高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 解三角形課件.ppt

高考數(shù)學(xué) 江蘇省專用 第四章解三角形 1 2014江蘇 14 5分 0 29 若 abc的內(nèi)角滿足sina sinb 2sinc 則cosc的最小值是 a組自主命題 江蘇卷題組 五年高考 答案 解析設(shè) abc中 內(nèi)角a b c所對的邊分別為a b c sina sinb 2sinc 由正弦定理得a b 2c cosc 當(dāng)且僅當(dāng)a b時等號成立 故cosc的最小值為 2 2017江蘇 18 16分 如圖 水平放置的正四棱柱形玻璃容器 和正四棱臺形玻璃容器 的高均為32cm 容器 的底面對角線ac的長為10cm 容器 的兩底面對角線eg e1g1的長分別為14cm和62cm 分別在容器 和容器 中注入水 水深均為12cm 現(xiàn)有一根玻璃棒l 其長度為40cm 容器厚度 玻璃棒粗細均忽略不計 1 將l放在容器 中 l的一端置于點a處 另一端置于側(cè)棱cc1上 求l沒入水中部分的長度 2 將l放在容器 中 l的一端置于點e處 另一端置于側(cè)棱gg1上 求l沒入水中部分的長度 解析本小題主要考查正棱柱 正棱臺的概念 考查正弦定理 余弦定理等基礎(chǔ)知識 考查空間想象能力和運用數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的能力 1 由正棱柱的定義 cc1 平面abcd 所以平面a1acc1 平面abcd cc1 ac 記玻璃棒的另一端落在cc1上點m處 因為ac 10 am 40 所以mc 30 從而sin mac 記am與水面的交點為p1 過p1作p1q1 ac q1為垂足 則p1q1 平面abcd 故p1q1 12 從而ap1 16 答 玻璃棒l沒入水中部分的長度為16cm 如果將 沒入水中部分 理解為 水面以上部分 則結(jié)果為24cm 2 如圖 o o1是正棱臺的兩底面中心 由正棱臺的定義 oo1 平面efgh 所以平面e1egg1 平面efgh o1o eg 同理 平面e1egg1 平面e1f1g1h1 o1o e1g1 記玻璃棒的另一端落在gg1上點n處 過g作gk e1g1 k為垂足 則gk oo1 32 因為eg 14 e1g1 62 所以kg1 24 從而gg1 40 設(shè) egg1 eng 則sin sin cos kgg1 因為 所以cos 在 eng中 由正弦定理可得 解得sin 因為0 所以cos 于是sin neg sin sin sin cos cos sin 記en與水面的交點為p2 過p2作p2q2 eg q2為垂足 則p2q2 平面efgh 故p2q2 12 從而ep2 20 答 玻璃棒l沒入水中部分的長度為20cm 如果將 沒入水中部分 理解為 水面以上部分 則結(jié)果為20cm 3 2016江蘇 15 14分 在 abc中 ac 6 cosb c 1 求ab的長 2 求cos的值 解析 1 因為cosb 0 b 所以sinb 由正弦定理得ab 5 2 解法一 在 abc中 a b c 所以a b c 于是cosa cos b c cos cosbcos sinb sin 又cosb sinb 故cosa 因為0 a 所以sina 因此 cos cosacos sinasin 解法二 因為cosc cos 所以bc2 6bc 14 0 解得bc 7或 舍去 所以cosa 又a 0 所以sina 于是cos cosa sina 4 2013江蘇 18 16分 0 430 如圖 游客從某旅游景區(qū)的景點a處下山至c處有兩種路徑 一種是從a沿直線步行到c 另一種是先從a沿索道乘纜車到b 然后從b沿直線步行到c 現(xiàn)有甲 乙兩位游客從a處下山 甲沿ac勻速步行 速度為50m min 在甲出發(fā)2min后 乙從a乘纜車到b 在b處停留1min后 再從b勻速步行到c 假設(shè)纜車勻速直線運行的速度為130m min 山路ac長為1260m 經(jīng)測量 cosa cosc 1 求索道ab的長 2 問乙出發(fā)多少分鐘后 乙在纜車上與甲的距離最短 3 為使兩位游客在c處互相等待的時間不超過3分鐘 乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi) 解析 1 在 abc中 因為cosa cosc 所以sina sinc 從而sinb sin a c sin a c sinacosc cosasinc 由 得ab sinc 1040 m 所以索道ab的長為1040m 2 設(shè)乙出發(fā)t分鐘后 甲 乙兩游客距離為dm 此時 甲行走了 100 50t m 乙距離a處130tm 所以由余弦定理得d2 100 50t 2 130t 2 2 130t 100 50t 200 37t2 70t 50 因0 t 即0 t 8 故當(dāng)t min時 甲 乙兩游客距離最短 3 由 