河南省百校聯盟2016屆高三(上)質檢數學試卷(理科)(a卷)(解析版).doc

2015-2016學年河南省百校聯盟高三（上）質檢數學試卷（理科）（A卷）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1復數（i為虛數單位）的共軛復數為（）ABCD2已知集合A=y|y=log2x，0x1，B=y|y=（）x，x1，則（RA）B=（）A（0，）B（0，1）C（，1）D3（1+tan12）（1tan147）=（）A1B2C3D44已知斜四棱柱ABCDA1B1C1D1的各棱長均為2，A1AD=60，BAD=90，平面A1ADD1平面ABCD，則直線BD1與平面ABCD所成的角的正切值為（）ABCD5已知等差數列an的前n項和為Sn，S5=20，則6a4+3a5=（）A20B4C12D206在四邊形ABCD中，M為BD上靠近D的三等分點，且滿足=x+y，則實數x，y的值分別為（）A，B，C，D，7設Sn為等比數列an的前n項和，記命題甲：4a2a4=0，命題乙：S4=5S2，則命題甲成立是命題乙成立的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件8一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體外接球的體積為（）A1000B200CD9在平行四邊形ABCD中，AC=5，BD=4，則=（）ABCD10已知實數x，y滿足，的最大值為6，則實數a的值為（）A1B2C3D411如圖所示：一張正方形狀的黑色硬質板，剪去兩個一樣的小矩形得到一個“E”形的圖形，設小矩形的長、寬分別為a，b（2a10），剪去部分的面積為8，則+的最大值為（）A1BCD212已知定義域為R的函數g（x），當x（1，1時，g（x）=，且g（x+2）=g（x）對xR恒成立，若函數f（x）=g（x）m（x+1）在區(qū)間1，5內有6個零點，則實數m的取值范圍是（）A（，）B（，（，+）C，）D，二、填空題：本大題共4小題每小題5分13函數f（x）=xlnx在點（e，f（e）處的切線方程為14已知點（sin，an+）在直線l：y=x+2上，則數列an的前30項的和為15在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若2ccosB=2a+b，ABC的面積為S=c，則ab的最小值為16定義函數：G（x）=，下列結論正確的G（a）G（b）=G（a+b）；G（a）+G（b）2G（）；G（a+b）1+a+b；G（ab）=G（a）G（b）三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17（10分）（2015秋河南月考）已知a，b，c分別為ABC三個內角A，B，C的對邊， =（）求角B；（）求sinAcosC的取值范圍18（12分）（2015秋河南校級月考）已知Sn是數列an的前n項和，S2=2，且2Sn+nS1=nan（）求數列an的通項公式；（）設bn=+2，求數列bn的前n項和Tn19（12分）（2015秋滄州月考）設函數h（x）=x2mx，g（x）=lnx（）設f（t）=m（sinx+cosx）dx且f（2016）=2，若函數h（x）與g（x）在x=x0處的切線平行，求這兩切線間的距離；（）任意x0，不等式h（x）g（x）恒成立，求實數m的取值范圍20（12分）（2015秋滄州月考）如圖，在ABC中，AOBC于O，OB=2OA=2OC=4，點D，E，F分別為OA，OB，OC的中點，BD與AE相交于H，CD與AF相交于G，將ABO沿OA折起，使二面角BOAC為直二面角（）在底面BOC的邊BC上是否存在一點P，使得OPGH，若存在，請計算BP的長度；若不存在，請說明理由；（）求二面角AGHD的余弦值21（12分）（2015秋河南月考）已知f（x）是定義在（0，+）上的函數，且對任意正數x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