三角函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用

三角函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用目錄摘要：1關(guān)鍵詞：11引言11.1三角函數(shù)起源22三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)22.1下列是關(guān)于三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式32.2兩角和、差的正弦、余弦、正切公式42.3二倍角的正弦、余弦、正切公式53.三角函數(shù)與生活53.1火箭飛升問(wèn)題53.2電纜鋪設(shè)問(wèn)題63.3救生員營(yíng)救問(wèn)題63.4足球射門問(wèn)題73.5食品包裝問(wèn)題83.6營(yíng)救區(qū)域規(guī)劃問(wèn)題83.7住宅問(wèn)題93.8最值問(wèn)題104 總結(jié)11AbstractTrigonometric function in the course of historical development of continuous improvement, has formula, rich thoughts, flexible, permeability is strong and so on。 The characteristic is not only an important part of scientific research, or in mathematics learning to key and difficult. In a word it in teaching and other fields has important role. In this paper, we will make a brief discussion about the application of trigonometric functions in solving practical problems.Keywords：mathematics trigonometric function Application of trigonometric function 摘要：三角函數(shù)在歷史的發(fā)展過(guò)程中不斷完善，具有公式多、思想豐富、變化靈活、滲透性強(qiáng)等特點(diǎn)，不僅是科學(xué)研究的重要組成部分，還是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中得重點(diǎn)難點(diǎn)，總之它在教學(xué)和其他領(lǐng)域中具有重要的作用。本文將對(duì)一些關(guān)于三角函數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用做簡(jiǎn)單的討論。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué) 三角函數(shù) 三角函數(shù)的應(yīng)用1引言三角函數(shù)是高中學(xué)習(xí)的一類基本的、重要的函數(shù)，他是描述客觀世界中周期性變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型。三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)重要的基礎(chǔ)知識(shí)之一，有著廣泛的實(shí)際背景和應(yīng)用空間三角函數(shù)包括三角函數(shù)的概念及關(guān)系、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、正弦型函數(shù)的圖象及應(yīng)用、三角恒等變換、解三角形它不但在生活中的很多方面都有很廣的應(yīng)用，如：潮汐和港口水深、氣象方面有氣溫的變化，天文學(xué)方面有白晝時(shí)間的變化，地理學(xué)方面有潮汐變化，物理方面有各種振動(dòng)波，生理方面有人的情緒、智力、體力等測(cè)量山高測(cè)量樹高,確定航海行程問(wèn)題,確定光照及房屋建造合理性等。在數(shù)學(xué)的很多問(wèn)題研究方面都有著廣泛的應(yīng)用。三角函數(shù)是對(duì)函數(shù)概念的深化，也是溝通代數(shù)，幾何，與平面向量等的一種工具。其中三角函數(shù)在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用也頗為廣泛。1.1三角函數(shù)起源“三角學(xué)”，來(lái)自拉丁文 ?，F(xiàn)代三角學(xué)一詞最初見於希臘文。