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第十一章 級數(shù)第一節(jié) 常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)對于數(shù)列我們稱為無窮級數(shù),記為=其中稱為通項。問題:什么情況下這個無窮項的和是一個確定的數(shù),或者說有意義,也就是后面說的收斂?我們可以構造部分和數(shù)列來解決這個問題。定義1:如果級數(shù)的部分和數(shù)列有極限,即,則稱級數(shù)收斂,稱為級數(shù)的和,并寫成=;如果數(shù)列沒有極限則稱級數(shù)發(fā)散。例1:無窮級數(shù) 叫做等比級數(shù)(幾何級數(shù))討論其斂散性。解:當時,即收斂;當時,不存在,即發(fā)散。例2:判定級數(shù)的收斂性。解: 因為,不存在,即發(fā)散。例3:判別無窮級數(shù)的斂散性。解:因為,即收斂。 二、收斂級數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1:如果級數(shù)收斂于,則它的各項都乘以一個常數(shù)所得的級數(shù)也收斂其和為。證明:設的部分和數(shù)列為,的部分和數(shù)列為,則有性質(zhì)2:如果級數(shù),分別收斂于和,則級數(shù)收斂于和。證明:設分別為級數(shù),和的部分和數(shù)列,則有性質(zhì)3:在級數(shù)中去掉、加上或改變有限項,不會改變級數(shù)的收斂性。證明:設級數(shù)改變了有限項,無妨設對應變成且設。為改變后所得級數(shù)的部分和數(shù)列;為級數(shù)的部分和數(shù)列,當時有性質(zhì)4:如果級數(shù)收斂,則對這級數(shù)的各項任意加括號后所成的級數(shù)還是收斂的。證明:設是加括號后所得級數(shù)的部分和數(shù)列,是級數(shù)的部分和數(shù)列,則有是的子列,所以注:級數(shù):發(fā)散,但級數(shù)收斂于。性質(zhì)5:(級數(shù)收斂必要條件)如果級數(shù)收斂,則必有。證明:設是級數(shù)的部分和數(shù)列,且有。注:調(diào)和級數(shù)發(fā)散。解:因為
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