高考數(shù)學一輪復習必備：第115118課時課題：數(shù)列問題的題型及方法.docVIP

第115118課時課題：數(shù)列問題的題型與方法課題：數(shù)列問題的題型與方法一復習目標：1 能靈活地運用等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項公式、前n項和公式解題；2能熟練地求一些特殊數(shù)列的通項和前項的和；3使學生系統(tǒng)掌握解等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合題的規(guī)律，深化數(shù)學思想方法在解題實踐中的指導作用，靈活地運用數(shù)列知識和方法解決數(shù)學和實際生活中的有關問題；4通過解決探索性問題，進一步培養(yǎng)學生閱讀理解和創(chuàng)新能力，綜合運用數(shù)學思想方法分析問題與解決問題的能力5在解綜合題的實踐中加深對基礎知識、基本技能和基本數(shù)學思想方法的認識，溝通各類知識的聯(lián)系，形成更完整的知識網(wǎng)絡，提高分析問題和解決問題的能力6培養(yǎng)學生善于分析題意，富于聯(lián)想，以適應新的背景，新的設問方式，提高學生用函數(shù)的思想、方程的思想研究數(shù)列問題的自覺性、培養(yǎng)學生主動探索的精神和科學理性的思維方法二考試要求：1理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項公式的意義，了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項。2理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式，并能運用公式解答簡單的問題。3理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，并能運用公式解決簡單的問題。4數(shù)列是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，又是學習高等數(shù)學的基礎，所以在高考中占有重要的地位。高考對本章的考查比較全面，等差數(shù)列，等比數(shù)列的考查每年都不會遺漏。解答題多為中等以上難度的試題，突出考查考生的思維能力，解決問題的能力，試題大多有較好的區(qū)分度。有關數(shù)列的試題經(jīng)常是綜合題，經(jīng)常把數(shù)列知識和指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和不等式的知識綜合起來，試題也常把等差數(shù)列、等比數(shù)列，求極限和數(shù)學歸納法綜合在一起。探索性問題是高考的熱點，常在數(shù)列解答題中出現(xiàn)。本章中還蘊含著豐富的數(shù)學思想，在主觀題中著重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等重要思想，以及配方法、換元法、待定系數(shù)法等基本數(shù)學方法。應用問題考查的重點是現(xiàn)實客觀事物的數(shù)學化，常需構造數(shù)列模型，將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題來解決。三教學過程：（）基礎知識詳析1可以列表復習等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、有關公式和性質(zhì).2判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：(1)定義法：對于n2的任意自然數(shù),驗證為同一常數(shù)。(2)通項公式法：若=+（n-1）d=+（n-k）d，則為等差數(shù)列；若，則為等比數(shù)列。(3)中項公式法：驗證都成立。3.在等差數(shù)列中,有關Sn的最值問題常用鄰項變號法求解：(1)當,d0時，滿足的項數(shù)m使得取最小值。在解含絕對值的數(shù)列最值問題時,注意轉(zhuǎn)化思想的應用。4.數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。5注意事項：證明數(shù)列是等差或等比數(shù)列常用定義，即通過證明或而得。在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關問題時，“基本量法”是常用的方法，但有時靈活地運用性質(zhì)，可使運算簡便。對于一般數(shù)列的問題常轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求解。注意一些特殊數(shù)列的求和方法。注意與之間關系的轉(zhuǎn)化。