最先使用這個(gè)詞的是皮蒂斯楚斯，他在1595年出版一本著作三角學(xué):解三角學(xué)的簡(jiǎn)明處理，創(chuàng)造了這個(gè)新詞。它是由(三角學(xué))及(測(cè)量)兩字構(gòu)成的，原意為三角形的測(cè)量，或者說(shuō)解三角形。當(dāng)時(shí)三角學(xué)還沒有形成一門獨(dú)立的科學(xué)，而是依附于天文學(xué)。因此解三角形構(gòu)成了古代三角學(xué)的實(shí)用基礎(chǔ)。后來(lái)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家專門的整理和研究三角學(xué)，但是他們并沒有創(chuàng)立起一門獨(dú)立的三角學(xué)。最后是德國(guó)數(shù)學(xué)家雷基奧蒙坦納斯，真正把三角學(xué)作為數(shù)學(xué)的一個(gè)獨(dú)立學(xué)科進(jìn)行闡釋。“正三角函數(shù)包含于最早被稱為三角學(xué)，“三角學(xué)”一詞來(lái)自拉丁文Trigonometry ，原意是三角形。與其他科學(xué)一樣，三角學(xué)也是解決實(shí)際問(wèn)題中發(fā)展起來(lái)的。近代三角學(xué)是從歐拉的無(wú)窮分析引論開始的。歐拉用小寫的拉丁字母a、b、c表示三角形的三邊，進(jìn)一步簡(jiǎn)化了三角公式。歐拉還引用sinz、cosz、tanz等表示z角的三角函數(shù)的簡(jiǎn)寫符號(hào)，這是三角函數(shù)的現(xiàn)代形式。 由于上述數(shù)學(xué)家及19世紀(jì)許多數(shù)學(xué)家的努力，形成了現(xiàn)代的三角函數(shù)符號(hào)與手拿教學(xué)的完整理論。2三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)在直角三角形ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對(duì)邊，C為直角。則定義以下運(yùn)算方式： sin A=A的對(duì)邊長(zhǎng)/斜邊長(zhǎng)，sin A記為A的正弦；sin Aa/c cos A=A的鄰邊長(zhǎng)/斜邊長(zhǎng)，cos A記為A的余弦；cos Ab/c tan A=A的對(duì)邊長(zhǎng)/A的鄰邊長(zhǎng)， tan Asin A/cos Aa/ b tan A記為A的正切； 當(dāng)A為銳角時(shí)sin A、cos A、tan A統(tǒng)稱為“銳角三角函數(shù)”。 Sin Acos B sin Bcos A 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，從點(diǎn)O引出一條射線OP，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，設(shè)OP=r，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y)。 該直角三角形中，對(duì)邊為y 臨邊為x 斜邊為r，運(yùn)算方法見表一表1基本函數(shù)英文表達(dá)式語(yǔ)言描述正弦函數(shù)Sinesin =y/r角的對(duì)邊比斜邊余弦函數(shù)Cosinecos =x/r角的鄰邊比斜邊 正切函數(shù)Tangenttan =y/x角的對(duì)邊比鄰邊余切函數(shù)Cotangentcot =x/y角的鄰邊比對(duì)邊正割函數(shù)Secantsec =r/x角的斜邊比鄰邊余割函數(shù)Cosecantcsc =r/y角的斜邊比對(duì)邊2.1下列是關(guān)于三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一：P（x，y），直線OP的反向延長(zhǎng)線OE交圓O于F點(diǎn)，則F點(diǎn)的坐標(biāo)為F(x, y)由此可得到下列公式：公式二：公式三：公式四： 公式五：由于 ，由公式四及公式五可得：公式六： 公式五、公式六可以概括如下： 的正弦（余弦）函數(shù)值，分別等于 的余弦（正弦）函數(shù)值，前面加上一個(gè)把 看成銳角的符號(hào)。2.2兩角和、差的正弦、余弦、正切公式 2.3二倍角的正弦、余弦、正切公式 3.三角函數(shù)與生活實(shí)際生活中，三角函數(shù)可以用來(lái)模擬很多周期現(xiàn)象，如物理中簡(jiǎn)諧振動(dòng)、生活中的潮汐現(xiàn)象，都可以建立三角函數(shù)的模型利用三角函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題；很多最值問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)來(lái)解決，房地產(chǎn)、航海、測(cè)量、國(guó)防中都能找到三角函數(shù)的影子。