且當x1時，f（x）0，f（3）=1（）集合A=x|f（x）f（x1）+2，B=x|f（）0，且滿足AB=，求正實數a的取值范圍；（）設ab，比較f（）與f（）的大小，并說明理由22（12分）（2015秋河南校級月考）設函數f（x）=ax（1）若a=0，求f（x）的單調增區(qū)間；（2）當b=1時，若存在x1，x2e，e2，使f（x1）f（x2）+a成立，求實數a的最小值（其中e為自然對數的底數）2015-2016學年河南省百校聯盟高三（上）質檢數學試卷（理科）（A卷）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1復數（i為虛數單位）的共軛復數為（）ABCD【考點】復數代數形式的乘除運算【專題】計算題；對應思想；定義法；數系的擴充和復數【分析】先對復數進行化簡運算，由共軛復數的定義可得答案【解答】解： =，復數（i為虛數單位）的共軛復數為，故選：B【點評】本題考查復數代數形式的乘法運算及復數的基本概念，屬基礎題2已知集合A=y|y=log2x，0x1，B=y|y=（）x，x1，則（RA）B=（）A（0，）B（0，1）C（，1）D【考點】交、并、補集的混合運算【專題】計算題；集合【分析】求出A中y的范圍確定出A，求出B中y的范圍確定出B，找出A補集與B的交集即可【解答】解：由A中y=log2x，0x1，得到y0，即A=（，0），RA=0，+），由B中y=（）x，x1，得到0y，即B=（0，），則（RA）B=（0，），故選：A【點評】此題考查了交、并、補集的混合運算，熟練掌握各自的定義是解本題的關鍵3（1+tan12）（1tan147）=（）A1B2C3D4【考點】兩角和與差的正切函數【專題】計算題；函數思想；轉化思想；三角函數的求值【分析】化簡表達式，利用兩角和的正切函數求解即可【解答】解：（1+tan12）（1tan147）=（1+tan12）（1+tan33）=1+tan12+tan33+tan12tan33=1+tan45（1tan12tan33）+tan12tan33=2故選：B【點評】本題考查兩角和的正切函數的應用，考查計算能力4已知斜四棱柱ABCDA1B1C1D1的各棱長均為2，A1AD=60，BAD=90，平面A1ADD1平面ABCD，則直線BD1與平面ABCD所成的角的正切值為（）ABCD【考點】直線與平面所成的角【專題】計算題；數形結合；轉化思想；綜合法；空間角【分析】延長AD，過D1作D1EAD于E，連結BE，說明D1BE為直線BD1與平面ABCD所成的角，然后求解即可【解答】解：延長AD，過D1作D1EAD于E，連結BE，因為平面A1ADD1平面ABCD，平面A1ADD1平面ABCD=AD，所以D1E平面ABCD，即BE為BE在平面ABCD內的射影，所以D1BE為直線BD1與平面ABCD所成的角，因為D1E=2sin60=，BE=，所以，tanD1BE=故選：C【點評】本題考查直線與平面所成角的求法，考查計算能力，空間想象能力5已知等差數列an的前n項和為Sn，S5=20，則6a4+3a5=（）A20B4C12D20【考點】等差數列的前n項和【專題】計算題；函數思想；轉化法；等差數列與等比數列【分析】求出數列的第三項，然后化簡所求的表達式，求解即可【解答】解：等差數列an的前n項和為Sn，公差為d，S5=20，可得a3=4，6a4+3a5=6（a3+d）+3（a3+2d）=3a3=12故選：C【點評】本題考查等差數列的前n項和的應用，考查計算能力6在四邊形ABCD中，M為BD上靠近D的三等分點，且滿足=x+y，則實數x，y的值分別為（）A，B，C，D，【考點】平面向量的基本定理及其意義【專題】計算題；數形結合；向量法；平面向量及應用【分析】可畫出圖形，根據向量加法、減法，及數乘的幾何意義便有，這樣根據平面向量基本定理便可得出x，y的值，從而找出正確選項【解答】解：如圖，=；又；故選：A【點評】考查向量加法、減法，以及數乘的幾何意義，以及向量的數乘運算，平面向量基本定理7設Sn為等比數列an的前n項和，記命題甲：4a2a4=0，命題乙：S4=5S2