空間解析幾何與向量代數(shù)

第七章 空間解析幾何與向量代數(shù) 第一節(jié) 向量及其線(xiàn)性運(yùn)算一 知識(shí)點(diǎn)、重點(diǎn)及難點(diǎn) 1. 知識(shí)點(diǎn)：（1） 向量的概念向量：既有大小，又有方向的量（又稱(chēng)矢量）.向量的表示：以為起點(diǎn)，為終點(diǎn)的有向線(xiàn)段，或.數(shù)學(xué)上只研究與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的自由向量.向量的模：向量的大小.向量的模記作.單位向量：模等于1的向量叫做單位向量.記作.零向量：模等于0的向量叫做零向量.記作零向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)重合，它的方向可以看作是任意的.負(fù)向量：與向量的模相同而方向相反的向量，即.向量相等：與大小相等，方向相同，記作.向量平行：與方向相同或相反，記作.與平行，又稱(chēng)與共線(xiàn).（2） 向量的線(xiàn)性運(yùn)算1. 向量的加法：平行四邊形法則，三角形法則運(yùn)算規(guī)律：交換律 結(jié)合律 向量的減法：2.向量與數(shù)的乘法：實(shí)數(shù)與向量的乘積是一個(gè)向量，記作.其大小為 方向當(dāng)時(shí)，與同向：當(dāng)時(shí)，與反向；當(dāng) 時(shí)，方向是任意的. 運(yùn)算規(guī)律：結(jié)合律 分配律 . 表示與同方向的單位向量. 若則存在唯一的實(shí)數(shù)，使（3）空間直角坐標(biāo)系：在空間取定一點(diǎn)（原點(diǎn)）和過(guò)原點(diǎn)三個(gè)兩兩垂直的數(shù)軸，構(gòu)成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系.三個(gè)坐標(biāo)軸的正向符合右手法則，即以右手握住軸，當(dāng)右手的四個(gè)手指從正向軸以角度轉(zhuǎn)向軸時(shí)，大拇指的指向就是軸的正向.三個(gè)坐標(biāo)面面、面、面將空間分成八個(gè)卦限，含有軸、軸、軸。正半軸的卦限叫第一卦限，其他第二、第三、第四卦限在面上方，按逆時(shí)針?lè)较虼_定，第五至第八卦限在面下方，第一卦限之下是第五卦限，按逆時(shí)針?lè)较虼_定其他卦限。這八個(gè)卦限分別用字母、表示。設(shè)點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)為則向量或表示為，即既是向量的坐標(biāo)，也是的坐標(biāo)。(4)向量的坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)則向量向量則若則唯一（5）向量的模方向角投影）向量的模 若向量則 若則）方向角與方向余弦作，稱(chēng)為向量與的夾角，記作或 方向角: ,與三個(gè)坐標(biāo)軸的夾角稱(chēng)為向量的方向角。 )向量的投影 向量在軸上的投影：或記作 在軸上的投影: 2. 重點(diǎn)： 向量的概念，向量的線(xiàn)性運(yùn)算，向量的模，方向角，投影。3. 難點(diǎn)： 向量的線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，向量的方向角，投影。二主要題型 1.與向量的概念，線(xiàn)性運(yùn)算有關(guān)的習(xí)題。2.綜合題型。三典型例題解析例1 設(shè)已知兩點(diǎn)和，計(jì)算向量的模，方向余弦和方向角。解 方向弦為方向角分別為例2 設(shè)向量的模是4，它與軸的夾角是，求在軸上的投影。解 已知，四 同步自測(cè)練習(xí)題 1.向量與軸和軸夾角相等，而與軸組成的角是它們的二倍，那么這個(gè)向量的方向角各為多少？參考答案與提示1. 