得bc sina 500 m 乙從b出發(fā)時 甲已走了50 2 8 1 550 m 還需走710m才能到達c 設(shè)乙步行的速度為vm min 由題意得 3 3 解得 v 所以為使兩位游客在c處互相等待的時間不超過3分鐘 乙步行的速度應(yīng)控制在 單位 m min 范圍內(nèi) 評析本題考查正 余弦定理 二次函數(shù)的最值以及兩角和的正弦等基礎(chǔ)知識和基本技能 考查學(xué)生閱讀能力和分析 解決實際問題的能力 考點一正 余弦弦定理1 2017課標(biāo)全國 文 16 5分 abc的內(nèi)角a b c的對邊分別為a b c 若2bcosb acosc ccosa 則b b組統(tǒng)一命題 省 區(qū) 市 卷題組 答案60 解析解法一 由正弦定理得2sinbcosb sinacosc sinc cosa 即sin2b sin a c 即sin2b sin 180 b 可得b 60 解法二 由余弦定理得2b a c 即b b 所以a2 c2 b2 ac 所以cosb 又0 b 180 所以b 60 思路分析利用正弦定理或余弦定理將邊角統(tǒng)一后求解 2 2017課標(biāo)全國 文改編 11 5分 abc的內(nèi)角a b c的對邊分別為a b c 已知sinb sina sinc cosc 0 a 2 c 則c 答案 解析本題考查正弦定理和兩角和的正弦公式 在 abc中 sinb sin a c 則sinb sina sinc cosc sin a c sina sinc cosc 0 即sinacosc cosasinc sinasinc sinacosc 0 cosasinc sinasinc 0 sinc 0 cosa sina 0 即tana 1 即a 由 得 sinc 又0 c c 方法總結(jié)解三角形問題首先要熟悉正弦定理 余弦定理 其次還要注意應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理 以達到求解三角函數(shù)值時消元的目的 例如本題中sinb sin a c 的應(yīng)用 3 2017山東理改編 9 5分 在 abc中 角a b c的對邊分別為a b c 若 abc為銳角三角形 且滿足sinb 1 2cosc 2sinacosc cosasinc 則下列等式成立的是 a 2b b 2a a 2b b 2a 答案 解析本題考查三角公式的運用和正弦定理 余弦定理 解法一 因為sinb 1 2cosc 2sinacosc cosasinc 所以sinb 2sinbcosc sinacosc sin a c 所以sinb 2sinbcosc sinacosc sinb 即cosc 2sinb sina 0 所以cosc 0或2sinb sina 即c 90 或2b a 又 abc為銳角三角形 所以0 c 90 故2b a 解法二 由正弦定理和余弦定理得b 2a c 所以2b2 a2 3b2 c2 即 a2 b2 c2 a2 b2 c2 即 a2 b2 c2 0 所以a2 b2 c2或2b a 又 abc為銳角三角形 所以a2 b2 c2 故2b a 方法總結(jié)解三角形時 可以由正弦定理 余弦定理將邊角互化 邊角統(tǒng)一后 化簡整理即可求解 注意靈活運用三角公式 4 2017浙江 14 5分 已知 abc ab ac 4 bc 2 點d為ab延長線上一點 bd 2 連接cd 則 bdc的面積是 cos bdc 答案 解析本題考查余弦定理 同角三角函數(shù)關(guān)系式 二倍角公式 三角形面積公式 考查運算求解能力 ab ac 4 bc 2 cos abc abc為三角形的內(nèi)角 sin abc sin cbd 故s cbd 2 2 bd bc 2 abc 2 bdc 又cos abc 2cos2 bdc 1 得cos2 bdc 又 bdc為銳角 cos bdc 5 2016課標(biāo)全國 改編 4 5分 abc的內(nèi)角a b c的對邊分別為a b c 已知a c 2 cosa 則b 答案3 解析由余弦定理得5 22 b2 2 2bcosa cosa 3b2 8b 3 0 b 3 評析本題考查了余弦定理的應(yīng)用 考查了方程的思想方法 6 2014課標(biāo) 16 5分 0 465 已知a b c分別為 abc三個內(nèi)角a b c的對邊 a 2 且 2 b sina sinb c b sinc 則 abc面積的最大值為 答案 解析因為a 2 所以 2 b sina sinb c b sinc可化為 a b sina sinb c b sinc 由正弦定理可得 a b a b c b c 即b2 c2 a2 bc 由余弦定理可得cosa 又0 a 故a 又cosa 所以bc 4 當(dāng)且僅當(dāng)b c時取等號 由三角形面積公式知s abc bcsina bc bc 故 abc面積的最大值為 評析本題考查正弦定理 余弦定理 三角形面積公式以及基本不等式的應(yīng)用 