余弦定理及其證明(精選多篇)

余弦定理及其證明(精選多篇) 第一篇：余弦定理及其證明 第二篇：正、余弦定理及其應(yīng)用 第三篇：余弦定理證明過程 第四篇：余弦定理證明 第五篇：怎么證明余弦定理 更多相關(guān)范文 余弦定理及其證明 1.三角形的正弦定理證明： 步驟1. 在銳角abc中，設(shè)三邊為a，b，c。作chab垂足為點(diǎn)h ch=asinb ch=bsina asinb=bsina 得到 a/sina=b/sinb 同理，在abc中， b/sinb=c/sinc 步驟2. 證明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r： 如圖，任意三角形abc,作abc的外接圓o. 作直徑bd交o于d. 連接da. 因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角是直角,所以dab=90度 因?yàn)橥∷鶎?duì)的圓周角相等,所以d等于c. 所以c/sinc=c/sind=bd=2r a/sina=bc/sind=bd=2r 類似可證其余兩個(gè)等式。 2.三角形的余弦定理證明： 平面幾何證法： 在任意abc中 做adbc. c所對(duì)的邊為c，b所對(duì)的邊為b，a所對(duì)的邊為a 則有bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c 根據(jù)勾股定理可得： ac2=ad2+dc2 b2=(sinb*c)2+(a-cosb*c)2 b2=sin2b*c2+a2+cos2b*c2-2ac*cosb b2=(sin2b+cos2b)*c2-2ac*cosb+a2 b2=c2+a2-2ac*cosb cosb=(c2+a2-b2)/2ac 3 在abc中，ab=c、bc=a、ca=b 則c2=a2+b2-2ab*cosc a2=b2+c2-2bc*cosa b2=a2+c2-2ac*cosb 下面在銳角中證明第一個(gè)等式，在鈍角中證明以此類推。 過a作adbc于d，則bd+cd=a 由勾股定理得： c2=(ad)2+(bd)2，(ad)2=b2-(cd)2 所以c2=(ad)2-(cd)2+b2 =(a-cd)2-(cd)2+b2 =a2-2a*cd+(cd)2-(cd)2+b2 =a2+b2-2a*cd 因?yàn)閏osc=cd/b 所以cd=b*cosc 所以c2=a2+b2-2ab*cosc 題目中2表示平方。 2 談?wù)?、余弦定理的多種證法 聊城二中魏清泉 正、余弦定理是解三角形強(qiáng)有力的工具，關(guān)于這兩個(gè)定理有好幾種不同的證明方法.人教a版教材數(shù)學(xué)(必修5)是用向量的數(shù)量積給出證明的，如是在證明正弦定理時(shí)用到作輔助單位向量并對(duì)向量的等式作同一向量的數(shù)量積，這種構(gòu)思方法過于獨(dú)特，不易被初學(xué)者接受.本文試圖通過運(yùn)用多種方法證明正、余弦定理從而進(jìn)一步理解正、余弦定理，進(jìn)一步體會(huì)向量的巧妙應(yīng)用和數(shù)學(xué)中“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合. 定理：在abc中，ab=c,ac=b,bc=a,則 (1)(正弦定理)=; (2)(余弦定理) c2=a2+b2-2abcosc, b2=a2+c2-2aosb, a2=b2+c2-2bosa. 一、正弦定理的證明 證法一：如圖1，設(shè)ad、be、cf分別是abc的三條高。則有 ad=b?sinbca， be=c?sincab， cf=a?sinabc。 所以sabc=a?b?csinbca =b?c?sincab =c?a?sinabc. 證法二：如圖1，設(shè)ad、be、cf分別是abc的3條高。則有 ad=b?sinbca=c?sinabc， be=a?sinbca=c?sincab。 證法三：如圖2，設(shè)cd=2r是abc的外接圓 的直徑，則dac=90，abc=adc。 證法四：如圖3，設(shè)單位向量j與向量ac垂直。 因?yàn)閍b=ac+cb， 所以j?ab=j?(ac+cb)=j?ac+j?cb. 因?yàn)閖?ac=0， j?cb=|j|cb|cos(90-c)=a?sinc， j?ab=|j|ab|cos(90-a)=c?sina. 二、余弦定理的證明 法一：在abc中，已知，求c。 過a作， 在rt中， 法二： ，即： 法三： 先證明如下等式： 證明： 故式成立，再由正弦定理變形，得 結(jié)合、有 即. 同理可證 . 