或第二節(jié) 數(shù)量積 向量積 混合積一 知識(shí)點(diǎn)、重點(diǎn)、及難點(diǎn)1. 知識(shí)點(diǎn)：定義：，運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)數(shù)。 性質(zhì)：交換律： 結(jié)合律： 數(shù)乘律：，為實(shí)數(shù)。 坐標(biāo)表示 ：，（2）向量積： 定義：；的方向垂直于與決定的平面， 的指向按右手規(guī)則，從轉(zhuǎn)向來(lái)確定。 性質(zhì)：負(fù)交換律 分配律 數(shù)乘律 ，為實(shí)數(shù)。等于與為鄰邊的平行四邊形的面積，或者說(shuō)以與 為鄰邊的三角形的面積的2倍。 坐標(biāo)表示：， （3）混合積 定義： 結(jié)果為一個(gè)數(shù)。 性質(zhì): 等于以，,為棱的平行六面體的體積。 ，,共面 2. 重點(diǎn)： 向量的數(shù)量積、向量積、混合積的定義與應(yīng)用。3. 難點(diǎn)： 數(shù)量積、向量積、混合積的應(yīng)用。二主要題型1.與向量代數(shù)運(yùn)算（數(shù)量積、向量積、混合積）有關(guān)習(xí)題。2.綜合題型。三典型例題解析 解題注意事項(xiàng)：區(qū)分哪些是數(shù)量，哪些是向量；區(qū)分各個(gè)運(yùn)算的規(guī)律、特征；區(qū)分向量平行、垂直、共面的充要條件。 例1.（1）設(shè)，若，則=（ ），若 ，則=（ ）。（2），則=（ ）（3），則=（ ）（4）設(shè)，則（ ）解：（1）。 （2）設(shè)則由條件可得 或者：由， 知而 又由知（3） （4） 。例2已知，為與的夾角，求。 解： 例3. ，求與的夾角。 解： 。四 同步自測(cè)練習(xí)題 1已知，求。 2求同時(shí)垂直和的單位向量。 3已知，為與的夾角，求以和為邊的平行四邊形的面積。 4已知 、均為單位向量，且滿(mǎn)足關(guān)系式，求。 5已知 求（1）向量在軸，軸，軸上的投影； （2）求；（3）的方向余弦；（4）與平行的單位向量。參考答案與提示1.2 2. 3. 4. 5. (1) 1,-3,3 (2) (3) (4) 第三節(jié) 曲面及其方程一知識(shí)點(diǎn)、重點(diǎn)、及難點(diǎn)1.知識(shí)點(diǎn)： （1）曲面的方程： 一般式 顯式 球面標(biāo)準(zhǔn)式 一般式 （3） 旋轉(zhuǎn)曲面：以一條平面曲線(xiàn)（曲線(xiàn)）繞其平面上的一條直線(xiàn)（旋轉(zhuǎn)軸）旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面。：母線(xiàn)為，繞x軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為：母線(xiàn)為，繞x軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為繞z軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為：母線(xiàn)為，繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為繞z軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為：母線(xiàn)為曲線(xiàn)，繞z軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面：其中為空間曲線(xiàn)參數(shù)式方程（3）柱面：平行于定直線(xiàn)并沿曲線(xiàn)C（準(zhǔn)線(xiàn)）移動(dòng)的直線(xiàn)L（母線(xiàn)）所成的軌跡。. ，表示以為準(zhǔn)線(xiàn)，母線(xiàn)平行于z軸的柱面。