如：= ，=數(shù)列極限的綜合題形式多樣，解題思路靈活，但萬變不離其宗，就是離不開數(shù)列極限的概念和性質(zhì)，離不開數(shù)學思想方法，只要能把握這兩方面，就會迅速打通解題思路解綜合題的成敗在于審清題目，弄懂來龍去脈，透過給定信息的表象，抓住問題的本質(zhì)，揭示問題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件，明確解題方向，形成解題策略通過解題后的反思，找準自己的問題，總結成功的經(jīng)驗，吸取失敗的教訓，增強解綜合題的信心和勇氣，提高分析問題和解決問題的能力（）2004年高考數(shù)學數(shù)列綜合題選1（2004年高考數(shù)學北京卷，18）函數(shù)是定義在0，1上的增函數(shù)，滿足且，在每個區(qū)間（1，2）上，的圖象都是斜率為同一常數(shù)k的直線的一部分。 （I）求及，的值，并歸納出的表達式;（II）設直線，x軸及的圖象圍成的矩形的面積為（1，2），記，求的表達式，并寫出其定義域和最小值。分析：本小題主要考查函數(shù)、數(shù)列等基本知識，考查分析問題和解決問題的能力. 解：（I）由，得由及，得.同理，. 歸納得. （II）當時, . 所以是首項為，公比為的等比數(shù)列, 所以. 的定義域為1，當時取得最小值.2（2004年高考數(shù)學北京卷，20）給定有限個正數(shù)滿足條件T：每個數(shù)都不大于50且總和L1275.現(xiàn)將這些數(shù)按下列要求進行分組，每組數(shù)之和不大于150且分組的步驟是： 首先，從這些數(shù)中選擇這樣一些數(shù)構成第一組，使得150與這組數(shù)之和的差與所有可能的其他選擇相比是最小的，稱為第一組余差； 然后，在去掉已選入第一組的數(shù)后，對余下的數(shù)按第一組的選擇方式構成第二組，這時的余差為；如此繼續(xù)構成第三組（余差為）、第四組（余差為）、，直至第N組（余差為）把這些數(shù)全部分完為止. （I）判斷的大小關系，并指出除第N組外的每組至少含有幾個數(shù); （II）當構成第n（nN）組后，指出余下的每個數(shù)與的大小關系，并證明; （III）對任何滿足條件T的有限個正數(shù)，證明：.分析：本小題主要考查不等式的證明等基本知識，考查邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力. 解：（I）。除第N組外的每組至少含有個數(shù) （II）當?shù)趎組形成后，因為，所以還有數(shù)沒分完，這時余下的每個數(shù)必大于余差，余下數(shù)之和也大于第n組的余差，即 , 由此可得. 因為，所以. （III）用反證法證明結論，假設，即第11組形成后，還有數(shù)沒分完，由（I）和（II）可知，余下的每個數(shù)都大于第11組的余差，且, 故余下的每個數(shù) . （*） 因為第11組數(shù)中至少含有3個數(shù)，所以第11組數(shù)之和大于. 此時第11組的余差這與（*）式中矛盾，所以.3（2004年高考數(shù)學重慶卷，22）設數(shù)列滿足（1）證明對一切正整數(shù)n 成立；（2）令,判斷的大小，并說明理由。（I）證法一：當不等式成立.綜上由數(shù)學歸納法可知，對一切正整數(shù)成立.證法二：當n=1時，.結論成立.假設n=k時結論成立，即 當?shù)膯卧鲂院蜌w納假設有所以當n=k+1時，結論成立.因此，對一切正整數(shù)n均成立.證法三：由遞推公式得 上述各式相加并化簡得 （II）解法一： 解法二：I解法三： 故.4（2004年高考數(shù)學江蘇卷，20）設無窮等差數(shù)列an的前n項和為Sn.()若首項，公差，求滿足的正整數(shù)k；()求所有的無窮等差數(shù)列an，使得對于一切正整數(shù)k都有成立.分析：本小題主要考查數(shù)列的基本知識，以及運用數(shù)學知識分析和解決問題的能力.解：（I）當時， 由，即 又.（II）設數(shù)列an的公差為d，則在中分別取k=1,2,得（1）（2）由（1）得 當若成立若 故所得數(shù)列不符合題意.當若若綜上，共有3個滿足條件的無窮等差數(shù)列：an : an=0，即0，0，0，；an : an=1，即1，1，1，；an : an=2n1，即1，3，5，（）范例分析例1已知數(shù)列a是公差d0的等差數(shù)列，其前n項和為S(2)過點Q(1，a)，Q(2，a)作直線12，設l與l的夾角為，證明：(1)因為等差數(shù)列a的公差d0，所以Kpp是常數(shù)(k=2，3，n)(2)直線l的方程為y-a=d(x-1)，直線l的斜率為d例2已知數(shù)列中，是其前項和，并且，設數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；設數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；求數(shù)列的通項公式及前項和。