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第十一章 級數(shù)第一節(jié) 常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)對于數(shù)列我們稱為無窮級數(shù)，記為=其中稱為通項。問題：什么情況下這個無窮項的和是一個確定的數(shù)，或者說有意義，也就是后面說的收斂？我們可以構造部分和數(shù)列來解決這個問題。定義1：如果級數(shù)的部分和數(shù)列有極限，即，則稱級數(shù)收斂，稱為級數(shù)的和，并寫成=；如果數(shù)列沒有極限則稱級數(shù)發(fā)散。例1：無窮級數(shù) 叫做等比級數(shù)（幾何級數(shù)）討論其斂散性。解：當時，即收斂；當時，不存在，即發(fā)散。例2：判定級數(shù)的收斂性。解： 因為，不存在，即發(fā)散。例3：判別無窮級數(shù)的斂散性。解：因為，即收斂。 二、收斂級數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1：如果級數(shù)收斂于，則它的各項都乘以一個常數(shù)所得的級數(shù)也收斂其和為。證明：設的部分和數(shù)列為，的部分和數(shù)列為，則有性質(zhì)2：如果級數(shù)，分別收斂于和，則級數(shù)收斂于和。證明：設分別為級數(shù)，和的部分和數(shù)列，則有性質(zhì)3：在級數(shù)中去掉、加上或改變有限項，不會改變級數(shù)的收斂性。證明：設級數(shù)改變了有限項，無妨設對應變成且設。為改變后所得級數(shù)的部分和數(shù)列；為級數(shù)的部分和數(shù)列，當時有性質(zhì)4：如果級數(shù)收斂，則對這級數(shù)的各項任意加括號后所成的級數(shù)還是收斂的。證明：設是加括號后所得級數(shù)的部分和數(shù)列，是級數(shù)的部分和數(shù)列，則有是的子列，所以注：級數(shù)：發(fā)散，但級數(shù)收斂于。性質(zhì)5：（級數(shù)收斂必要條件）如果級數(shù)收斂，則必有。證明：設是級數(shù)的部分和數(shù)列，且有。注：調(diào)和級數(shù)發(fā)散。解：因為

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