，表示以為準(zhǔn)線(xiàn)，母線(xiàn)平行于y軸的柱面。，表示以為準(zhǔn)線(xiàn)，母線(xiàn)平行于x軸的柱面。 .特殊柱面：橢圓柱面；圓柱面 雙曲柱面；拋物柱面 .準(zhǔn)線(xiàn)為曲線(xiàn)C ，母線(xiàn)L為z軸的柱面方程求法：將上 曲線(xiàn)方程組中消去變量z，即得所求柱面方程. . 準(zhǔn)線(xiàn)為曲線(xiàn)C ，母線(xiàn)L的方向向量為的柱面方程的求法： 準(zhǔn)線(xiàn)C上取一點(diǎn)，則過(guò)該點(diǎn)的母線(xiàn)方程： 消去方程組的即得所求柱面方程. 注：柱面上任意一點(diǎn)處切平面的法向量與母線(xiàn)的方向向量垂直。（4） 二次曲面 橢圓錐面：；圓錐面：或橢球面：；旋轉(zhuǎn)橢球面：?jiǎn)稳~雙曲面：；旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面：雙葉雙曲面：；旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面：橢圓拋物面：；旋轉(zhuǎn)拋物面：雙曲拋物面（馬鞍面）：2. 重點(diǎn)： 曲線(xiàn)方程，旋轉(zhuǎn)曲面，柱面方程，能用截痕法畫(huà)出常見(jiàn)曲面及投影區(qū)域。3. 難點(diǎn)： 根據(jù)條件確定所求的曲面方程及投影區(qū)域，曲面方程各式間的轉(zhuǎn)換。二 主要題型1. 求旋轉(zhuǎn)曲面的方程。2. 求柱面方程。3. 綜合題型。三 典型例題解析 題型一. 求旋轉(zhuǎn)曲面的方程 解題注意事項(xiàng)：不要帶錯(cuò)旋轉(zhuǎn)曲面的計(jì)算公式例1. 求曲線(xiàn) 繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的拋物面方程。 解 繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的拋物面方程為例2. 求曲線(xiàn) 繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面方程 解 繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面方程題型二. 求柱面方程 解題注意事項(xiàng)：不要帶錯(cuò)柱面的計(jì)算公式。例2. 求母線(xiàn)平行于x軸，準(zhǔn)線(xiàn)為的柱面方程。 解： 將上曲線(xiàn)方程中消去變量x，得所求柱面方程為四 同步自測(cè)練習(xí)題。1. 求曲線(xiàn)繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)橢球面方程。2. 求直線(xiàn) 繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面方程。3. 求母線(xiàn)平行于z軸，準(zhǔn)線(xiàn)為的柱面方程。參考答案與提示1. 23. 第四節(jié) 空間曲線(xiàn)及其方程一知識(shí)點(diǎn)、重點(diǎn)、及難點(diǎn)1.知識(shí)點(diǎn)： （1）空間曲線(xiàn)的一般方程 （2）空間曲線(xiàn)的參數(shù)方程 （3）空間曲線(xiàn)在坐標(biāo)面上的投影： 在xoy面上的投影柱面為：消去z，投影曲線(xiàn)方程為 在yoz面上的投影柱面為：消去x，投影曲線(xiàn)方程為 在xoz面上的投影柱面為：消去y，投影曲線(xiàn)方程為2. 重點(diǎn)： 曲線(xiàn)方程，能用截痕法畫(huà)出常見(jiàn)曲線(xiàn)，曲線(xiàn)在坐標(biāo)面上的投影。3. 難點(diǎn)： 根據(jù)條件確定所求的曲線(xiàn)方程，投影曲線(xiàn)方程，曲線(xiàn)方程各式間的轉(zhuǎn)換。