高一數(shù)學(xué)上期三角函數(shù)恒等變換知識(shí)歸納與整理.doc

三角函數(shù)恒等變換知識(shí)歸納與整理一、 基本公式1、 必須掌握的基本公式（1） 兩角和與差的三角函數(shù) 同名乘積的和與差 異名乘積的和與差 （2） 二倍角的三角函數(shù) 差點(diǎn)等于1 （3） 半角的三角函數(shù) 2、 理解記憶的其他公式（1） 積化和差同名相乘用余弦；異名相乘用正弦。留首項(xiàng)，用加法；剩尾項(xiàng)，用減法。（2） 和差化積正弦加減得異名；余弦加減得同名。加法得2倍首項(xiàng)；減法得2倍尾項(xiàng)。 （3） 萬能公式（全部用正切來表示另外的三角函數(shù)稱為萬能公式） （4） 輔助角公式 其中： 常見的幾種特殊輔助角公式： 二、 理解證明1、 兩個(gè)基本公式的證明的證明方法：在單位圓內(nèi)利用兩點(diǎn)間的距離公式證明。計(jì)算繁雜。在化簡(jiǎn)中注意使用“”的證明方法：在單位圓內(nèi)利用向量的數(shù)量積證明。計(jì)算簡(jiǎn)便。運(yùn)用向量數(shù)量積與兩向量的夾角關(guān)系來證明?；蛘撸涸趩挝粓A內(nèi)利用三角函數(shù)線證明。構(gòu)圖較難。利用三角函數(shù)線的加減、平移來代換。2、 由兩角和向差的演變方法：用代替，代入兩角和的公式即可推導(dǎo)出兩角的差公式。3、 由余弦向正弦的演變方法：用誘導(dǎo)公式把余弦轉(zhuǎn)化為正弦：，展開即可推導(dǎo)出正弦的兩角的和公式。4、 由正弦和余弦推導(dǎo)正切方法：利用：可以推導(dǎo)出正切的兩角和與差有的公式。5、 由兩角和推導(dǎo)二倍角方法：把換成代入兩角和的公式，即可得到二倍角的三角函數(shù)公式。6、 由余弦的二倍角推導(dǎo)半角方法：由余弦的二倍角公式：，把換成，即換成，通過移項(xiàng)，整理，開方即得正弦、余弦的半角公式。然后正弦除以余弦就可以得到正切的半角公式。另外：關(guān)于正切的另一個(gè)半角公式：可以通過：來理解。特別體會(huì)其演變過程中的轉(zhuǎn)化思想：分子、分母同時(shí)乘一個(gè)式子，向二倍角靠攏！然后再利用二倍角化簡(jiǎn)。7、 由兩角的和與差推導(dǎo)積化和差方法：整體思考法：兩角的和與差的和差必然會(huì)相互抵清一些項(xiàng)。相加會(huì)抵消尾項(xiàng)，相減會(huì)抵消首項(xiàng)。這與完全平方的和與差的加減類似。會(huì)抵消中間項(xiàng)，剩下首尾項(xiàng)的2倍；而會(huì)抵消首尾項(xiàng)，剩下中間項(xiàng)的2倍。8、 由兩角的和與差推導(dǎo)和差化積方法：對(duì)于兩角和差的和與差來說，化成積并不難。利用展開相抵原則即可得到。關(guān)鍵是角度的轉(zhuǎn)換問題。只有一個(gè)角無法展開。因此引入了一個(gè)合新的角度變換方法：把單角：和轉(zhuǎn)換成兩角的和與差：，。于時(shí)可以利用和差展開相抵原則得到和差化積的目的。9、 萬能公式的理解方法：利用二倍角公式轉(zhuǎn)換：，然后把分母“1”巧妙利用。，這種思路在三角函數(shù)的轉(zhuǎn)化中應(yīng)用非常廣泛。值得高度關(guān)注。，然后上下再同時(shí)除以即得。同樣利用二倍角公式轉(zhuǎn)化余弦：=再巧妙利用“1”的轉(zhuǎn)化：，上下同時(shí)除以即得。對(duì)于正切的萬能公式，直接利用二倍角公式即得。10、 輔助角公式的理解方法：輔助角公式實(shí)際上是兩角和與差的逆運(yùn)算。只是通過一些轉(zhuǎn)換化成：的形式而已。對(duì)于來說：要通過換元法來轉(zhuǎn)換，這種換元法叫三角換元法（以前的換元法叫代數(shù)換元法）。三角換元法是一種非常巧妙的換元方法，利用它能把兩個(gè)毫不相干的變量聯(lián)系起來，從而得到簡(jiǎn)化式子的作用。 分析思考過程如下：若直接換元：令cos，則怎樣用三角函數(shù)式表示呢？無法完成換元過程，因此：化不成的形式。若提公因式呢！假如公因式為，則得：，此時(shí)令，也無法用三角函數(shù)表示出，因而化不成：的形式。所以公因式必然與、同時(shí)有聯(lián)系。