，則命題甲成立是命題乙成立的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷【專題】方程思想；等差數列與等比數列；簡易邏輯【分析】根據充分條件和必要條件的定義結合等比數列的性質和通項公式的計算進行判斷即可【解答】解：若4a2a4=0，則4a2=a4，即，解得q=2，當q=1時，S4=5S2，不成立，即q1，則由S4=5S2，得=5，即1q4=5（1q2），即（1q2）（1+q2）=5（1q2），則（1q2）（q24）0，即q2=1或q2=4，即q=2或q=1（舍）或q=1，則命題甲成立是命題乙成立的充分不必要條件，故選：A【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合等比數列的通項公式以及前n項和公式是解決本題的關鍵8一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體外接球的體積為（）A1000B200CD【考點】由三視圖求面積、體積【專題】數形結合；轉化法；空間位置關系與距離；立體幾何【分析】根據幾何體的三視圖，得出該幾何體是底面為直角三角形，高為10的直三棱柱，且三棱柱外接球的半徑是三棱柱對角線的一半，結合圖形即可求出它的體積【解答】解：根據幾何體的三視圖，得；該幾何體是底面為直角三角形，且直角邊長分別為6和8，高為10的直三棱柱，如圖所示；所以該三棱柱外接球的球心為A1B的中點，因為A1B=10，所以外接球的半徑為5，體積為=故選：D【點評】本題考查了空間幾何體三視圖的應用問題，也考查了空間想象能力的應用問題，是基礎題目9在平行四邊形ABCD中，AC=5，BD=4，則=（）ABCD【考點】平面向量數量積的運算【專題】計算題；轉化思想；向量法；平面向量及應用【分析】利用向量加法、減法的三角形法則把用向量表示，平方后作差得答案【解答】解： ，=，則=故選：C【點評】本題考查平面向量的數量積運算，訓練了向量加法、減法的三角形法則，是中檔題10已知實數x，y滿足，的最大值為6，則實數a的值為（）A1B2C3D4【考點】簡單線性規(guī)劃【專題】數形結合；換元法；不等式的解法及應用【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用分式函數的性質將條件進行化簡，結合一元二次函數的性質建立方程關系進行求解即可【解答】解： =（）22（）+3=（1）2+2，設k=，則k的幾何意義是區(qū)域內的點到原點的斜率，作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：由得，即A（1，1），則點A（1，1）在直線x+ya內，即a1+1=2，由得即B（1，a1），AC對應直線為y=x，斜率k=1，則k=的最大值為k=a1，則1ka1，（a2），則當=a1時，取得最大值為6，即（a11）2+2=6，即（a2）2=4，解得a2=2或a2=2，即a=4或a=0（舍），故選：D【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用分式函數的性質結合一元二次函數的單調性和最值的關系是解決本題的關鍵綜合性較強11如圖所示：一張正方形狀的黑色硬質板，剪去兩個一樣的小矩形得到一個“E”形的圖形，設小矩形的長、寬分別為a，b（2a10），剪去部分的面積為8，則+的最大值為（）A1BCD2【考點】基本不等式在最值問題中的應用【專題】應用題；轉化思想；綜合法；不等式的解法及應用【分析】由題意，2ab=8，b=，從而將問題轉化為關于a的函數，利用基本不等式，即可得出結論【解答】解：由題意，2ab=8，b=，2a10，+=+=1+=，當且僅當a=，即a=6時， +的最大值為，故選：C【點評】本題考查利用數學知識解決實際問題，考查基本不等式的運用，正確轉化是關鍵12已知定義域為R的函數g（x），當x（1，1時，g（x）=，且g（x+2）=g（x）對xR恒成立，若函數f（x）=g（x）m（x+1）在區(qū)間1，5內有6個零