分析：由于b和c中的項都和a中的項有關，a中又有S=4a+2，可由S-S作切入點探索解題的途徑解：(1)由S=4a，S=4a+2，兩式相減，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a(根據(jù)b的構造，如何把該式表示成b與b的關系是證明的關鍵，注意加強恒等變形能力的訓練)a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b 已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3 由和得，數(shù)列b是首項為3，公比為2的等比數(shù)列，故b=32當n2時，S=4a+2=2(3n-4)+2；當n=1時，S=a=1也適合上式綜上可知，所求的求和公式為S=2(3n-4)+2說明：1本例主要復習用等差、等比數(shù)列的定義證明一個數(shù)列為等差，等比數(shù)列，求數(shù)列通項與前項和。解決本題的關鍵在于由條件得出遞推公式。2解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問的結論可作為下面論證的已知條件，在后面求解的過程中適時應用例3已知數(shù)列a是首項a10，q-1且q0的等比數(shù)列，設數(shù)列b的通項b=a-ka(nN)，數(shù)列a、b的前n項和分別為S，T如果TkS對一切自然數(shù)n都成立，求實數(shù)k的取值范圍分析：由探尋T和S的關系入手謀求解題思路。解：因為a是首項a0，公比q-1且q0的等比數(shù)列，故a=aq，a=aq所以 b=a-ka=a(q-kq)T=b+b+b=(a+a+a)(q-kq)=S(q-kq)依題意，由TkS，得S(q-kq)kS， 對一切自然數(shù)n都成立當q0時，由a10，知a0，所以S0；當-1q0時，因為a10，1-q0，1-q0，所以綜合上面兩種情況，當q-1且q0時，S0總成立由式可得q-kqk ，例4(2001年全國理)從社會效益和經(jīng)濟效益出發(fā)，某地投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè).根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少.本年度當?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為400萬元，由于該項建設對旅游業(yè)的促進作用，預計今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加。()設n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元.寫出an，bn的表達式()至少經(jīng)過幾年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入?解析：第1年投入800萬元，第2年投入800（1-）萬元，第n年投入800（1）n1萬元所以總投入an800800（1）800（1）n140001（）n同理：第1年收入400萬元，第2年收入400（1）萬元，第n年收入400（1）n1萬元bn400400（1）400（1）n11600（）n1(2)bnan0，1600（）n140001（）n0化簡得，5（）n2（）n70設x（）n，5x27x20x，x1（舍)即（）n，n5.說明：本題主要考查建立函數(shù)關系式，數(shù)列求和，不等式等基礎知識，考查綜合運用數(shù)學知識解決實際問題的能力。解數(shù)學問題應用題重點在過好三關：（1）事理關：閱讀理解，知道命題所表達的內(nèi)容；（2）文理關：將“問題情景”中的文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，用數(shù)學關系式表述事件；（3）數(shù)理關：由題意建立相關的數(shù)學模型，將實際問題數(shù)學化，并解答這一數(shù)學模型，得出符合實際意義的解答。例5設實數(shù)，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，記，求證：當時，對任意自然數(shù)都有=解：。記+得說明：本例主要復習利用錯位相減解決差比數(shù)列的求和問題。關鍵是先研究通項，確定是等差數(shù)列，等比數(shù)列。解法一：設等差數(shù)列a的首項a=a，公差為d，則其通項為根據(jù)等比數(shù)列的定義知S0，由此可得一步加工，有下面的解法)解法二：依題意，得例7設二次方程x-+1x+1=0(nN)有兩根和，且滿足6-2+6=3(1)試用表示a；例8在直角坐標平面上有一點列，對一切正整數(shù)，點位于函數(shù)的圖象上，且的橫坐標構成以為首項，為公差的等差數(shù)列。求點的坐標；設拋物線列中的每一條的對稱軸都垂直于軸，第條拋物線的頂點為，且過點，記與拋物線相切于的直線的斜率為，求：。設，等差數(shù)列的任一項，其中是中的最大數(shù)，求的通項公式。解：（1）（2）的對稱軸垂直于軸，且頂點為.設的方程為：把代入上式，得，的方程為：。，=（3），T中最大數(shù).