考查考生對知識的綜合應(yīng)用能力以及運算求解能力 7 2016山東改編 8 5分 abc中 角a b c的對邊分別是a b c 已知b c a2 2b2 1 sina 則a 答案 解析在 abc中 由b c 得cosa 又a2 2b2 1 sina 所以cosa sina 即tana 1 又知a 0 所以a 評析恰當(dāng)運用余弦定理的變形形式是求解本題的關(guān)鍵 8 2016北京 13 5分 在 abc中 a a c 則 答案1 解析在 abc中 a2 b2 c2 2bc cosa 將 a a c代入 可得 c 2 b2 c2 2bc 整理得2c2 b2 bc c 0 等式兩邊同時除以c2 得2 即2 令t t 0 有2 t2 t 即t2 t 2 0 解得t 1或t 2 舍去 故 1 思路分析本題先由余弦定理列出關(guān)于b c的方程 再將方程轉(zhuǎn)化為以為變元的方程求解 9 2015天津 13 5分 在 abc中 內(nèi)角a b c所對的邊分別為a b c 已知 abc的面積為3 b c 2 cosa 則a的值為 答案8 解析因為cosa 0 a 所以sina 由3 bcsina得bc 24 又因為b c 2 所以b 6 c 4 由余弦定理得a2 b2 c2 2bccosa 36 16 12 64 故a 8 10 2015福建 12 4分 若銳角 abc的面積為10 且ab 5 ac 8 則bc等于 答案7 解析設(shè)內(nèi)角a b c所對的邊分別為a b c 由已知及bcsina 10得sina 因為a為銳角 所以a 60 cosa 由余弦定理得a2 b2 c2 2bccosa 25 64 2 40 49 故a 7 即bc 7 評析本題考查了三角形的面積和解三角形 利用三角形的面積求出cosa是求解關(guān)鍵 11 2016四川 18 12分 在 abc中 角a b c所對的邊分別是a b c 且 1 證明 sinasinb sinc 2 若b2 c2 a2 bc 求tanb 解析 1 證明 根據(jù)正弦定理 可設(shè) k k 0 則a ksina b ksinb c ksinc 代入 中 有 變形可得sinasinb sinacosb cosasinb sin a b 在 abc中 由a b c 有sin a b sin c sinc 所以sinasinb sinc 2 由已知 b2 c2 a2 bc 根據(jù)余弦定理 有cosa 所以sina 由 1 sinasinb sinacosb cosasinb 所以sinb cosb sinb 故tanb 4 方法總結(jié)解三角形中 要根據(jù)題干條件恰當(dāng)選取正 余弦定理 當(dāng)涉及邊較多時 可考慮余弦定理 當(dāng)涉及角較多時 可考慮正弦定理 abc中 也常用到sin a b sinc 考點二解三角形及其應(yīng)用1 2015課標(biāo) 16 5分 0 043 在平面四邊形abcd中 a b c 75 bc 2 則ab的取值范圍是 答案 解析依題意作出四邊形abcd 連接bd 令bd x ab y cdb cbd 在 bcd中 由正弦定理得 由題意可知 adc 135 則 adb 135 在 abd中 由正弦定理得 所以 即y 因為0 75 75 180 所以30 105 當(dāng) 90 時 易得y 當(dāng) 90 時 y 又tan30 tan105 tan 60 45 2 結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)知 2 且 0 所以y 綜上所述 y 評析本題考查了三角函數(shù)和解三角形 利用函數(shù)的思想方法是求解關(guān)鍵 屬偏難題 2 2016課標(biāo)全國 15 5分 abc的內(nèi)角a b c的對邊分別為a b c 若cosa cosc a 1 則b 答案 解析由cosc 0 c 得sinc 由cosa 0 a 得sina 所以sinb sin a c sin a c sinacosc sinccosa 根據(jù)正弦定理得b 評析本題考查了正弦定理的應(yīng)用及運算求解能力 3 2016課標(biāo)全國 改編 9 5分 在 abc中 b bc邊上的高等于bc 則sina 答案 解析解法一 過a作ad bc于d 設(shè)bc a 由已知得ad b ad bd bad bd dc a tan dac 2 tan bac tan 3 cos2 bac sin bac 解法二 過a作ad bc于d 設(shè)bc a 由已知得ad b ad bd bd ad dc a ac a 在 abc中 由正弦定理得 sin bac 4 2015湖北 13 5分 如圖 一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛 到a處時測得公路北側(cè)一山頂d在西偏北30 的方向上 行駛600m后到達b處 測得此山頂在西偏北75 的方向上 仰角為30 