點，則實數m的取值范圍是（）A（，）B（，（，+）C，）D，【考點】函數零點的判定定理；分段函數的應用【專題】數形結合；轉化思想；數形結合法；函數的性質及應用【分析】若函數f（x）=g（x）m（x+1）在區(qū)間1，5內有6個零點，則y=g（x）與y=m（x+1）的圖象在區(qū)間1，5內有6個交點畫出函數的圖象，數形結合可得答案【解答】解：g（x+2）=g（x）對xR恒成立，函數g（x）的周期為2又當x（1，1時，g（x）=，函數g（x）的圖象如下圖所示：令函數f（x）=g（x）m（x+1）=0，則g（x）=m（x+1），若函數f（x）=g（x）m（x+1）在區(qū)間1，5內有6個零點，則y=g（x）與y=m（x+1）的圖象在區(qū)間1，5內有6個交點y=m（x+1）恒過點（1，0），過（1，0），（4，2）點的直線斜率為，過（1，0），（2，2）點的直線斜率為，根據圖象可得：x（，），故選：A【點評】本題考查的知識點是分段函數的應用，函數的零點，數形結合思想，難度中檔二、填空題：本大題共4小題每小題5分13函數f（x）=xlnx在點（e，f（e）處的切線方程為2xye=0【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程【專題】導數的綜合應用【分析】求出原函數的導函數，得到函數在x=e時的導數值，然后由直線方程的點斜式得答案【解答】解：由f（x）=xlnx，得f（x）=lnx+1，則f（e）=lne+1=2，又f（e）=e，函數f（x）=xlnx在點（e，f（e）處的切線方程為ye=2（xe），即2xye=0故答案為：2xye=0【點評】本題考查了利用導數研究過曲線上某點的切線方程，過曲線上某點的切線的斜率，就是函數在該點處的導數值，是基礎題14已知點（sin，an+）在直線l：y=x+2上，則數列an的前30項的和為59【考點】數列與解析幾何的綜合【專題】轉化思想；分析法；等差數列與等比數列；三角函數的求值【分析】把點（sin，an+）代入直線l，得an=2sin，由sin的取值是1，0，1，0的循環(huán)，能求出數列an的前30項和【解答】解：點（sin，an+）在直線l：y=x+2上，an=2sin，sin的最小正周期為4，取值是1，0，1，0的循環(huán)，數列an的前30項和：S30=302 7（1+01+0）+1+0=59故答案為：59【點評】本題考查數列的前30項和的求法，是中檔題，解題時要注意三角函數的周期性的合理運用15在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若2ccosB=2a+b，ABC的面積為S=c，則ab的最小值為【考點】余弦定理；正弦定理【專題】綜合題；解三角形【分析】由條件里用正弦定理、兩角和的正弦公式求得cosC=，C=根據ABC的面積為S=absinC=ab=c，求得c=3ab再由余弦定理化簡可得9a2b2=a2+b2+ab3ab，由此求得ab的最小值【解答】解：在ABC中，由條件用正弦定理可得2sinCcosB=2sinA+sinB=2sin（B+C）+sinB，即 2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB，2sinBcosC+sinB=0，cosC=，C=由于ABC的面積為S=absinC=ab=c，c=3ab再由余弦定理可得c2=a2+b22abcosC，整理可得9a2b2=a2+b2+ab3ab，當且僅當a=b時，取等號，ab，故答案為：【點評】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應用，誘導公式、兩角和的正弦公式、基本不等式的應用，屬于基礎題16定義函數：G（x）=，下列結論正確的G（a）G（b）=G（a+b）；G（a）+G（b）2G（）；G（a+b）1+a+b；G（ab）=G（a）G（b）【考點】分段函數的應用【專題】數形結合；數形結合法；函數的性質及應用【分析】畫出函數G（x）=的圖象，數形結合逐一分