二主要題型1. 求曲線(xiàn)的方程。2. 求投影方程。3. 綜合題型。三典型例題解析 題型一 求投影方程解題注意事項(xiàng)：不要帶錯(cuò)投影的計(jì)算公式，區(qū)分投影曲線(xiàn)的投影區(qū)域 曲線(xiàn)一般式與參數(shù)式之間相互轉(zhuǎn)換。例1 求球面與錐面的交線(xiàn)在xoy坐標(biāo)面的投影及此交線(xiàn)的參數(shù)方程和這兩個(gè)曲面圍城的區(qū)域在xoy坐標(biāo)面的投影區(qū)域。 解：將兩個(gè)方程聯(lián)立消去變量z，可得交線(xiàn)在xoy坐標(biāo)面的投影柱面，在與xoy面聯(lián)立得投影方程：投影曲線(xiàn)參數(shù)方程為兩個(gè)曲面圍成的區(qū)域在xoy坐標(biāo)面的投影區(qū)域?yàn)榻痪€(xiàn)在xoy坐標(biāo)面的投影方程圍成的區(qū)域：例2.將曲線(xiàn) 的一般式轉(zhuǎn)化為參數(shù)式并寫(xiě)出曲線(xiàn)在xoy坐標(biāo)面的投影曲線(xiàn)方程。 解： 曲線(xiàn)在xoy坐標(biāo)面的投影曲線(xiàn)方程：（消去z）得曲線(xiàn)參數(shù)方程為五 同步自測(cè)聯(lián)系題。1. 求曲面與錐面交線(xiàn)在xoy坐標(biāo)面的投影，交線(xiàn)的參數(shù)方程和這兩個(gè)曲面圍城的區(qū)域在xoy坐標(biāo)面的投影區(qū)域。2. 將曲線(xiàn) 的一般式方程轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程并寫(xiě)出曲線(xiàn)在xoy坐標(biāo)面的投影曲線(xiàn)方程。參考答案與提示1. 投影方程；參數(shù)方程；投影區(qū)域：2. 參數(shù)方程 ；投影方程第五節(jié) 平面及其方程一、 知識(shí)點(diǎn) 重點(diǎn)及難點(diǎn) 1、 知識(shí)點(diǎn)：(1)平面的點(diǎn)的法式方程（向量點(diǎn)積德應(yīng)用）平面的法向量：垂直于平面的非零向量。給定平面上一個(gè)定點(diǎn)M(,，)平面的法向量=（A,B,C）則平面方程為A(X-)+B(Y-)+C(Z-)=0(2)平面的一般式方程 平面法向量=（A,B,C）則平面一般方程為Ax+By+Cz=0 若D=0 平面Ax+By+Cz=0過(guò)原點(diǎn) 若A=0 平面Ax+By+Cz=0平行于x軸若A=D=0則平面By+Cz=0過(guò)x軸 若B=0 平面Ax+By+Cz=0平行于y軸若B=D=0則平面By+Cz=0過(guò)y軸 若C=0 平面Ax+By+Cz=0平行于z軸若C=D=0則平面Ax+By=0過(guò)z軸 若A=B=0平面Cz+D=0平行于xoy平面 若A=B=D=0則平面Cz=0為xoy面若A=B=0平面Cz+D=0平行于xoy平面 若A=B=D=0則平面Cz=0為xoy面若A=C=0平面By+D=0平行于xoz平面 若A=C=D=0則平面By=0為xoz面即平面方程Ax+By+Cz=0中缺少某個(gè)坐標(biāo)，則平面就平行于該坐標(biāo)軸，平面方程缺少某兩個(gè)坐標(biāo)，則平面就平行于這兩個(gè)坐標(biāo)確定的平面，平面方程中缺少常數(shù)項(xiàng)，則該平面過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。