則此山的高度cd m 答案100 解析依題意有ab 600 cab 30 cba 180 75 105 dbc 30 dc cb acb 45 在 abc中 由 得 有cb 300 在rt bcd中 cd cb tan30 100 則此山的高度cd 100m 5 2013福建理 13 4分 如圖 在 abc中 已知點d在bc邊上 ad ac sin bac ab 3 ad 3 則bd的長為 答案 解析cos bad cos sin bac 故在 abd中 由余弦定理知 bd2 ba2 da2 2ba ad cos bad 3 故bd 6 2017課標(biāo)全國 理 17 12分 abc的內(nèi)角a b c的對邊分別為a b c 已知sin a c 8sin2 1 求cosb 2 若a c 6 abc的面積為2 求b 解析本題考查了三角公式的運用和余弦定理的應(yīng)用 1 由題設(shè)及a b c 得sinb 8sin2 故sinb 4 1 cosb 上式兩邊平方 整理得17cos2b 32cosb 15 0 解得cosb 1 舍去 cosb 2 由cosb 得sinb 故s abc acsinb ac 又s abc 2 則ac 由余弦定理及a c 6得b2 a2 c2 2accosb a c 2 2ac 1 cosb 36 2 4 所以b 2 解后反思在余弦定理和三角形面積公式的運用過程中 要重視 整體運算 的技巧 如本題中b2 a2 c2 2accosb a c 2 2ac 1 cosb 中的轉(zhuǎn)化就說明了這一點 7 2017課標(biāo)全國 理 17 12分 abc的內(nèi)角a b c的對邊分別為a b c 已知sina cosa 0 a 2 b 2 1 求c 2 設(shè)d為bc邊上一點 且ad ac 求 abd的面積 解析本題考查解三角形 1 由已知可得tana 所以a 在 abc中 由余弦定理得28 4 c2 4ccos 即c2 2c 24 0 解得c 6 舍去 或c 4 2 由題設(shè)可得 cad 所以 bad bac cad 故 abd面積與 acd面積的比值為 1 又 abc的面積為 4 2sin bac 2 所以 abd的面積為 思路分析 1 由sina cosa 0 可求得tana 注意到a是三角形內(nèi)角 得a 再由余弦定理求c 2 由題意知 cad bad 于是可求得的值 再由s abc 4 2sin bac 2得解 一題多解 2 另解一 由余弦定理得cosc 在rt acd中 cosc cd ad db cd s abd s acd 2 sinc 另解二 bad 由余弦定理得cosc cd ad s abd 4 sin dab 另解三 過b作be垂直ad 交ad的延長線于e 在 abe中 eab ab 4 be 2 be ca 從而可得 adc edb bd dc 即d為bc中點 s abd s abc 2 4 sin cab 8 2017山東文 17 12分 在 abc中 角a b c的對邊分別為a b c 已知b 3 6 s abc 3 求a和a 解析本題考查向量數(shù)量積的運算及解三角形 因為 6 所以bccosa 6 又s abc 3 所以bcsina 6 因此tana 1 又0 a 所以a 又b 3 所以c 2 由余弦定理a2 b2 c2 2bccosa 得a2 9 8 2 3 2 29 所以a 9 2017北京理 15 13分 在 abc中 a 60 c a 1 求sinc的值 2 若a 7 求 abc的面積 解析本題考查正 余弦定理的應(yīng)用 考查三角形的面積公式 1 在 abc中 因為 a 60 c a 所以由正弦定理得sinc 2 因為a 7 所以c 7 3 由余弦定理a2 b2 c2 2bccosa得72 b2 32 2b 3 解得b 8或b 5 舍 所以 abc的面積s bcsina 8 3 6 解后反思根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點 利用正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵 在求解面積時 經(jīng)常用余弦定理求出兩邊乘積 10 2017天津文 15 13分 在 abc中 內(nèi)角a b c所對的邊分別為a b c 已知asina 4bsinb ac a2 b2 c2 1 求cosa的值 2 求sin 2b a 的值 解析本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 二倍角的正弦 余弦公式 兩角差的正弦公式以及正弦定理 余弦定理等基礎(chǔ)知識 考查運算求解能力 1 由asina 4bsinb 及 得a 2b 由ac a2 b2 c2 及余弦定理 得cosa 2 由 1 可得sina 代入asina 4bsinb 得sinb 由 1 知 a為鈍角 所以cosb 于是sin2b 2sinbcosb cos2b 1 2sin2b 故sin 2b a sin2bcosa