析四個結論的真假，可得答案【解答】解：G（x）=的圖象如下圖所示：當a0，b0時，G（a）G（b）=G（a+b）不成立，故錯誤；函數在y軸左側的圖象平等于x軸不具有凸凹性，函數在y軸右側為凹函數，故G（a）+G（b）2G（）恒成立，故正確；由圖可得：G（x）1+x恒成立，故G（a+b）1+a+b恒成立，故正確；當a，b2時，G（ab）=G（a）G（b）不成立，故錯誤；故正確的結論是：，故答案為：【點評】本題考查的知識點是分段函數的應用，數形結合思想，難度中檔三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17（10分）（2015秋河南月考）已知a，b，c分別為ABC三個內角A，B，C的對邊， =（）求角B；（）求sinAcosC的取值范圍【考點】正弦定理【專題】計算題；轉化思想；分析法；解三角形【分析】（）由正弦定理及已知可解得tanB=，結合范圍B（0，），即可求得B的值（）利用三角形內角和定理及兩角和的余弦函數公式化簡可得sinAcosC=sin（2A+）+，結合范圍0，利用正弦函數的圖象和性質即可得解取值范圍【解答】（本題滿分為10分）解：（）由正弦定理可得， =sinB=cosB，可得tanB=，B（0，），B=4分（）sinAcosC=sinAcos（A+B）=sinAcos（A+），sinAcos（A+）=sinA（cosAsinA）=sin（2A+）+，0，2A+，sinAcosC，10分【點評】本題主要考查了正弦定理，三角形內角和定理，正弦函數的圖象和性質及兩角和的余弦函數公式的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題18（12分）（2015秋河南校級月考）已知Sn是數列an的前n項和，S2=2，且2Sn+nS1=nan（）求數列an的通項公式；（）設bn=+2，求數列bn的前n項和Tn【考點】數列的求和；數列遞推式【專題】綜合題；轉化思想；綜合法；等差數列與等比數列【分析】（）由S2=2，且2Sn+nS1=nan，得a1=0，a2=2， =，n2，由此利用累乘法能求出an=2n2（）由an=2n2，得Sn=n2n，從而得到bn=+2=2（），由此利用裂項法能求出數列bn的前n項和【解答】解：（）Sn是數列an的前n項和，S2=2，且2Sn+nS1=nan，2a1+a1=a1，解得a1=0，a2=2，2Sn1+（n1）S1=（n1）an1，n2，得：2an=nan（n1）an1，n2，=，n2，an=2n2，當n=1時，上式成立，an=2n2（）an=2n2，Sn=2（1+2+3+n）2n=22n=n2n，bn=+2=+2=2=2（），數列bn的前n項和：Tn=2（1+）=2（1+）=3【點評】本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，則中檔題，解題時要認真審題，注意累乘法和裂項求和法的合理運用19（12分）（2015秋滄州月考）設函數h（x）=x2mx，g（x）=lnx（）設f（t）=m（sinx+cosx）dx且f（2016）=2，若函數h（x）與g（x）在x=x0處的切線平行，求這兩切線間的距離；（）任意x0，不等式h（x）g（x）恒成立，求實數m的取值范圍【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程；函數恒成立問題；定積分【專題】轉化思想；分析法；函數的性質及應用；導數的綜合應用【分析】（）運用定積分的運算法則和三角函數的特殊值，可得m=1，分別求出g（x），h（x）的導數，求得切線的斜率，切點，再由點斜式方程可得切線的方程，再由兩直線平行間的距離，計算即可得到所求；（）任意x0，不等式h（x）g（x）恒成立，即為x2mxlnx0，由x0，可得mx，設F（x）=x，求出導數，討論x1，0x1導數的符號，判斷單調性，可得最小值，即可得到m的范圍【解答】解：（）f（t）=m（sinx+cosx）dx=m（sinxcosx）|=m（sintcost）（10）=m