【數(shù)學(xué)競賽入門】高中數(shù)學(xué) 初等函數(shù)知識點(diǎn)及練習(xí)題(帶詳解).doc

函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)1 函數(shù)的圖象圖象變換主要有：平移變換、伸縮變換、對稱變換等。引理1 函數(shù)圖象對稱性的判定1） 若定義在上的函數(shù)滿足，則的圖象關(guān)于直線對稱。2） 若定義在上的函數(shù)滿足，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱。引理21） 函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱。2） 函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱。注：引理1中1）是對一個函數(shù)而言的，引理2中的兩個命題是對兩個函數(shù)而言的。證明的思路是一樣的，即任取一點(diǎn)求其對稱點(diǎn)驗證對稱點(diǎn)是否在函數(shù)圖象上最后由點(diǎn)的任意性得證。2 函數(shù)的值域（最值）的求法常用方法有：（1） 配方法：如果所給的函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的形式，一般采用配方法，但在求解時，要注意作為二次函數(shù)形式的自變量的取值范圍。（2） 判別式法：將所給函數(shù)看作是關(guān)于的方程。若是關(guān)于的一元二次方程，則可利用判別式大于等于0來求的取值范圍，但要注意取等號的問題。（3） 換元法：將一個復(fù)雜的函數(shù)中某個式子當(dāng)作整體，通過換元可化為我們熟知的表達(dá)式，這里要注意所換元的表達(dá)式的取值范圍。（4） 利用函數(shù)單調(diào)性法：如果所給的函數(shù)是熟悉的已知函數(shù)的形式，則可利用函數(shù)的單調(diào)性來示值域，但要注意其單調(diào)區(qū)間。（5） 反函數(shù)法：若某函數(shù)存在反函數(shù)，則可利用互為反函數(shù)兩個函數(shù)的定義域與值域互換，改求反函數(shù)的定義域。（6） 利用均值不等式法。（7） 構(gòu)造法：通過構(gòu)造相應(yīng)圖形，數(shù)形結(jié)合求出最值。3.函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用（1）函數(shù)與其反函數(shù)在各自的定義域上具有相同的單調(diào)性。（2）對于復(fù)合函數(shù)，若與的單調(diào)性相同，則是增函數(shù)；若與的單調(diào)性相反，則是減函數(shù)。（3）若與是定義在同一區(qū)間上的兩個函數(shù)， 當(dāng)與都是增（減）函數(shù)時，也必為增（減）函數(shù)； 當(dāng)與恒大于0，且與都是單調(diào)遞增（減）的，則也是單調(diào)遞增（減）的。（4）函數(shù)的單調(diào)性主要有以下應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域（或最值）；利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式；利用函數(shù)的單調(diào)性確定參數(shù)的取值范圍；利用函數(shù)的單調(diào)性解方程等等。4.函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用（1）函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于軸對稱。（2）定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的任何一個函數(shù)都可以表示成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和的形式。（3）若函數(shù)是奇函數(shù)，則其反函數(shù)也為奇函數(shù)，反之亦然。（4）函數(shù)的奇偶性主要有以下應(yīng)用：求函數(shù)值；求函數(shù)表達(dá)式；判斷函數(shù)的單調(diào)性：如果已知具有奇偶性的函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，由奇偶函數(shù)的對稱性可直接判斷在上的單調(diào)性。5函數(shù)的周期性對于函數(shù)，如果存在一個不為零的正數(shù)，使得當(dāng)取定義域中的每一個數(shù)時，總成立，那么稱是周期函數(shù)，稱為這個周期函數(shù)的周期。1） 若定義在上的函數(shù)滿足，則是周期函數(shù)，且周期為。2） 若定義在上的函數(shù)滿足，則是周期函數(shù)，且周期為。6函數(shù)的對稱與周期的關(guān)系：1） 若定義在上的函數(shù)既關(guān)于直線對稱，又關(guān)于直線對稱，且，則是周期函數(shù)，且是周期。2） 若定義在上的函數(shù)既關(guān)于直線對稱，又關(guān)于點(diǎn)對稱，且，則是周期函數(shù)，且是周期。鞏固練習(xí)：一選擇題1下面列舉的四個函數(shù)中，滿足性質(zhì)的函數(shù)是（ ）。A B C D2已知（為實數(shù)），且，則的值是（ ）。A B C D隨的值而定3設(shè)是定義在實數(shù)集上的函數(shù)，且滿足：（1）；（2）。則是（ ）。A偶函數(shù)，又是周期函數(shù) B偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)C奇函數(shù)，又是周期函數(shù) D奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)4對于一切實數(shù)、，函數(shù)滿足方程，且，那么，的整數(shù)的個數(shù)共有（ ）個。A B C D5函數(shù)（ ）。A是偶函數(shù)但不是奇函數(shù) B是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)C既是偶函數(shù)又是奇函數(shù) D既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)6若，則（ ）。A B C D二解答題1設(shè)。若是從到的一個映射，且滿足（1），對任何；（2），對任何。證明：存在一個實數(shù)，使得對任何均有。2函數(shù)定義在上，對定義域中任意數(shù)，在定義域中存在，使，且滿足以下三個條件： 若，或，則； （是正常數(shù)）； 當(dāng)時，。試證：（1）是奇函數(shù)； （2）是周期函數(shù)，并求出其周期； （3）在內(nèi)是減函數(shù)。3.若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，最大值為，求.4.函數(shù)在上連續(xù)，且對任意不同的，都有，求證：。答案提示：一、選擇題：1.C 2. C 3.C 4.B 5.A 6.B二、解答題：1. 分析：要證此問題，因是從到的映射，所以只要證明對任意均有即可。證明：由（1），（2）得令，任意。則即又，即關(guān)于對稱。由的對稱性可知，任意的（2）式變成即。再由的任意性可知，又有，于是。存在一個實數(shù)使得，對任意均有。2. 證明：（1）對任意，由條件知，在定義域內(nèi)存在，使，且，有所以為奇函數(shù)。（2）因是奇函數(shù)，故，于是，（）若則，則（）若則，可見仍有綜上所述，為周期函數(shù)，是一個周期。（3）先證在區(qū)間上是減函數(shù)。事實上，任取，滿足，則，又有，根據(jù)題設(shè)條件，有，且，故，知在區(qū)間上是減函數(shù)。當(dāng)時，又任取，滿足，則，有，所以，在內(nèi)也是減函數(shù)。雖然，由上述推導(dǎo)過程知，對于任意的，總有，即在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)。3. 解：由條件知函數(shù)是頂點(diǎn)為，對稱軸為，開口向下的拋物線，在區(qū)間上的最小值為，最大值為，對區(qū)間的位置分別討論如下：（1）若，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，故滿足，即，解得，區(qū)間。（2）若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，即。由，故，而，所以在時取最小值，即，解得。所以。（3）若，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，即，即，由于