因而三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題應(yīng)用極廣，解決實(shí)際問(wèn)題有一定的優(yōu)越地位。3.1火箭飛升問(wèn)題一枚運(yùn)載火箭從地面處發(fā)射，當(dāng)火箭到達(dá)點(diǎn)時(shí)，從地面處的雷達(dá)站測(cè)得的距離是，仰角是后，火箭到達(dá)點(diǎn)，此時(shí)測(cè)得的距離是，仰角為。（1） 火箭到達(dá)點(diǎn)時(shí)距離發(fā)射點(diǎn)有多遠(yuǎn)？ （2）火箭從點(diǎn)到點(diǎn)的平均速度是多少？ 解：（1）在中，（km） 火箭到達(dá)點(diǎn)時(shí)距發(fā)射點(diǎn)約 （2） 在中， （3） 答：火箭從點(diǎn)到點(diǎn)的平均速度約為3.2電纜鋪設(shè)問(wèn)題ACDB如圖，一條河寬a 千米，兩岸各有一座城市的直線距離是b 千米，今需鋪設(shè)一條電纜連與，已知地下電纜的修建費(fèi)是c萬(wàn)元/千米，水下電纜的修建費(fèi)是d萬(wàn)元/千米，假定河岸是平行的直線（沒有彎曲），問(wèn)應(yīng)如何鋪設(shè)方可使總施工費(fèi)用達(dá)到最少？分析：設(shè)電纜為時(shí)費(fèi)用最少，因?yàn)楹訉挒槎ㄖ?，為了表示的長(zhǎng)，不妨設(shè)解：設(shè)， 總費(fèi)用為=問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最小值及相應(yīng)的值，而表示點(diǎn)與點(diǎn)斜率-ac倍，有圖可得在單位圓周上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)直線與圓弧切于點(diǎn)時(shí)，u取到最小值。然后通過(guò)三角函數(shù)的邊角關(guān)系求出直線的斜率，再求出此時(shí)的最小值u即可，可以根據(jù)實(shí)際問(wèn)題帶入求值。3.3救生員營(yíng)救問(wèn)題ABCD如圖，某邊防巡邏隊(duì)在一個(gè)海濱浴場(chǎng)岸邊的點(diǎn)處發(fā)現(xiàn)海中的點(diǎn)有人求救，便立即派三名救生員前去營(yíng)救1號(hào)救生員從點(diǎn)直接跳入海中；2號(hào)救生員沿岸邊（岸邊看成是直線）向前跑到點(diǎn)，再跳入海中；3號(hào)救生員沿岸邊向前跑300米到離點(diǎn)最近的點(diǎn)，再跳入海中救生員在岸上跑的速度都是6米/秒，在水中游泳的速度都是2米/秒若，三名救生員同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，請(qǐng)說(shuō)明誰(shuí)先到達(dá)營(yíng)救地點(diǎn)解：（1）在中， 在中， 1號(hào)救生員到達(dá)B點(diǎn)所用的時(shí)間為（秒）， 2號(hào)救生員到達(dá)B點(diǎn)所用的時(shí)間為（秒）， 3號(hào)救生員到達(dá)B點(diǎn)所用的時(shí)間為（秒） ，號(hào)救生員先到達(dá)營(yíng)救地點(diǎn)3.4足球射門問(wèn)題GEPCFBAD在訓(xùn)練課上，教練問(wèn)左前鋒，若你得球后，沿平行于邊線的直線助攻到前場(chǎng)（如圖，設(shè)球門寬米，球門柱到的距離米），那么你推進(jìn)到距底線多少米時(shí)，為射門的最佳位置？（即射門角最大時(shí)為射門的最佳位置）？請(qǐng)你幫助左前鋒回答上述問(wèn)題。分析：此題關(guān)鍵在于求解射門時(shí)最大射門角，此時(shí)就是最佳位置。若直接在非特殊中利用邊來(lái)求的最值，顯得比較繁瑣，注意到，而后兩者都在中，故可應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)求解。 解：如圖，設(shè)，, , =。若令，則=，當(dāng),即時(shí)，取到最小值，從而可知時(shí)，取得最大值，即時(shí)，有最大值。故當(dāng)點(diǎn)距底線為米時(shí)，為射門的最佳位置。依圖像知，在白天的915時(shí)這個(gè)時(shí)間段可供沖浪愛好者進(jìn)行沖浪運(yùn)動(dòng)。3.5食品包裝問(wèn)題某糖果廠為了拓寬其產(chǎn)品的銷售市場(chǎng)，決定對(duì)一種半徑為的糖果的外層包裝進(jìn)行設(shè)計(jì)。