cos2bsina 規(guī)律總結(jié)解有關(guān)三角形問題時應(yīng)注意 1 在解有關(guān)三角形的題目時 要有意識地考慮用哪個定理更適合或兩個定理都要用 要抓住能夠利用某個定理的信息 一般地 如果式子中含有角的余弦或邊的二次式 要考慮用余弦定理 如果式子中含有角的正弦或邊的一次式 要考慮用正弦定理 以上特征都不明顯時 則要考慮到兩個定理都有可能用到 2 解三角形問題時應(yīng)注意三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用及角的范圍 11 2017天津理 15 13分 在 abc中 內(nèi)角a b c所對的邊分別為a b c 已知a b a 5 c 6 sinb 1 求b和sina的值 2 求sin的值 解析本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 二倍角的正弦 余弦公式 兩角和的正弦公式以及正弦定理 余弦定理等基礎(chǔ)知識 考查運算求解能力 1 在 abc中 因為a b 故由sinb 可得cosb 由已知及余弦定理 有b2 a2 c2 2accosb 13 所以b 由正弦定理 得sina 所以 b的值為 sina的值為 2 由 1 及a c 得cosa 所以sin2a 2sinacosa cos2a 1 2sin2a 故sin sin2acos cos2asin 方法總結(jié)1 利用正 余弦定理求邊或角的步驟 1 根據(jù)已知的邊和角畫出相應(yīng)的圖形 并在圖中標(biāo)出 2 結(jié)合圖形選擇用正弦定理或余弦定理求解 3 在運算和求解過程中注意三角恒等變換和三角形內(nèi)角和定理的運用 2 解決三角函數(shù)及解三角形問題的滿分策略 1 認(rèn)真審題 把握變形方向 2 規(guī)范書寫 合理選擇公式 3 計算準(zhǔn)確 注意符號 12 2015課標(biāo) 17 12分 abc中 d是bc上的點 ad平分 bac abd面積是 adc面積的2倍 1 求 2 若ad 1 dc 求bd和ac的長 解析 1 s abd ab adsin bad s adc ac adsin cad 因為s abd 2s adc bad cad 所以ab 2ac 由正弦定理可得 2 因為s abd s adc bd dc 所以bd 在 abd和 adc中 ab2 ad2 bd2 2ad bdcos adb ac2 ad2 dc2 2ad dccos adc 故ab2 2ac2 3ad2 bd2 2dc2 6 由 1 知ab 2ac 所以ac 1 評析本題考查正弦定理 余弦定理的應(yīng)用以及三角形的面積公式 屬常規(guī)題 中等偏易 13 2014天津 16 13分 在 abc中 內(nèi)角a b c所對的邊分別為a b c 已知a c b sinb sinc 1 求cosa的值 2 求cos的值 解析 1 在 abc中 由 及sinb sinc 可得b c 又由a c b 有a 2c 所以 cosa 2 在 abc中 由cosa 可得sina 于是cos2a 2cos2a 1 sin2a 2sina cosa 所以cos cos2a cos sin2a sin 評析本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 二倍角的正弦與余弦公式 兩角差的余弦公式以及正弦定理 余弦定理等基礎(chǔ)知識 考查運算求解能力 14 2015湖南 17 12分 設(shè) abc的內(nèi)角a b c的對邊分別為a b c a btana 且b為鈍角 1 證明 b a 2 求sina sinc的取值范圍 解析 1 證明 由a btana及正弦定理 得 所以sinb cosa 即sinb sin 又b為鈍角 因此 a 故b a 即b a 2 由 1 知 c a b 2a 0 所以a 于是sina sinc sina sin sina cos2a 2sin2a sina 1 2 因為0 a 所以0 sina 因此 2 由此可知sina sinc的取值范圍是 評析本題以解三角形為背景 考查三角恒等變換及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 對考生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性有較高要求 15 2014浙江 18 14分 在 abc中 內(nèi)角a b c所對的邊分別為a b c 已知a b c cos2a cos2b sinacosa sinbcosb 1 求角c的大小 2 若sina 求 abc的面積 解析 1 由題意得 sin2a sin2b 即sin2a cos2a sin2b cos2b sin sin 由a b 得a b 又a b 0 得2a 2b 即a b 所以c 2 由 1 及c sina 得a 由a c 得a c 從而cosa 故sinb sin a c