設公差為，則，由此得說明：本例為數(shù)列與解析幾何的綜合題，難度較大（1）、（2）兩問運用幾何知識算出，解決（3）的關鍵在于算出及求數(shù)列的公差。例9數(shù)列中，且滿足求數(shù)列的通項公式；設，求；設=，是否存在最大的整數(shù)，使得對任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。解：（1）由題意，為等差數(shù)列，設公差為，由題意得，.（2）若，時，故 （3）若對任意成立，即對任意成立，的最小值是，的最大整數(shù)值是7。即存在最大整數(shù)使對任意，均有說明：本例復習數(shù)列通項，數(shù)列求和以及有關數(shù)列與不等式的綜合問題。例10如圖，在y軸的正半軸上依次有點其中點，且，在射線上依次有點點的坐標為（3，3），且B1B2BnBn+1A1A2AnAn+1yxO用含的式子表示；用含的式子表示的坐標；求四邊形面積的最大值。解：（1），（2）由（1）得的坐標，是以為首項，為公差的等差數(shù)列（3）連接，設四邊形的面積為，則單調(diào)遞減.的最大值為.說明：本例為數(shù)列與幾何的綜合題。由題意知為等比，為等差，（3）利用函數(shù)單調(diào)性求最值。例11設正數(shù)數(shù)列a為一等比數(shù)列，且a=4，a=16說明：這是2000年全國高考上海試題，涉及對數(shù)、數(shù)列、極限的綜合題，主要考查等比數(shù)列的定義及通項公式，等差數(shù)列前n項和公式，對數(shù)計算，求數(shù)列極限等基礎知識，以及綜合運用數(shù)學知識的能力例12已知拋物線，過原點作斜率1的直線交拋物線于第一象限內(nèi)一點，又過點作斜率為的直線交拋物線于點，再過作斜率為的直線交拋物線于點，如此繼續(xù)，一般地，過點作斜率為的直線交拋物線于點，設點（）令，求證：數(shù)列是等比數(shù)列（）設數(shù)列的前項和為，試比較與的大小解：（1）因為、在拋物線上，故，又因為直線的斜率為，即，代入可得，故是以為公比的等比數(shù)列；（2），故只要比較與的大小方法（一），當時，；當時；當時，方法（二）用數(shù)學歸納法證明，其中假設時有,則當時,.a)，是公差為-1的等差數(shù)列，又2a-a，2a-a，2a-a，(1)求數(shù)列a的通項公式；(2)計算(a+a+a)分析：由于題設中的等差數(shù)列和等比數(shù)列均由數(shù)列an的相關項構成，分別求出它們的通項公式構造關于a的方程組解：(1)設b=log(3a-a)，因為bn是等差數(shù)列，d=-1b1=log3a-a2 設c=2a-a，c是等比數(shù)列，公比為q，|q|1，c=2a-a=例14等比數(shù)列a中，已知a10，公比q0，前n項和為S，自然數(shù)b，c，d，e滿足bcde，且b+e=c+d求證：SSSS分析：凡是有關等比數(shù)列前n項Sn的問題，首先考慮q=1的情況，證明條件不等式時，正確適時地應用所給的條件是成敗的關鍵(證明不等式首選方法是差比較法，即作差變形判定符號，變形要有利于判定符號)be-cd=(c+d-e)e-cd=ce+de-e2-cd=(c-e)(e-d)因為ce，de，所以c-e0，e-d0，于是(c-e)(e-d)0又同理(要比較SS與SS的大小，只要比較(1-qb)(1-qe)與(1-qc)(1-qd)的大小，仍然運用差比較法)(1-qb)(1-qe)-(1-qc)(1-qd)=qc+qd-qb-qe=(qc-qb)-(qe-qd)(能否將qc-qb用qe-qd表示是上式化成積的關鍵，利用給定的c+d=b+e，尋求變形的途徑，c=b+e-d，d、e出現(xiàn)了，于是qc-qb=qb+e-d-qb=qb(qe-d-1)=qbq-d(qe-qd)恒等變形只有目標明確，變形才能有方向)上式=qbq-d(qe-qd)-(qe-qd)=(qe-qd)(qbq-d-1)=q-d(qe-qd)(qb-qd)因為q0所以q-d0(運用函數(shù)的思想將問題轉(zhuǎn)化為根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判別乘積的符號)事實上，由bde，q0，當0q1時，y=qx是減函數(shù)，qeqd，qbqd，即qe-qd0，qb-qd0；當q1時，y=qx是增函數(shù)，qeqd，qbqd，即qe-qd0，qb-qd0所以無論0q1還是q1，都有qe-qd與qb-qd異號，即(qe-qd)(qb-qd)0綜上所述，無論q=1還是q1，都有SSSS說明：復習課的任務在于對知識的深化，對能力的提高、關鍵在落實根據(jù)上面所研究的問題，進一步提高運用函數(shù)的思想、方程的思想解決數(shù)列問題的能力例15（2003年北京春季高考）如圖，在邊長為l的等邊ABC中，圓O1為ABC的內(nèi)切圓，圓O2與圓O1外切，且與AB，BC相切，圓On+1與圓On外切，且與AB，BC相切，如此無限繼續(xù)下去.記圓On的面積為.（）證明是等比數(shù)列；（）求的值.（）證明：記rn為圓On的半徑，則 所以故成等比數(shù)列.