（3）平面得截距式方程 平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距分別是a,b,c則平面方程為（4）平面的三點(diǎn)式方程（向量混合積的應(yīng)用） 平面上三點(diǎn)為則平面方程為(5)平面得位置關(guān)系 設(shè)兩個(gè)平面方程為 法線(xiàn)向量=（） 法線(xiàn)向量 = （）則兩平面的夾角：兩平面法線(xiàn)向量的夾角（通常指銳角）= = = 兩平面平行兩平面垂直A1A2+B1B2+C1C2=0兩平面相交不成立兩平面重合（6）點(diǎn)到平面的距離公式點(diǎn)M()到平面Ax+By+Cz+D=0的距離公式為d= 2 重點(diǎn)平面與方程的我確定3難點(diǎn)：如何確定平面的方程使求解平面方程更簡(jiǎn)單二 主要題型1求平面方程2確定平面之間的位置關(guān)系3求點(diǎn)到平面間的距離4綜合題型三 典型例題分析題型一 求平面方曾（關(guān)鍵找一定點(diǎn)姬法線(xiàn)向量）解題思路（1）利用條件找到所求平面的法向量及其定點(diǎn)，使用點(diǎn)法式 （2）設(shè)出平面的一班式，利用已知條件確定一般式中的待定常數(shù)（3）根據(jù)條件設(shè)出平面的特殊式，確定其中的待定常數(shù)（4）若條件中出現(xiàn)平面通過(guò)已知的一直線(xiàn)，則可考慮使用平面式方程例一過(guò)已知兩點(diǎn)（1，2，-1）（-5，2，7）的一個(gè)平面，使（1）與平面2x+y-z=0垂直（2）與x軸平行(1)解法1 令 （1，2，-1）（-5，2，7），則待求平面的法向量垂直于 同時(shí)也垂直于（2，1，-1）取=（-6，0，8）（2，1，-1）=-2（4，-5，3）用點(diǎn)法式可得平面方程為4（x-1）-5(y-2)+3(z+1)=0即4x-5y+3z+9=0解法2設(shè)所求平面方程為Ax+By+Cz+D=0由題意知系數(shù)滿(mǎn)足 從而得平面方程為4x-5y+3z-9=0(2)法1由題意知平面的法向量同時(shí)垂直于（-6，0，8），（1，0，0）取=（-6，0，8）（1，0，0）=-8（0，1，0）有點(diǎn)法式得平面方程為 y-2=0法2設(shè)所求平面方程為By+Cz+D=0則從而得平面方程為y-2=0例2求過(guò)兩平面x+y+5z=1與2x+3y-z+2=0得交線(xiàn)及點(diǎn)（3，2，1）的平面方程和和這兩個(gè)平面平分面方程解 （1）設(shè)過(guò)兩平面交線(xiàn)的平面為 (x+y+5z-1)+ (2x+3y-z+2)=0 將（3，2，1）帶入得9=13從而得平面方程為5x+14y-74z+31=0 （2）設(shè)過(guò)兩平面交線(xiàn)的平面為 (x+y+5z-1)+ (2x+3y-z+2)=0由題意知（+2，+3，5-）與（1，1，5）（2，3，-1）的夾角相等從而（或者所求平面上任意一點(diǎn)到已知兩平面的距離相等）從而得平面方程為（x+y-+5z-1=0）（2x+3y-z+2）=0題型2確定平面之間的位置關(guān)系 解題注意事項(xiàng)：要記清平面之間位置關(guān)系的特點(diǎn)例3當(dāng)取何值時(shí)兩平面x+ay+3z=1與2x-4y+6z=5平行垂直相交 相交但不垂直并確定此時(shí)兩平面的夾角 解 平行 a=2 垂直相交1.2+（-4）a+3.6=0 a=5 相交但不垂直a -2且a 5 = 題型3 求點(diǎn)到平面的距離 解題注意事項(xiàng)：要記清點(diǎn)到平面的距離公式例4求點(diǎn)（1，2，-1）到平面x-3y-z=15的距離解d= 四 同步自測(cè)練習(xí)題 1 求平行于平面4x-y-+z+5=0且與三個(gè)坐標(biāo)面構(gòu)成的四面體的體積為9的平面 2在過(guò)平面2x+y-3z+2=0與5x+5y-4z+3=0得交線(xiàn)的平面集中，求兩個(gè)相互垂直的平面，其中一個(gè)平面過(guò)點(diǎn)（4，-3，1）3求兩個(gè)平面19x-4y+8z+21=0 與19x-4y+8z+42=0的距離參考答案與提示1. 