三、正余弦定理的統(tǒng)一證明 法一：證明：建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系，則a=(0，0)、b=(c,0)，又由任意角三角函數(shù)的定義可得：c=(bcosa,bsina)，以ab、bc為鄰邊作平行四邊形ab，則bac=-b， c(acos(-b),asin(-b)=c(-acosb,asinb). 根據(jù)向量的運(yùn)算： =(-acosb,asinb)， =-=(bcosa-c,bsina), (1)由=：得 asinb=bsina,即 =. 同理可得：=. =. (2)由=(b-cosa-c)2+(bsina)2=b2+c2-2bosa， 又|=a, a2=b2+c2-2bosa. 同理： c2=a2+b2-2abcosc; b2=a2+c2-2aosb. 法二：如圖5， ,設(shè)軸、軸方向上的單位向量分別為、，將上式的兩邊分別與、作數(shù)量積，可知 ， 即 將(1)式改寫為 化簡得b2-a2-c2=-2aosb. 即b2=a2+c2-2aosb.(4) . 正、余弦定理及其應(yīng)用 作者：夏志輝 ：數(shù)學(xué)金刊高考版xx年第10期 正、余弦定理及其應(yīng)用是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，是高考必考知識(shí)點(diǎn)之一，也是解三角形的重要工具，常常會(huì)結(jié)合三角函數(shù)或平面向量的知識(shí)來考查其運(yùn)用. 重點(diǎn)難點(diǎn) 在高考中，本部分知識(shí)所考查的有關(guān)試題大多為容易題. 在客觀題中，突出考查正、余弦定理及其推論所涉及的運(yùn)算；在解答題中，通常聯(lián)系三角恒等變形、三角形內(nèi)角和定理、三角形面積公式等知識(shí)進(jìn)行綜合考查，常見的有證明、判斷、求值（求解斜三角形中的基本元素：角、面積等）及解決實(shí)際問題等題型. 重點(diǎn)：正確理解正、余弦定理的概念，了解正、余弦定理之間的內(nèi)在聯(lián)系，掌握公式的一些常用變形；判斷三角形的形狀；解斜三角形；運(yùn)用正、余弦定理解決一些實(shí)際問題以及與其他知識(shí)相互滲透的綜合問題. 難點(diǎn)：解三角形時(shí)解的情況的討論；正、余弦定理與三角恒等變換等知識(shí)相互聯(lián)系的綜合問題. 在abc中，設(shè)bca，acb，abc，試根據(jù)b，c，a來表示a。 分析：由于初中平面幾何所接觸的是解直角三角形問題，所以應(yīng)添加輔助線構(gòu)造直角三角形，在直角三角形內(nèi)通過邊角關(guān)系作進(jìn)一步的轉(zhuǎn)化工作，故作cd垂直于ab于d，那么在rtbdc中，邊a可(收藏，)利用勾股定理用c、b表示，而cd可在rtac中利用邊角關(guān)系表示，db可利用abad轉(zhuǎn)化為ad，進(jìn)而在rtac內(nèi)求解。 解：過c作cdab，垂足為d，則在rtcb中，根據(jù)勾股定理可得： a2c2b2 在rtac中，c2b2a2 又b2（ca）2c22caa2 a2b2a2c22caa2b2c2 2ca 又在rtac中，adbcosa a2b2c22bosa類似地可以證明b2a2c22aosb，c2a2b22abcosc 余弦定理證明 在任意abc中,作adbc. c對(duì)邊為c，b對(duì)邊為b，a對(duì)邊為a- bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c 勾股定理可知： ac?=ad?+dc? b?=(sinb*c)?+(a-cosb*c)? b?=sin?b*c?+a?+cos?b*c?-2ac*cosb b?=(sin?b+cos?b)*c?-2ac*cosb+a? b?=c?+a?-2ac*cosb 所以，cosb=(c?+a?-b?)/2ac 2 如右圖，在abc中，三內(nèi)角a、b、c所對(duì)的邊分別是a、b、c.以a為原點(diǎn)，ac所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，于是c點(diǎn)坐標(biāo)是(b，0)，由三角函數(shù)的定義得b點(diǎn)坐標(biāo)是(osa，csina).cb=(osa-b，csina).現(xiàn)將cb平移到起點(diǎn)為原點(diǎn)a，則ad=cb.