sinacosc cosasinc 所以 abc的面積為s acsinb 評析本題主要考查誘導(dǎo)公式 兩角和與差公式 二倍角公式 正弦定理 三角形面積公式等基礎(chǔ)知識 同時考查運算求解能力 16 2013課標(biāo)全國 理 17 12分 如圖 在 abc中 abc 90 ab bc 1 p為 abc內(nèi)一點 bpc 90 1 若pb 求pa 2 若 apb 150 求tan pba 解析 1 由已知得 pbc 60 所以 pba 30 在 pba中 由余弦定理得pa2 3 2 cos30 故pa 2 設(shè) pba 由已知得pb sin 在 pba中 由正弦定理得 化簡得cos 4sin 所以tan 即tan pba 評析本題考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形 考查了運算求解能力和分析 解決問題的能力 題目新穎且有一定的難度 通過pb把 pbc和 pab聯(lián)系起來利用正弦定理是解題關(guān)鍵 1 2016天津理改編 3 5分 在 abc中 若ab bc 3 c 120 則ac c組教師專用題組 答案1 解析在 abc中 設(shè)a b c所對的邊分別為a b c 則由c2 a2 b2 2abcosc 得13 9 b2 2 3b 即b2 3b 4 0 解得b 1 負(fù)值舍去 即ac 1 評析本題考查了余弦定理的應(yīng)用和方程思想 屬容易題 2 2015北京 12 5分 在 abc中 a 4 b 5 c 6 則 答案1 解析在 abc中 由余弦定理的推論可得cosa 由正弦定理可知 1 評析本題主要考查正弦定理 余弦定理的推論以及二倍角公式的應(yīng)用 考查學(xué)生的運算求解能力和知識的應(yīng)用轉(zhuǎn)化能力 3 2014天津 12 5分 在 abc中 內(nèi)角a b c所對的邊分別是a b c 已知b c a 2sinb 3sinc 則cosa的值為 答案 解析由2sinb 3sinc得2b 3c 即b c 代入b c a 整理得a 2c 故cosa 答案 解析由正弦定理得sinb sinacosc sinccosa sinb 即sinbsin a c sinb 因為sinb 0 所以sinb 所以 b 或 又因為a b 故 b 4 2013遼寧理改編 6 5分 在 abc中 內(nèi)角a b c的對邊分別為a b c 若asinbcosc csinbcosa b 且a b 則 b 5 2013浙江理 16 4分 在 abc中 c 90 m是bc的中點 若sin bam 則sin bac 答案 解析令 bam bac 故 cm am sin m為bc的中點 bm am sin 在 amb中 由正弦定理知 即 sin cos cos sin cos cos2 整理得1 2sin cos cos2 解得tan 故sin 評析本題考查解三角形 正弦定理的應(yīng)用和三角函數(shù)求值問題 考查學(xué)生的圖形觀察能力和數(shù)據(jù)處理能力 6 2014廣東 12 5分 在 abc中 角a b c所對的邊分別為a b c 已知bcosc ccosb 2b 則 答案2 解析利用余弦定理 將bcosc ccosb 2b轉(zhuǎn)化為b c 2b 化簡得 2 7 2014湖南 18 12分 如圖 在平面四邊形abcd中 ad 1 cd 2 ac 1 求cos cad的值 2 若cos bad sin cba 求bc的長 解析 1 在 adc中 由余弦定理 得cos cad 2 設(shè) bac 則 bad cad 因為cos cad cos bad 所以sin cad sin bad 于是sin sin bad cad sin badcos cad cos badsin cad 在 abc中 由正弦定理 得 故bc 3 8 2013山東理 17 12分 設(shè) abc的內(nèi)角a b c所對的邊分別為a b c 且a c 6 b 2 cosb 1 求a c的值 2 求sin a b 的值 解析 1 由余弦定理b2 a2 c2 2accosb 得b2 a c 2 2ac 1 cosb 又b 2 a c 6 cosb 所以ac 9 解得a 3 c 3 2 在 abc中 sinb 由正弦定理得sina 因為a c 所以a為銳角 所以cosa 因此sin a b sinacosb cosasinb 評析本題考查三角恒等變換和解三角形等基礎(chǔ)知識和基本技能 考查學(xué)生的運算求解能力 9 2013北京理 15 13分 在 abc中 a 3 b 2 b 2 a 1 求cosa的值 2 求c的值 解析 1 因為a 3 b 2 b 2 a 所以在 abc中 由正弦定理得 所以 故cosa 2 由 1 知cosa 所以sina 又因為 b 2 a 所以cosb 2cos2a 1 所以sinb 在 abc中 sinc sin a b sinacosb cosasinb 所以c 5 評析本題考查正弦定理及三角恒等變換 