4x-y+z+6=0或4x-y+z-6=02過(guò)點(diǎn)（4，-3，1）的平面3x+4y-z+1=0與它垂直的平面x-2y-5z+3=03.1第六節(jié)空間直線(xiàn)及其方程一知識(shí)點(diǎn) 重點(diǎn)及難點(diǎn) 知識(shí)點(diǎn)：（1） 空間直線(xiàn)的點(diǎn)向式（對(duì)稱(chēng)式標(biāo)準(zhǔn)式）方程（向量平行的應(yīng)用）直線(xiàn)L的方向向量與直線(xiàn)L平行的非零向量，的方向余弦稱(chēng)為直線(xiàn)L的方向余弦設(shè)直線(xiàn)L上定點(diǎn)為M（）直線(xiàn)L的方向向量=(m,n,p)則直線(xiàn)方成為（2） 空間直線(xiàn)的參數(shù)與方程直線(xiàn)上定點(diǎn)M（）直線(xiàn)L的方向向量=(m,n,p)則直線(xiàn)的參數(shù)方成（3） 空間直線(xiàn)的一般方程 直線(xiàn)L可以看做平面1與2的交線(xiàn)即直線(xiàn)L的方程為 = =為1與2的法線(xiàn)向量則直線(xiàn)L與，都垂直為L(zhǎng)的方向向量，則=（4） 空間直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程直線(xiàn)上的兩個(gè)點(diǎn) 則直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程為（5） 兩直線(xiàn)昂之間的位置關(guān)系直線(xiàn)L1其上定點(diǎn)方向向量方程直線(xiàn)L2其上定點(diǎn)方向向量 方程則兩直線(xiàn)L1與L2的夾角：兩直線(xiàn)的方向向量的夾角（通常指銳角）= = = 兩直線(xiàn)L1與L2平行：L1 L2 兩直線(xiàn)L1與L2垂直：L1 L2 兩直線(xiàn)L1與L2重合：兩直線(xiàn)L1與L2共面：即兩直線(xiàn)L1與L2異面：即兩直線(xiàn)L1與L2相交：L1與L2共面且不平行(6)直線(xiàn)與平面之間的位置關(guān)系直線(xiàn)L：，L上的定點(diǎn)（）方向向量=(m,n,p) 平面：Ax+By+Cz+D=0法向量=（A,B,C）直線(xiàn)L與平面的夾角：直線(xiàn)L和它在平面上的投影直線(xiàn)的夾角（通常指銳角）= = = 直線(xiàn)L 與平面平行（不在平面上）：Am+Bn+Cp=0 直線(xiàn)L 在平面上： Am+Bn+Cp=0 直線(xiàn)L 與平面垂直：直線(xiàn)L 與平面相交：Am+Bn+Cp 0(7)過(guò)空間直線(xiàn)的平面集方程過(guò)直線(xiàn)L： 的平面集方程為（）+（）=0 其中， 不全為零（8）點(diǎn)到空間直線(xiàn)的距離公式點(diǎn)（）到直線(xiàn)L: 的距離公式 為直線(xiàn)L 上的點(diǎn)=(m,n,p)為L(zhǎng)的方向向量d=2重點(diǎn)： 直線(xiàn)方程的確定及直線(xiàn)與平面的關(guān)系3難點(diǎn)： 利用直線(xiàn)與平面關(guān)系確定所求解的問(wèn)題二，主要題型 1求直線(xiàn)方程 2直線(xiàn)各方程之間的轉(zhuǎn)化 3確定直線(xiàn)之間的位置關(guān)系 4確定直線(xiàn)與平面之間的位置關(guān)系 5求交點(diǎn)，投影問(wèn)題 6求點(diǎn)到直線(xiàn)之間的距離 7綜合題型三，典型例題解析題型1 求直線(xiàn)方程（關(guān)鍵找一定點(diǎn)及方向向量）解題思路：1，若求過(guò)一定點(diǎn)且與一直線(xiàn)平行的直線(xiàn)方程，所求直線(xiàn)的方向向量就取為已知直線(xiàn)的方向向量 2，若求過(guò)一定點(diǎn)且與一平面垂直的直線(xiàn)方程，所求直線(xiàn)的方向向量就取為已知平面的法線(xiàn)向量 3，若求過(guò)定點(diǎn)且與兩直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)方程，所求直線(xiàn)的方向向量就取為已知兩直線(xiàn)的方向向量的向量積 