而|ad|=|cb|=a，dac=-bca=-c，根據(jù)三角函數(shù)的定義知d點(diǎn)坐標(biāo)是(acos(-c)，asin(-c)即d點(diǎn)坐標(biāo)是(-acosc，asinc),ad=(-acosc，asinc)而ad=cb(-acosc，asinc)=(osa-b，csina)asinc=csina-acosc=osa-b由得asina=csinc，同理可證asina=bsinb，asina=bsinb=csinc.由得acosc=b-osa，平方得：a2cos2c=b2-2bosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bosa+c2-c2sin2a.而由可得a2sin2c=c2sin2aa2=b2+c2-2bosa.同理可證b2=a2+c2-2aosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理證明完畢。3abc的三邊分別為a,b,c,邊bc,ca,ab上的中線分別為ma.mb,mc,應(yīng)用余弦定理證明: mb=(1/2) mc=(1/2)ma=(c2+(a/2)2-ac*cosb) =(1/2)(4c2+a2-4ac*cosb) 由b2=a2+c2-2ac*cosb 得，4ac*cosb=2a2+2c2-2b2，代入上述ma表達(dá)式： ma=(1/2) =(1/2)(2b2+2c2-a2) 同理可得： mb= mc= 4 ma=(c2+(a/2)2-ac*cosb) =(1/2)(4c2+a2-4ac*cosb) 由b2=a2+c2-2ac*cosb 得，4ac*cosb=2a2+2c2-2b2，代入上述ma表達(dá)式： ma=(1/2) =(1/2)(2b2+2c2-a2) 證畢。 怎么證明余弦定理 證明余弦定理： 因?yàn)檫^c作cd垂直于ab，ad=bcosa;所以(c-bcosa)2+(bsina)2=a2。 又因?yàn)閎2-(bcosa)2=(bsina)2，所以(c-x)2+b2-(bcosa)2=a2， 所以c2-2cbcosa+(bcosa)2+b2-(bcosa)2=a2， 所以c2-2cbcosa+b2=a2， 所以c2+b2-a2=2cbcosa， 所以cosa=(c2+b2-a2)/2bc 同理cosb=(a2+c2-b2)/2ac，cosc=(a2+b2-c2)/2ab 2 在任意abc中,作adbc. c對(duì)邊為c，b對(duì)邊為b，a對(duì)邊為a- bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c 勾股定理可知： ac?=ad?+dc? b?=(sinb*c)?+(a-cosb*c)? b?=sin?b*c?+a?+cos?b*c?-2ac*cosb b?=(sin?b+cos?b)*c?-2ac*cosb+a? b?=c?+a?-2ac*cosb 所以，cosb=(c?+a?-b?)/2ac 2 如右圖，在abc中，三內(nèi)角a、b、c所對(duì)的邊分別是a、b、c.以a為原點(diǎn)，ac所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，于是c點(diǎn)坐標(biāo)是(b，0)，由三角函數(shù)的定義得b點(diǎn)坐標(biāo)是(osa，csina).cb=(osa-b，csina).現(xiàn)將cb平移到起點(diǎn)為原點(diǎn)a，則ad=cb.而|ad|=|cb|=a，dac=-bca=-c，根據(jù)三角函數(shù)的定義知d點(diǎn)坐標(biāo)是(acos(-c)，asin(-c)即d點(diǎn)坐標(biāo)是(-acosc，asinc),ad=(-acosc，asinc)而ad=cb(-acosc，asinc)=(osa-b，csina)asinc=csina-acosc=osa-b由得asina=csinc，同理可證asina=bsinb，asina=bsinb=csinc.由得acosc=b-osa，平方得：a2cos2c=b2-2bosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bosa+c2-c2sin2a.而由可得a2sin2c=c2sin2aa2=b2+c2-2bosa.同理可證b2=a2+c2-2aosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理證明完畢。3abc的三邊分別為a,b,c,邊bc,ca,ab上的中線分別為ma.mb,mc,應(yīng)用余弦定理證明: mb=(1/2) mc=(1/2)ma=(c2+(a/2)2-ac*cos