問(wèn)能否設(shè)計(jì)出一個(gè)封閉的圓錐形狀的外包裝，其體積最小和所用材料達(dá)到最??？如果能，如何設(shè)計(jì)這個(gè)圓錐的底面半徑和高？此時(shí)所用的外包裝體積是多少？用料是多少？分析：要求該圓錐的全面積和體積，需要知道它的下底面半徑、母線及高，這些變量之間的關(guān)系可以通過(guò)一個(gè)“角”把它們聯(lián)系起來(lái)。PABCO解：如圖，設(shè)OAC=，則OC=1，下底面半徑AC=R=cot,母線長(zhǎng)l=，高h(yuǎn)=Rtan2，（0，）。則=Rl+R2=R(+R)=R2(+1) =cot2(+1)=; V=R2h=R2 Rtg2=R3tg2=ctg3=當(dāng)且僅當(dāng)tg2=1tg2,即tg=時(shí)，能使和V同時(shí)取到最小值，此時(shí)R=，h=2，即當(dāng)圓錐的下底面半徑和高分別為、2時(shí)能同時(shí)滿足條件，外包裝用料是8，體積是。3.6營(yíng)救區(qū)域規(guī)劃問(wèn)題如圖，在南北方向直線延伸的湖岸上有一港口，一機(jī)艇以千米/小時(shí)的速度從出發(fā)，分鐘后因故障而停在湖里，已知機(jī)艇出發(fā)后先按直線前進(jìn)，以后又改成正東，但不知最初的方向和何時(shí)改變方向。如何去營(yíng)救，用圖示表示營(yíng)救的區(qū)域。分析：要表示出一個(gè)區(qū)域，一般可在直角坐標(biāo)系中表示，所以應(yīng)首先建立直角坐標(biāo)系；題中涉及到方向問(wèn)題，所以不妨用方向角作為變量來(lái)求解。解：以A為原點(diǎn)，過(guò)A的南北方向直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，如圖：設(shè)機(jī)艇的最初航向的方位角為，設(shè)OP方向前進(jìn)m到達(dá)點(diǎn)P，然后向東前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)Q發(fā)生故障而拋錨。則,令點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x,y），則 0，。機(jī)艇中途東拐，。又x+y=m(sin+cos)+n=msin(+)+nm+n=30,x+y30 滿足不等式組和的點(diǎn)Q（x,y）所在的區(qū)域，按對(duì)稱性知上圖陰影區(qū)域所示。3.7住宅問(wèn)題在某小區(qū)內(nèi)，有一塊地，這塊地有這樣三種情況：（1）是半徑為10米的半圓；（2）是半徑為10米，圓心角為的扇形；（3）是半徑為10米，圓心角為的扇形；在這塊地里種塊矩形的草皮，具體見下圖，應(yīng)如何設(shè)計(jì)，使得此面積最大？面積的最大值是多少。分析：第一種情況，如圖所示：連結(jié)，設(shè)，則， ADBFECO這時(shí) 此時(shí)，點(diǎn)A、D分別位于點(diǎn)O的左右方處時(shí)S取得最大值100。ADBFECO分析2：第二種情況，連結(jié)，設(shè)，則， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，ADBECO分析3：如圖所示：連結(jié)OB,設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，3.8最值問(wèn)題如圖，是一塊邊長(zhǎng)為的正方形地皮， 其中 是一半徑為的扇形小山，其余部分都是平地。一開發(fā)商想在平地上建一個(gè)，使矩形的一個(gè)頂點(diǎn)P在弧上，相鄰兩邊落在正方形的邊上，求矩形停車場(chǎng)面積的最大值和最小值。解：設(shè), ,延長(zhǎng)RP交AB于M，易得PQ=MB=ABAM=10090，RP=RMPM=10090，從而令 ，則，故當(dāng)時(shí)，有最小值；當(dāng)時(shí)，有最大值涉及到角與邊之間的相互關(guān)系，可以用邊為變量建立函數(shù)關(guān)系，求解過(guò)程一般可以利用三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，如正弦、余弦定理、數(shù)形結(jié)合、三角函數(shù)的有界性、基本不等式、函數(shù)單調(diào)性等。4 總結(jié)三角函數(shù)的發(fā)展已經(jīng)趨于完善，雖然一些不常用的函數(shù)接近舍棄，但其余的三角函數(shù)仍然在實(shí)際生活中發(fā)揮著重要的作用。國(guó)防、鐵路建設(shè)、房地產(chǎn)建設(shè)、競(jìng)技比賽以及安全問(wèn)題上都可以廣泛應(yīng)用，極大地方便了我們的日常生活。參考文獻(xiàn)1史彩