案】個(gè)【鞏固】 圖1中共有 個(gè)正方形。【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù) 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】2004年，希望杯，第二屆，五年級(jí)，一試，第12題【解析】 5+4+1+5+4+1=20【答案】個(gè)【例 9】 圖中共有多少個(gè)長方形？【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù) 【難度】2星 【題型】解答【解析】 利用長方形的計(jì)數(shù)公式：橫邊上共有n條線段，縱邊上共有m條線段，則圖中共有長方形（平行四邊形）mn個(gè)所以有(4+3+2+1)（4+3+2+1）=100【答案】【例 10】 數(shù)一數(shù)，下邊圖形中有 個(gè)平行四邊形【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù) 【難度】1星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】2010年，迎春杯，四年級(jí)，初試，4題【解析】 本題是一道幾何計(jì)數(shù)問題,應(yīng)不漏不重地按規(guī)律去數(shù),每相鄰兩個(gè)三角形可組成一個(gè)平行四邊形,共計(jì)6個(gè).【答案】個(gè)【例 11】 圖5中有 個(gè)平行四邊形?！究键c(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù) 【難度】2星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】2004年，第2屆，希望杯，4年級(jí)，1試【解析】 12+8+3=23【答案】【例 12】 如右圖中共有7層小三角形，求白色小三角形的個(gè)數(shù)與黑色小三角形的個(gè)數(shù)之比。【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù) 【難度】2星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】第三屆，華杯賽，初賽，試題，第10題【解析】 白色小三角形個(gè)數(shù)12621，黑色小三角形個(gè)數(shù)1十2728，所以它們的比，白色與黑色小三角形個(gè)數(shù)之比是.【答案】【例 13】 如圖，由小正方形構(gòu)成的長方形網(wǎng)格中共有線段_條。【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù) 【難度】2 【題型】填空【關(guān)鍵詞】2008年，希望杯，第六屆，六年級(jí)，一試，第8題【解析】 橫的有5(1+2+3+4+5)=75條，豎的有6(1+2+3+4)=60條，一共135條【答案】條【例 14】 圖中線段的條數(shù)比三角形的個(gè)數(shù)多 。 【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù) 【難度】2星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】2008年，學(xué)而思杯，2年級(jí)，第6題【解析】 通過比較發(fā)現(xiàn)，線段的條數(shù)比三角形的個(gè)數(shù)多的正好是條斜邊?！敬鸢浮俊纠?15】 右圖中共有 個(gè)三角形?！究键c(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù) 【難度】2星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】2007年，第12屆，華杯賽，五年級(jí)，決賽，第6題【解析】 由1個(gè)，2個(gè)，3個(gè)，4個(gè)，6個(gè)，8個(gè)小三角形組成的三角形分別有：8，7，4，3，1，1個(gè)，也即一共有8+7+4+3+2=24個(gè)?！敬鸢浮?4【例 16】 如圖AB，CD，EF，MN互相平行，則圖中梯形個(gè)數(shù)與三角形個(gè)數(shù)的差是多少?【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù) 【難度】3星 【題型】解答【解析】 圖中共有三角形（1+2+3+4）4=40個(gè)梯形（1+2+3+4）（2+4）=60；所以梯形比三角形多60-40=20個(gè)【答案】個(gè)【例 17】 右邊三個(gè)圖中，都有一些三角形，在圖A中，有 _個(gè)；在圖B中，有_個(gè)；中圖C中，有_ 個(gè)?！究键c(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù) 【難度】2星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】2003年，第1屆，希望杯，4年級(jí)，1試【解析】 圖A 5個(gè); 圖B 8個(gè); 圖C 5個(gè)【例 18】 請(qǐng)看下圖，共有多少個(gè)三角形？【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù) 【難度】2星 【題型】填空【解析】 獨(dú)立的三角形有7個(gè)，由4個(gè)三角形組成的三角形有1個(gè)，加上最大的三角形，因此共有7+1+1=9個(gè)三角形【答案】【例 19】 右圖中共有 個(gè)三角形【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù) 【難度】2星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】2010年，迎春杯，三年級(jí)，初賽，2題【解析】 分類枚舉得到：邊長是個(gè)單位長度的有個(gè)三角形； 邊長是個(gè)單位長度的有個(gè)三角形 邊長是個(gè)單位長度的有個(gè)三角形共有（個(gè)）【答案】個(gè)【例 20】 右圖中三角形共有 個(gè)【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù) 【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】2009年，迎春杯，五年級(jí)，初賽，4題【解析】 不可分割的三角形有個(gè)由個(gè)不可分割的三角形構(gòu)成的三角形有個(gè)由個(gè)不可分割的三角形構(gòu)成的三角形有個(gè)由個(gè)不可分割的三角形構(gòu)成的三角形有個(gè)由個(gè)不可分割的三角形構(gòu)成的三角形有個(gè)一共有三角形個(gè)【答案】個(gè)【鞏固】 數(shù)一數(shù)圖中有_個(gè)三角形【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù) 【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】2007年，第5屆，走美杯，3年級(jí)，初賽，第14題【解析】 分類枚舉，只由一個(gè)三角形構(gòu)成的有6個(gè)，由兩個(gè)小三角形組合而成的三角形有3個(gè)。由三個(gè)小三角形組合而成的三角形有3個(gè)，所以一共有（個(gè)）?！敬鸢浮總€(gè)【鞏固】 數(shù)一數(shù)，圖中有_個(gè)三角形?！究键c(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù) 【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】2006年，希望杯，第四屆，五年級(jí)，二試，第9題【解析】 10個(gè)【答案】個(gè)【例 21】 圖中共有 個(gè)三角形。【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù) 【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】2009年，第7屆，希望杯，4年級(jí)，1試【解析】 從圖形所包含的小塊數(shù)的個(gè)數(shù)來數(shù)，包含一塊的三角形有10個(gè)，包含兩塊的三角形有10個(gè)，包含三塊的三角形有10個(gè)，包含五塊三角形有5個(gè)，所以共有35個(gè)?！敬鸢浮總€(gè)【例 22】 在圖中，一共有 10 個(gè)三角形， 40 條線段【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù) 【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】2010年，學(xué)而思杯，2年級(jí)，第3題【解析】 一共有10個(gè)三角形五角星的每個(gè)角上分別有1個(gè)小三角