（）解：因為所以說明：本小題主要考查數(shù)列、數(shù)列極限、三角函數(shù)等基本知識，考查邏輯思維能力.例16（2004年北京春季高考20）下表給出一個“等差數(shù)陣”：47（）（）（）712（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）其中每行、每列都是等差數(shù)列，表示位于第i行第j列的數(shù)。（I）寫出的值；（II）寫出的計算公式；（III）證明：正整數(shù)N在該等差數(shù)列陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積。分析：本小題主要考查等差數(shù)列、充要條件等基本知識，考查邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力。解：（I）（II）該等差數(shù)陣的第一行是首項為4，公差為3的等差數(shù)列：第二行是首項為7，公差為5的等差數(shù)列：第i行是首項為，公差為的等差數(shù)列，因此（III）必要性：若N在該等差數(shù)陣中，則存在正整數(shù)i，j使得從而即正整數(shù)2N+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積。充分性：若2N+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積，由于2N+1是奇數(shù)，則它必為兩個不是1的奇數(shù)之積，即存在正整數(shù)k，l，使得，從而可見N在該等差數(shù)陣中。綜上所述，正整數(shù)N在該等差數(shù)陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積。四、強化訓練1設S和T分別為兩個等差數(shù)列的前n項和，若對任意nN， （ ）A43B32C74D78712一個首項為正數(shù)的等差數(shù)列中，前3項的和等于前11項的和，當這個數(shù)列的前n項和最大時，n等于 （ ）A5 B6C7 D83若數(shù)列中，且，則數(shù)列的通項4設在等比數(shù)列中，求及5根據(jù)下面各個數(shù)列的首項和遞推關系，求其通項公式6數(shù)列的前項和為不等于0，1的常數(shù))，求其通項公式7某縣位于沙漠地帶，人與自然長期進行著頑強的斗爭，到2001年底全縣的綠化率已達30%。從2002年開始，每年將出現(xiàn)這樣的局面，即原有沙漠面積的16%將被綠化，與此同時，由于各種原因，原有綠化面積的4%又被沙化。（1）設全縣面積為1，2001年底綠化面積為經(jīng)過年綠化總面積為求證（2）至少需要多少年（年取整數(shù)，）的努力，才能使全縣的綠化率達到60%？8（2002年春招試題）已知點的序列（，0），其中=0，A3是線錢A1A2的中點，A4是線段A2A3的中點，An是線段的中點，。（I）寫出與、之間的關系式（3）（II）設，計算，由此推測數(shù)列的通項公式，并加以證明。9(94年全國理)設an是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項和為Sn，并且對所有自然數(shù)n，an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項.(1)寫出數(shù)列an的前三項；(2)求數(shù)列an的通項公式(寫出推證過程)；(1) 令bn=(nN)，求：b1+b2+bn-n.五、參考答案1解：設這兩個等差數(shù)列分別為an和bn故選擇A說明：注意巧妙運用等差中項的性質(zhì)來反映等差數(shù)列的通項an與前2n-1項和S2n-1的內(nèi)在聯(lián)系2解：依題意知數(shù)列單調(diào)遞減，公差d0因為S3=S11=S3+a4+a5+a10+a11所以 a4+a5+a7+a8+a10+a11=0即 a4+a11=a7+a8=0，故當n=7時，a70，a80選擇C解選擇題注意發(fā)揮合理推理和估值的作用3解：多次運用迭代，可得4解：，又，由以上二式得 或；由此得或.說明：本例主要復習數(shù)列的基本運算和方程思想的應用。5解：（1），（2）=又解：由題意，對一切自然數(shù)成立， （3）是首項為公比為的等比數(shù)列，說明：本例復習求通項公式的幾種方法：迭加法、迭乘法、構造法。6解：由可得當時，是公比為的等比數(shù)列. 又當時，。說明：本例復習由有關與遞推式求，關鍵是利用與的關系進行轉(zhuǎn)化。7（1）證明：由已知可得確定后，表示如下：=即=80%+16%=+（2）解：由=+可得：=（）=（）2（）=故有=，若則有即兩邊同時取對數(shù)可得故，故使得上式成立的最小為5，故最少需要經(jīng)過5年的努力，才能使全縣的綠化率達到60%.8（I）解：當n3時，（II）解：.由此推測。證法一：因為，且（n2）所以。證法二：（用數(shù)學歸納法證明：）（i）當時，公式成立，（