考慮到三角函數(shù)的產(chǎn)生環(huán)境，我們不妨將常數(shù)、放到直角三角形中來思考：若、分別是直角三角形的兩直角邊，得斜邊為：。這個(gè)常數(shù)顯然與、都有關(guān)系。假如公因式是，則化為：此時(shí)令（此時(shí)在直角三角形中，為鄰邊，為斜邊）所以：（此時(shí)在直角三角形中，為對(duì)邊，為斜邊）于是化為：根據(jù)兩角和的正弦公式得：=在直角三角形中：（對(duì)邊：鄰邊）當(dāng)然：若令，則則于是化為：=所以：=此時(shí)：（對(duì)邊：鄰邊）在此推導(dǎo)過程中，千萬注意：兩種演變中的是不同的（實(shí)質(zhì)上這兩個(gè)角互余）。不然就會(huì)產(chǎn)生以下錯(cuò)覺：。如果注意到兩個(gè)角互余，那么就會(huì)得到：下面來分析這個(gè)結(jié)論：右邊由誘導(dǎo)公式得：左邊所以結(jié)論成立。三、 實(shí)際運(yùn)用1、 給角求值：告訴已知角度，求出它的一些倍角、半角等的值。（1）求、的值方法1：直接用半角公式可求得：=方法2：由兩角的差求得：=同理可得：=方法3：用60與45的差角求得=同理可得：=方法4：利用直角三角形作圖計(jì)算15D30CBA如圖：直角三角形ABC中，A=30，C=90。延長(zhǎng)CA到D，使AD=AB。則易知：D=15設(shè)BC=1，則AB=2，AC=；CD=2+ =同理可求得cos15=方法5：利用誘導(dǎo)公式和倍角公式求解：利用誘導(dǎo)公式我們知道：的值，然后利用倍角公式可求得的值，再利用誘導(dǎo)公式就可以求出的值。=，=同理可得：=，=（2）求+的值方法1：分別求出的值： 和 的值：二者相加得：+=方法2：直接利用輔助角公式計(jì)算：+方法3：巧妙利用公式：和倍角公式+=方法4：運(yùn)用向量計(jì)算：將+寫成：+這樣可以看成兩個(gè)向量的數(shù)量積。如圖：在單位圓內(nèi)，設(shè)向量，向量。則向量和之間的夾角為4515=30。由向量數(shù)量積公式得：+=ABO（3）求的值分析：方法1：直接求的值有些困難。（當(dāng)然用半角可求）；可考慮能否巧妙轉(zhuǎn)化?？紤]到常數(shù)“1”的轉(zhuǎn)化。=1，原式可化為：方法2：代入得：原式=方法3：直接代入：得：方法4：代入并化簡(jiǎn)得：原式=（4）求的值分析：方法1：sin30是特殊角，關(guān)鍵是求sin15sin75的值。若用積化和差來計(jì)算，則有些復(fù)雜?？煽紤]把sin75轉(zhuǎn)化為cos15，然后利用倍角公式求得：=方法2：直接用積化和差計(jì)算：原式=（5）求的值分析：方法1：利用余弦的倍角公式化簡(jiǎn)：，則原式=+ 再利用知差化積與積化和差的公式得：方法2：利用規(guī)律：來分析。（6）求的值分析：方法1：把常數(shù)換為特殊的三角函數(shù)，則原式=2、 給值求值（1） 在ABC中，已知，求的值。 分析：在三角形ABC中，C=180=（2） 已知，求的值分析：用完全平方公式和平方關(guān)系、及倍角公式求值： 即：由倍角公式得：（3） 已知，求的值分析：由倍角公式求值：=（4） 已知，求的值分析：對(duì)于求值的代數(shù)式，要利用化弦的思想，把正切化成正弦與余弦的比值，再利用和角公式展開得：即： 所以即： 而，=3、 給值求角（1） 已知ABC中，求角 分析： =4、 證明（1） 已知、是三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角。求證： 分析：使用誘導(dǎo)公式證明：證明： 即：同理：即：（2） 已知，。求證：分析：先利用二元一次方程的思想分別求出和的式子，再利用倍角公式分析：證明：，由倍角公式得：（sin2）故：即：（3） 已知，求證：分析：同時(shí)展開和然后對(duì)比思考：證明：=（4） 在直角三角形ABC中，C為直角，、分別是A、B、C的對(duì)邊。求證：分析：顯然兩邊要平方，平方后再利用倍角公式轉(zhuǎn)換 2。，而。只需要證明：cos即可。證明：在RtABC中，由倍角公式得：=即： （5） 已知A、B、C是非直角三角形的三個(gè)內(nèi)角。求證： 分析：用化切為弦的思想分析： 證明：=而：而：=即：（6） 已知A、B、C是三角形的三個(gè)內(nèi)角。