主要考查學(xué)生運算技巧和運算求解能力 二倍角公式和誘導(dǎo)公式的熟練應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵 10 2014大綱全國 17 10分 abc的內(nèi)角a b c的對邊分別為a b c 已知3acosc 2ccosa tana 求b 解析由題設(shè)和正弦定理得3sinacosc 2sinccosa 故3tanacosc 2sinc 因為tana 所以cosc 2sinc tanc 6分 所以tanb tan 180 a c tan a c 8分 1 即b 135 10分 11 2013課標(biāo)全國 理 17 12分 abc的內(nèi)角a b c的對邊分別為a b c 已知a bcosc csinb 1 求b 2 若b 2 求 abc面積的最大值 解析 1 由已知及正弦定理得sina sinbcosc sinc sinb 又a b c 故sina sin b c sinbcosc cosbsinc 由 和c 0 得sinb cosb 又b 0 所以b 2 abc的面積s acsinb ac 由已知及余弦定理得4 a2 c2 2accos 又a2 c2 2ac 故ac 當(dāng)且僅當(dāng)a c時 等號成立 因此 abc面積的最大值為 1 12 2014陜西 16 12分 abc的內(nèi)角a b c所對的邊分別為a b c 1 若a b c成等差數(shù)列 證明 sina sinc 2sin a c 2 若a b c成等比數(shù)列 求cosb的最小值 解析 1 證明 a b c成等差數(shù)列 a c 2b 由正弦定理得sina sinc 2sinb sinb sin a c sin a c sina sinc 2sin a c 2 a b c成等比數(shù)列 b2 ac 由余弦定理得cosb 當(dāng)且僅當(dāng)a c時等號成立 cosb的最小值為 評析本題考查了等差 等比數(shù)列 正 余弦定理 基本不等式等知識 考查運算求解能力 13 2015陜西 17 12分 abc的內(nèi)角a b c所對的邊分別為a b c 向量m a b 與n cosa sinb 平行 1 求a 2 若a b 2 求 abc的面積 解析 1 因為m n 所以asinb bcosa 0 由正弦定理 得sinasinb sinbcosa 0 又sinb 0 從而tana 由于00 所以c 3 故 abc的面積為bcsina 解法二 由正弦定理 得 從而sinb 又由a b 知a b 所以cosb 故sinc sin a b sin sinbcos cosbsin 所以 abc的面積為absinc 14 2016浙江 16 14分 在 abc中 內(nèi)角a b c所對的邊分別為a b c 已知b c 2acosb 1 證明 a 2b 2 若cosb 求cosc的值 解析 1 證明 由正弦定理得sinb sinc 2sinacosb 故2sinacosb sinb sin a b sinb sinacosb cosasinb 于是sinb sin a b 又a b 0 故0 a b 所以 b a b 或b a b 因此a 舍去 或a 2b 所以 a 2b 2 由cosb 得sinb cos2b 2cos2b 1 故cosa sina cosc cos a b cosacosb sinasinb 評析本題主要考查正弦和余弦定理等基礎(chǔ)知識 同時考查運算求解能力 一 填空題 每題5分 共20分 1 2017鹽城高三第一學(xué)期期中 9 在 abc中 已知sina sinb sinc 3 5 7 則此三角形的最大內(nèi)角的度數(shù)為 三年模擬 a組2015 2017年高考模擬 基礎(chǔ)題組 時間 50分鐘分值 60分 答案120 解析因為sina sinb sinc 3 5 7 所以a b c 3 5 7 從而可知c最大 由余弦定理得cosc 又0 c 180 所以c 120 2 2016江蘇南京 鹽城一模 7 在 abc中 設(shè)a b c分別為角a b c的對邊 若a 5 a cosb 則c 答案7 解析由cosb 0 b 得sinb 由已知及 得b 4 由已知及cosb 得c2 6c 7 0 解得c 7或c 1 舍 3 2016江蘇如東高級中學(xué)期中 13 在銳角 abc中 角a b c的對邊分別是a b c a 8 b 10 abc的面積為20 則 abc的最大角的正切值是 答案 4 2015江蘇泰州一模 13 在 abc中 角a b c所對的邊分別為a b c 若 b c且7a2 b2 c2 4 則 abc面積的最大值為 解析由題意得20 8 10 sinc sinc c 或c 舍 由余弦定理得c2 82 102 2 8 10 84 由三角形中大邊對大角知角b最大 則cosb 所以tanb 答案 解析由 b c得b c 代入7a2 b2 c2 4 得7a2 2b2 4 即2b2 4 7a2 由余弦定理得 