（sintcost1），f（2016）=2，可得m（11）=2，解得m=1，則h（x）=x2+x的導數為h（x）=2x+1，g（x）=lnx的導數為g（x）=，由題意可得2x0+1=，解得x0=（1舍去），即有h（x）在x=處的切線的方程為y=2（x），即為2xy=0；g（x）在x=處的切線的方程為yln=2（x），即為2xy1ln2=0則兩切線間的距離為d=；（）任意x0，不等式h（x）g（x）恒成立，即為x2mxlnx0，由x0，可得mx，設F（x）=x，F（x）=1=，當x1時，F（x）0，F（x）遞增；當0x1時，F（x）0，F（x）遞減即有x=1處取得極小值，且為最小值1，則有m1，即m的取值范圍是（，1【點評】本題考查導數的運用：求切線的方程和單調區(qū)間、極值和最值，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數分離和構造函數運用單調性求最值，考查運算能力，屬于中檔題20（12分）（2015秋滄州月考）如圖，在ABC中，AOBC于O，OB=2OA=2OC=4，點D，E，F分別為OA，OB，OC的中點，BD與AE相交于H，CD與AF相交于G，將ABO沿OA折起，使二面角BOAC為直二面角（）在底面BOC的邊BC上是否存在一點P，使得OPGH，若存在，請計算BP的長度；若不存在，請說明理由；（）求二面角AGHD的余弦值【考點】用空間向量求平面間的夾角；直線與平面垂直的性質；二面角的平面角及求法【專題】數形結合；向量法；空間位置關系與距離；空間角；空間向量及應用【分析】（）根據條件便知H，G分別為AOB，AOC的重心，從而有GHEFBC，并可說明BOC為直角，過O作OPBC，從而有OPGH，而根據攝影定理便有，這樣即可求出BP的長度；（）根據上面知OB，OC，OA三直線兩兩垂直，分別以這三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，從而可以根據條件求出圖形上一些點的坐標，從而可以得到向量的坐標，可設平面AGH的法向量為，而根據即可求出，同樣的方法可以求出平面DGH的一個法向量，根據cos=即可得出二面角AGHD的余弦值【解答】解：（）H，G分別為AOB和AOC的重心；連接EF，則GHEF；由已知，EFBC，GHBC；OAOB，OAOC，二面角BOAC為直二面角；BOC為直角；在RtBOC中，過O作BC的垂線，垂足為P，OPBC，又BCGH；OPGH，則由攝影定理得：OB2=BPBC；（）分別以OB，OC，OA為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則：O（0，0，0），A（0，0，2），D（0，0，1），B（4，0，0），C（0，2，0），H（），；，；設為平面AGH的法向量，則：；取x1=1，則y1=2，z1=1，；設為平面DGH的法向量，則：；取x2=1，則；由圖可知二面角AGHD為銳角，該二面角的余弦值為【點評】考查三角形重心的概念及其性質，平行線分線段成比例，三角形中位線的性質，以及二面角的平面角的定義，直角三角形的攝影定理的內容，建立空間直角坐標系，利用空間向量解決二面角問題的方法，平面的法向量的概念及求法，能求空間點的坐標，根據點的坐標求向量的坐標，向量垂直的充要條件，以及向量夾角的余弦公式，清楚兩平面所成二面角的大小和兩平面的法向量夾角的關系21（12分）（2015秋河南月考）已知f（x）是定義在（0，+）上的函數，且對任意正數x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且當x1時，f（x）0，f（3）=1（）集合A=x|f（x）f（x1）+2，B=x|f（）0，且滿足AB=，求正實數a的取值范圍；（）設ab，比較f（）與f（）的大小，并說明理由【考點】抽象函數及其應用【專題】函數思想；構造法；函數的性質及應用；導數的綜合應用【分析】（）先證明函數的單調性，在分別求出集合A，B，根據AB=，求正實數a的取值范圍；（）首先判斷的正負情況，利用構造函數得出g（