4，若求過(guò)定點(diǎn)且與已知直線(xiàn)垂直，與一平面平行的直線(xiàn)方程，所求直線(xiàn)的方向向量就取為已知直線(xiàn)的方向向量與已知平面的法線(xiàn)向量的向量積 5，也可設(shè)出所求直線(xiàn)的方向向量=(m,n,p)利用所求直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平面關(guān)系來(lái)確定方向向量中的參數(shù)例1 求過(guò)點(diǎn)（-1，2，3）平行于平面2x+3y+4z+7=0且垂直于直線(xiàn)的直線(xiàn)方程解 法1取=(2,3,4) (3,4,5)=(-1,2,1)所求直線(xiàn)為法2取=(m,n,p) 則 (2,3,4) (3,4,5)故所求直線(xiàn)為例2 求過(guò)點(diǎn)（2，-1，3）平行于平面3x-2y+z+5=0 且與直線(xiàn) 相交的直線(xiàn)方程解 法1設(shè)=(m,n,p) 則 (3,-2,1)即3m-2n+p=0所求直線(xiàn)與已知直線(xiàn)相交即共面，因此 -4m-9n-p=0 m=-11n,p=35n所求直線(xiàn)為法2設(shè)=(m,n,p) 則 (3,-2,1)即3m-2n+p=0所求直線(xiàn)與已知直線(xiàn)相交，故滿(mǎn)足所求直線(xiàn)的參數(shù)方程 滿(mǎn)足已知直線(xiàn)方程即m= n= p=所求直線(xiàn)為題型2直線(xiàn)各方程之間的轉(zhuǎn)化解題注意事項(xiàng)：記清直線(xiàn)各式之間關(guān)系例3將直線(xiàn)的一般方程 轉(zhuǎn)化為對(duì)稱(chēng)式和參數(shù)式方程解=(2,-4,1) (1,3,5)=(-3,1,10)在直線(xiàn)上任取一點(diǎn)，令y=0 則x=-5,z=11所求對(duì)稱(chēng)式方程為參數(shù)式方程為題型3確定直線(xiàn)之間的位置關(guān)系解題注意事項(xiàng)1記清直線(xiàn)之間位置關(guān)系的公式例4確定空間三直線(xiàn)之間的位置關(guān)系，三直線(xiàn)位置關(guān)系如下L1 L2 L3 LI: 方向向量 =（-2，-5，3） 定點(diǎn)為=（-3，-4，0）L2: 方向向量 =（3，3，7） 定點(diǎn)為=（0，-1，2）L3: 方向向量 =（1，1，3） 定點(diǎn)為=（0，-1，1）L1與L2： = L1與L2異面垂直L1與L3：且 L1與L2異面且 L1與L2共面相交題型4 確定直線(xiàn)與平面之間的位置關(guān)系解題注意事項(xiàng)1記清直線(xiàn)與平面之間位置關(guān)系的公式2復(fù)雜問(wèn)題要巧妙使用過(guò)交線(xiàn)的平面集方程可使問(wèn)題簡(jiǎn)化確定直線(xiàn)與平面x+y+z=3的位置關(guān)系解且有2+（-2）+3=3所以直線(xiàn)在平面上例6求過(guò)直線(xiàn) 且平行于直線(xiàn) 的平面方程去所求平面法線(xiàn)向量且平面過(guò)點(diǎn)（1，2，3） 故所求平面為x-3y+z+2=0例7 求過(guò)直線(xiàn) 且與球面 相切的平面方程解過(guò)已知直線(xiàn)的平面集為即與已知平面相切，即球心（0，0，0）到該平面的距離為2，故有或所求平面為z=2或132x+176y-21z-442=0題型5 求交點(diǎn)，投影問(wèn)題 解題注意事項(xiàng)1交點(diǎn)問(wèn)題要巧妙使用直線(xiàn)參數(shù)式方程可使問(wèn)題簡(jiǎn)化2投影問(wèn)題要建立過(guò)已知直線(xiàn)的平面集方程，從中找到垂足投影平面的那個(gè)平面，兩平面方程聯(lián)立 即得投影直線(xiàn)方程例8確定使兩