cosc 所以sinc 則 abc的面積s absinc ab a 4 當(dāng)且僅當(dāng)15a2 8 15a2時取等號 此時a2 所以 abc的面積的最大值為 故答案為 二 解答題 共40分 5 2017鹽城高三第一學(xué)期期中考試 17 如圖 在四邊形abcd中 4 12 e為ac的中點 1 若cos abc 求 abc的面積 2 若 2 求 的值 解析 1 cos abc abc 0 sin abc 12 cos abc 13 s abc sin abc 13 2 以e為原點 ac所在直線為x軸 建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系 則 12 2x 2 2y 2x 2 2y 4x2 4 4y2 x2 y2 4 2 x y 2 x y x2 y2 4 0 則a 2 0 c 2 0 設(shè)d x y 易得b 2x 2y 6 2017南京 鹽城高三第二次模擬 15 如圖 在 abc中 d為邊bc上一點 ad 6 bd 3 dc 2 1 若ad bc 如圖1 求 bac的大小 2 若 abc 如圖2 求 adc的面積 圖1圖2 解析 1 設(shè) bad dac 因為ad bc ad 6 bd 3 dc 2 所以tan tan 所以tan bac tan 1 又 bac 0 所以 bac 2 設(shè) bad 在 abd中 abd ad 6 bd 3 由正弦定理得 即 解得sin 因為ad bd 所以 為銳角 從而cos 因此sin adc sin sin cos cos sin 所以 adc的面積s ad dc sin adc 6 2 1 7 2016江蘇常州高級中學(xué)階段調(diào)研 15 在 abc中 a ab 6 ac 3 1 求sin的值 2 若點d在bc邊上 ad bd 求ad的長 解析 1 設(shè) abc的內(nèi)角a b c所對邊的長分別是a b c 由余弦定理得a2 b2 c2 2bccos bac 3 2 62 2 3 6 cos 18 36 36 90 所以a 3 由正弦定理得sinb 由題設(shè)知0 b 所以cosb 所以sin sinbcos cosbsin 2 因為ad bd 所以 bad b 所以 adb 2b 在 abd中 由正弦定理得ad 8 2016江蘇蘇州一模 15 在 abc中 三個內(nèi)角a b c所對的邊分別為a b c 且滿足 2cosc 1 求角c的大小 2 若 abc的面積為2 a b 6 求邊c的長 解析 1 由余弦定理知acosb bcosa a b c 1 cosc 又c 0 c 2 由 1 知c s abc absinc 2 ab 8 又 a b 6 c2 a2 b2 2abcosc a b 2 3ab 12 c 2 一 填空題 每題5分 共20分 1 2017江蘇南京 鹽城一模 14 在 abc中 a b c所對的邊分別為a b c 若a2 b2 2c2 8 則 abc面積s的最大值為 b組2015 2017年高考模擬 綜合題組 時間 30分鐘分值 40分 答案 解析由s absinc 得s2 a2b2 1 cos2c a2b2 a2 b2 2c2 8 a2 b2 8 2c2 s2 a2b2 a2b2 a2b2 c 當(dāng)且僅當(dāng)a b時等號成立 由二次函數(shù)的性質(zhì)可知 當(dāng)c 時 s2取得最大值 最大值為 故s的最大值為 思路分析由三角形面積公式 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式 余弦定理 結(jié)合題意可求出s2 a2b2 進而利用不等式知識求出s2 c 從而利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求最值 2 2017蘇北三市模擬 14 已知 abc三個內(nèi)角a b c所對的邊分別為a b c 且c c 2 當(dāng) 取得最大值時的值為 答案2 解析由正弦定理得 所以b bccosa 2 cosa sin acosa sin2a cos2a 2 sin 2 所以當(dāng)a 時 取最大值 此時b a c 從而 2 所以當(dāng) 取得最大值時的值為2 3 2017江蘇蘇州期中 設(shè) abc的三個內(nèi)角a b c所對的邊為a b c 若a b c依次成等差數(shù)列且a2 c2 kb2 則實數(shù)k的取值范圍是 答案 1 2 解析 a b c依次成等差數(shù)列 2b a c 又a b c b a2 c2 b2 2accosb ac b2 0 即 b2 0 k 2 又a2 c2 b2 2accosb 0 且a2 c2 kb2 kb2 b2 0 k 1 1 k 2 4 2016江蘇無錫 常州 鎮(zhèn)江二模 10 若一個鈍角三角形的三內(nèi)角成等差數(shù)列 且最大邊長與最小邊長之比為m 則實數(shù)m的取值范圍是 答案 2 解析依題意可設(shè)三