高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) （基礎(chǔ)輕過(guò)關(guān)+考點(diǎn)巧突破）第五章 第6講 不等式選講課件 理 新人教版.ppt

第6講 不等式選講 1 常用的證明不等式的方法 1 比較法 比較法包括作差比較法和作商比較法 2 綜合法 利用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式 例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理 和不等式的性質(zhì) 推導(dǎo)出所要證明的不等式 3 分析法 證明不等式時(shí) 有時(shí)可以從求證的不等式出發(fā) 分析使這個(gè)不等式成立的充分條件 把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問(wèn)題 如果能夠肯定這些充分條件都已具備 那么就可以斷定原不等式成立 4 反證法 可以從正難則反的角度考慮 即要證明不等式a b 先假設(shè)a b 由題設(shè)及其它性質(zhì) 推出矛盾 從而肯定a b 凡涉及的證明不等式為否定命題 唯一性命題或含有 至多 至少 不存在 不可能 等詞語(yǔ)時(shí) 可以考慮用反證法 5 放縮法 要證明不等式a b成立 借助一個(gè)或多個(gè)中間變 量通過(guò)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小達(dá)到證明不等式的方法 2 絕對(duì)值不等式 1 含絕對(duì)值不等式的解法 設(shè)a 0 f x a f x a 2 理解絕對(duì)值的幾何意義 a b a b a b x 1 x 2 1 用反證法證明時(shí) 其中的結(jié)論 a b 應(yīng)假設(shè)為 a a b b a b c a b d a b d 2 2010年廣東廣州測(cè)試 若關(guān)于x的不等式 x a 1的解集 為 1 3 則實(shí)數(shù)a的值為 a 1 2 a 2 b 1 c 1 d 2 4 不等式 2x 3 1的解集為 5 2010年陜西 不等式 2x 1 3的解集為 3 不等式 2x 1 x 的解集為 考點(diǎn)1 比較法證明不等式 證明 a b 1 ax2 by2 ax by 2 ax2 by2 a2x2 2abxy b2y2 a 1 a x2 b 1 b y2 2abxy abx2 bay2 2abxy ab x y 2 又a b r ab x y 2 0 ax2 by2 ax by 2 比較法證不等式步驟可歸納為 第一步 作差并化簡(jiǎn) 其化簡(jiǎn)目標(biāo)應(yīng)是n個(gè)因式之積或完全 平方式或常數(shù)的形式 第二步 判斷差值與零的大小關(guān)系 必要時(shí)須進(jìn)行討論 第三步 得出結(jié)論 考點(diǎn)2綜合法證明不等式 利用某些已經(jīng)證明的不等式和不等式的性質(zhì)時(shí)要注意它們各自成立的條件 綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是 a b1 b2 bn b 及從已知條件a出發(fā) 逐步推演不等式成立的必要條件 推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論b 考點(diǎn)3分析法證明不等式 分析法證明不等式 就是 執(zhí)果索因 從所證的不等式出發(fā) 不斷用充分條件代替前面的不等式 直至使不等式成立的條件已具備 就斷定原不等式成立 當(dāng)證題不知從何入手時(shí) 有時(shí)可以運(yùn)用分析法而獲得解決 特別對(duì)于條件簡(jiǎn)單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往是行之有效的方法 用分析法論證 若a則b 這個(gè)命題的模式是 欲證命題b為真 只需證明命題b1為真 從而又只需證明命題b2為真 從而又 只需證明命題a為真 今已知a真 故b必真 簡(jiǎn)寫為 b b1 b2 bn a 考點(diǎn)4利用放縮法證明不等式時(shí)應(yīng)把握好度 要證a b 可適當(dāng)選擇一個(gè)c 使得c b 反之亦然 主要應(yīng)用于不等式兩邊差異較大時(shí)的證明 一般的放縮技巧有 分式放縮 固定分子 放縮分母 固定分母 放縮分子 多見于分式類不等式的證明 添舍放縮 視情況丟掉或增多一些項(xiàng)進(jìn)行放縮 多見于整 式或根式配方后需要放縮的不等式的證明 考點(diǎn)5 解絕對(duì)值不等式 a 0 2 b 0 a c 2 d 0 0 2011年廣東 不等式 x 1 x 3 0的解集是 1 解析 x 1 x 3 0 x 1 2 x 3 2 原不等式的解集為 1 0 考查含絕對(duì)值不等式的解法 對(duì)于含絕對(duì)值不等式主要是去掉絕對(duì)值后再求解 可以通過(guò)絕對(duì)值的意義 零點(diǎn)分區(qū)間法 平方等方法去掉絕對(duì)值 題 利用代值法最好 題 利用平方法最好 題 利用零點(diǎn)分區(qū)間法最好 考點(diǎn)6不等式 a b a b a b 的應(yīng)用 圖5 6 1 例6 設(shè)函數(shù)f x 2x 1 x 4 1 解不等式f x 2 2 求函數(shù)y f x 的最小值 對(duì)于比較復(fù)雜的含絕對(duì)值不等式的問(wèn)題 若用常規(guī)解法需分類討論 去掉絕對(duì)值符號(hào) 解法繁瑣 而靈活運(yùn)用絕對(duì)值的幾何意義 往往能簡(jiǎn)便 巧妙地將問(wèn)題解決 互動(dòng)探究 1 若不等式 x 4 x 3 a的解集為非空集合 則實(shí)數(shù)a的 取值范圍是 c a 3或a 1 a a 7 b 1 a 7 c a 1 d a 1 2 2010年廣東佛山檢測(cè) 若不等式 x a x 2 1對(duì)任意實(shí)數(shù)x均成立 則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 解析 設(shè)y x a x 2 則ymin a 2 因?yàn)椴坏仁?x a x 2 1對(duì) x r恒成立 所以 a 2 1 解得 a 3 或a 1 1 利用比較法證明不等式時(shí) 為了判斷作差后的符號(hào) 有時(shí)要把這個(gè)差變形為一個(gè)常數(shù) 或者變形為一個(gè)常數(shù)與一個(gè)或幾個(gè)平方和的形式 也可變形為幾個(gè)因式的積的形式 以便判斷其正負(fù) 2 放縮法證明不等式的理論依據(jù)主要有 1 不等式的傳遞性 2 等量加不等量為不等量 3 同分子 分母 異分母 分子 的兩個(gè)分式大小的比較 常用的放縮技巧有 舍掉 或加進(jìn) 一些項(xiàng) 在分式中放大或縮小分子或分母 應(yīng)用均值不等式進(jìn)行放縮 3 特別注意 對(duì)于含絕對(duì)值的不等式 從2010年高考開始由選考內(nèi)容改為必考內(nèi)容 成為這兩年高考的熱點(diǎn) 特別是2010年的壓軸題就是絕對(duì)值不等式 應(yīng)掌握絕對(duì)值不等式的解法和利用 a b a b a b 證明不等式的基本方法 4 含絕對(duì)值不等式的解法 等價(jià)轉(zhuǎn)化法 分類討論法及平方 法 5 理解絕對(duì)值的幾何意義 并了解下列不等式成立的幾何意 義及取等號(hào)的條件 a b a b a b r a b a c c b a b r 1 分析法和綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩種方法 分析法的證明過(guò)程 恰好是綜合法的分析 思考過(guò)程 即綜合法是分析法的逆過(guò)程 混淆了它們間的區(qū)別與聯(lián)系易產(chǎn)生思維障礙 要注意兩種證明方法的書寫格式