求證：分析：使用誘導(dǎo)公式、積化和差與和差化積公式證明：證明：=而：=而：sin（7） 已知，求證：分析：對(duì)欲證的式了轉(zhuǎn)化為弦來分析：再展開得：證明：對(duì)已知條件作如下變形： 即：移項(xiàng)得：即：兩邊同時(shí)除以：得： （8） 已知，且，求證：證明：由得： 展開得：移項(xiàng)得：即：5、 化簡(jiǎn)（1） 化簡(jiǎn)：分析：巧妙利用常數(shù)“1”及倍角公式湊成完全平方式來化簡(jiǎn)：=（2） 化簡(jiǎn)：分析：方法1：首先考慮“化弦”：即把正切化成正弦與余弦的比值，再通分，最后利用倍角公式及和差公式化簡(jiǎn)。=此題解法巧妙：先化切為弦，然后通分。最后向倍角公式靠攏，利用和角公式轉(zhuǎn)化。方法2：把常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，觀察括號(hào)內(nèi)的形式，利用正切的和角公式化簡(jiǎn)：=（3） 化簡(jiǎn)：分析：用正切的兩角和公式化簡(jiǎn)：（4） 化簡(jiǎn)：分析：利用平方關(guān)系和倒數(shù)關(guān)系求解： tan54=原式=（5） 化簡(jiǎn)：分析：方法1：將變形為：代入原式得：，同時(shí)約去得：方法2：同時(shí)除以tan()得：=（6） 化簡(jiǎn)：分析：利用倍角公式化簡(jiǎn)得：=（7） 化簡(jiǎn)：分析：通分后，利用倍角公式化簡(jiǎn)：=6、 證明不等式（1） 若，求證： 目前還無思路：7、 推導(dǎo)新公式（1）請(qǐng)推導(dǎo)出三倍角公式：和思路：=8、 與方程的綜合（1） 設(shè)和是方程的兩個(gè)根。 求的值 求證：分析：由韋達(dá)定理可得：，代入正切的兩角和公式得： 即：9、 與函數(shù)的綜合（1） 求函數(shù)的值域分析：利用倍角公式得：的值域?yàn)?函數(shù)的值域?yàn)椋?） 已知函數(shù)，。問： 函數(shù)的最小正周期是什么？ 函數(shù)在什么區(qū)間上是增函數(shù)？ 函數(shù)的圖象可以由函數(shù)，的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？分析：可化為：=它的最小正周期：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：即：當(dāng)，函數(shù)是增函數(shù)；函數(shù)可以看作是函數(shù)向左平移個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到的圖象。10、 與幾何圖形的綜合（1） 如圖，三個(gè)相同的正方形相接拼成一個(gè)長(zhǎng)方形。求證：。ABCD 分析：實(shí)質(zhì)就是求證：tan證明：觀圖可得： tan又 說明：如果用初中的知識(shí)來分析：則可通過相似三角形來證明。即ABDCAD，（三邊對(duì)應(yīng)成比例）DBAC（2）如圖：在三角形ABC中，ADBC，垂足為D，且BD：DC：AD=2：3：6。求BAC的度數(shù)分析：此題也是利用角度的和來分析，觀圖可知： tan 又 說明：若用初中知識(shí)來解答，則過C作CEAB，利用相似列出比例來解答。計(jì)算十分繁雜?。?）如圖正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)P、Q在邊BC、CD上。當(dāng)三角形PQC的周長(zhǎng)為2時(shí)，求PAQ的大小。ABCDPQ分析：可計(jì)算來分析。設(shè)QD=，PB=；則CQ=1，CP=1。CQ+CP+PQ=2PQ= 由勾股定理得：整理得：由圖可得：，=又，故PAQ=說明：若用初中幾何知識(shí)來解答，由旋轉(zhuǎn)QAD，使AD和AB邊重合。證明兩個(gè)三角形全等。也很簡(jiǎn)單。11、 生活中的實(shí)際運(yùn)用（1） 要將半徑為的半圓形木料截成矩形截面的木料，怎樣截取才能使矩形截面面積最大。分析：顯然矩形面積=可化簡(jiǎn)為：的最大值為1，當(dāng)時(shí)，矩形面積最大，最大