高中數(shù)學(xué) 第三章 推理與證明 3.1 歸納與類比 3.1.2 類比推理課件 北師大版選修12.pptVIP

3 1 2類比推理 一 類比推理1 類比推理的含義由于兩類不同對象具有某些類似的特征 在此基礎(chǔ)上 根據(jù)一類對象的其他特征 推斷另一類對象也具有類似的其他特征 我們把這種推理過程稱為類比推理 類比推理是兩類事物特征之間的推理 2 類比推理的特征類比推理是從特殊到特殊的推理 簡稱類比 3 結(jié)論真假 利用類比推理得出的結(jié)論不一定是正確的 4 思維過程流程圖觀察 比較 聯(lián)想 類推 猜想新的結(jié)論 名師點撥類比推理的三個特點1 類比推理結(jié)論的猜測性 類比推理是從人們已經(jīng)掌握了的事物的特征 推測正在被研究的事物的特征 所以類比推理的結(jié)果具有猜測性 不一定可靠 2 類比在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中具有重要作用 例如 通過空間與平面 向量與數(shù) 無限與有限 不等與相等的類比 發(fā)現(xiàn)可以研究的問題及其研究方法 3 類比推理的關(guān)鍵點 由于類比推理的前提是兩類對象之間具有某些可以清楚定義的類似特征 所以進(jìn)行類比推理的關(guān)鍵是明確指出兩類對象在某些方面的類似特征 2 在醫(yī)藥研究中 研制新藥初期 常用一些動物做藥性 藥理試驗 最后才做臨床試驗與應(yīng)用 通過對動物的觀察 得出對人應(yīng)用的一些結(jié)論 所用推理為 解析 1 三角形的高對應(yīng)扇形的半徑 三角形的底對應(yīng)扇形的弧長 所以可猜測為 2 符合類比推理的方法 故應(yīng)為類比推理 答案 1 c 2 類比推理 二 合情推理1 合情推理的含義根據(jù)實驗和實踐的結(jié)果 個人的經(jīng)驗和直覺 已有的事實和正確的結(jié)論 定義 公理 定理等 推測出某些結(jié)果的推理方式 歸納推理和類比推理是最常見的合情推理 2 思維過程流程圖從具體問題出發(fā) 觀察 分析 比較 聯(lián)想 歸納 類比 提出猜想特別提醒合情推理得出的結(jié)論不一定是唯一的 側(cè)重點不同 結(jié)論也會不同 做一做2 1 魯班發(fā)明鋸子的思維過程為 帶齒的草葉能割破行人的腿 鋸子 能 鋸 開木材 它們在功能上是類似的 因此 它們在形狀上也應(yīng)該類似 鋸子 應(yīng)該是齒形的 該過程體現(xiàn)了 a 歸納推理b 類比推理c 沒有推理d 以上說法都不對 2 等差數(shù)列 an 中有2an an 1 an 1 n 2 且n n 類比以上結(jié)論 在等比數(shù)列 bn 中類似的結(jié)論是 答案 1 b 2 bn 1 bn 1 n 2 且n n 思考辨析判斷下列說法是否正確 正確的在后面的括號內(nèi)打 錯誤的打 1 由類比推理得出的結(jié)論一定是正確的 2 合情推理必須有前提有結(jié)論 3 合情推理不能猜想 4 合情推理得出的結(jié)論不能判斷正誤 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 平面圖形與空間圖形的類比 探究一 探究二 探究三 思路分析 考慮到用 面積法 證明結(jié)論時把o點與三角形的三個頂點連接 把三角形分成三個三角形 利用面積相等來證明相應(yīng)的結(jié)論 在證明四面體中類似結(jié)論時 可考慮利用體積相等的方法證明相應(yīng)的結(jié)論 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 反思感悟平面圖形與空間幾何體的類比方法 探究一 探究二 探究三 變式訓(xùn)練1類比平面內(nèi)正三角形的 三邊相等 三內(nèi)角相等 的性質(zhì) 可推出正四面體的下列哪些性質(zhì) 你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖?各棱長相等 同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等 各個面都是全等的正三角形 相鄰兩個面所成的二面角都相等 各個面都是全等的正三角形 同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等 a b c d 解析 由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征 推出另一類對象也具有這些特征的推理 叫類比推理 上述三個結(jié)論均符合推理結(jié)論 故均正確 答案 c 探究一 探究二 探究三 類比推理在數(shù)列中的應(yīng)用 例2 在等差數(shù)列 an 中 若a10 0 則有等式a1 a2 an a1 a2 a19 n n 19 n n 成立 類比上述性質(zhì) 相應(yīng)地 在等比數(shù)列 bn 中 若b9 1 則有什么樣的等式成立 思路分析 可結(jié)合等比數(shù)列的定義 通項公式 求和公式求解 解 在等差數(shù)列 an 中 由a10 0 得a1 a19 a2 a18 an a20 n an 1 a19 n 2a10 0 所以a1 a2 an a19 0 即a1 a2 an a19 a18 an 1 又 a1 a19 a2 a18 a19 n an 1 a1 a2 an a1 a2 a19 n 相應(yīng)地 在等比數(shù)列 bn 中 若b9 1 則可得b1b2 bn b1b2 b17 n n 17 n n 探究一 探究二 探究三 反思感悟在由等差數(shù)列類比等比數(shù)列得到某些性質(zhì)時 運算往往要升級 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 圓錐曲線中的類比 例3 有對稱中心的曲線叫作有心曲線 顯然 橢圓 雙曲線都是有心曲線 過有心圓錐曲線中心的弦叫作有心圓錐曲線的直徑 定理 過圓x2 y2 r2 r 0 上異于直徑兩端點的任意一點與這條直徑的兩個端點連線 則兩條連線所在直線的斜率之積為定值 1 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 反思感悟1 類比推理的思維過程大致為 2 類比推理的一般步驟 1 觀察 分析 找出兩類事物之間的相似性或一致性 2 通過類比 聯(lián)想 用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì) 得出一個明確的命題 猜想 3 通過推理論證 證明結(jié)論或推翻結(jié)論 一般情況下 如果類比的兩類事物的相似性越多 相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間越相關(guān) 那么類比得出的結(jié)論就越可靠 類比推理的結(jié)論既可能真 也可能假 它是一種由特殊到特殊的認(rèn)識過程 具有十分重要的實用價值 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 1 2 3 4 5 1 給出下列三個類比結(jié)論 ab n anbn與 a b n類比 則有 a b n an bn loga xy logax logay與sin 類比 則有sin sin sin a b 2 a2 2ab b2與 a b 2類比 則有 a b 2 a2 2a b b2 其中結(jié)論正確的個數(shù)是 a 0b 1c 2d 3解析 只有 正確 答案 b 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3 在平面內(nèi) 若兩個正三角形的邊長的比為1 2 則它們的面積比為1 4 類似地 在空間中 若兩個正四面體的棱長的比為1 2 則它們的體積比為 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5 在