高中數(shù)學(xué) 第二章 平面解析幾何初步 2.3 圓的方程 2.3.1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程課件 新人教B版必修2.ppt

2 3圓的方程 2 3 1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 1 掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程 能根據(jù)圓心坐標(biāo)和圓的半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 能根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓的圓心和半徑 并運(yùn)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決一些簡單的實(shí)際問題 2 掌握利用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法 并能借助圓的幾何性質(zhì)處理與圓心及半徑有關(guān)的問題 3 會(huì)判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 1 2 3 1 圓的定義平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是圓 定點(diǎn)是圓心 定長是圓的半徑 設(shè)m x y 是 c上的任意一點(diǎn) 點(diǎn)m在 c上的條件是 cm r r為 c的半徑 名師點(diǎn)撥圓的常用幾何性質(zhì)如下 1 圓心在過切點(diǎn) 且與切線垂直的直線上 2 圓心必是兩弦中垂線的交點(diǎn) 3 不過圓心的弦 弦心距d 半弦長m及半徑r滿足r2 d2 m2 4 直徑所對(duì)的圓周角是90 即圓的直徑的兩端點(diǎn)與圓周上異于端點(diǎn)的任意一點(diǎn)的連線互相垂直 1 2 3 做一做1 已知圓o的一條弦長為2 且此弦所對(duì)圓周角為60 則該圓的半徑為 1 2 3 2 圓的方程 1 圓心在坐標(biāo)原點(diǎn) 半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2 y2 r2 2 圓心坐標(biāo)為 a b 半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x a 2 y b 2 r2 1 2 3 歸納總結(jié)幾種特殊形式的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 1 2 3 做一做2 圓心是o 3 4 半徑為5的圓的方程為 a x 3 2 y 4 2 5b x 3 2 y 4 2 25c x 3 2 y 4 2 5d x 3 2 y 4 2 25答案 d 1 2 3 3 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系設(shè)點(diǎn)p x0 y0 和圓c x a 2 y b 2 r2 則點(diǎn)p在圓上 x0 a 2 y0 b 2 r2 pc r 點(diǎn)p在圓外 x0 a 2 y0 b 2 r2 pc r 點(diǎn)p在圓內(nèi) x0 a 2 y0 b 2 r2 pc r 1 2 3 做一做3 1 下面各點(diǎn)在圓 x 1 2 y 1 2 2上的是 答案 c 1 2 3 做一做3 2 點(diǎn)p m2 5 與圓x2 y2 24的位置關(guān)系是 a 在圓外b 在圓內(nèi)c 在圓上d 不確定解析 因?yàn)?m2 2 52 m4 25 24 所以點(diǎn)p在圓外 答案 a 1 2 1 圓的圖形不是函數(shù)的圖象剖析 根據(jù)函數(shù)知識(shí) 對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的某一曲線 如果垂直于x軸的直線與此曲線至多有一個(gè)交點(diǎn) 那么這條曲線是函數(shù)的圖象 否則 不是函數(shù)的圖象 對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的圓 垂直于x軸的直線與其至多有兩個(gè)交點(diǎn) 因此圓不是函數(shù)的圖象 但是存在圖象是圓弧形狀的函數(shù) 1 2 2 求圓關(guān)于一個(gè)點(diǎn)或一條直線對(duì)稱的圓的方程的問題剖析 要求圓c x a 2 y b 2 r2關(guān)于點(diǎn)p x0 y0 對(duì)稱的圓的方程 首先找圓心c a b 關(guān)于點(diǎn)p x0 y0 的對(duì)稱點(diǎn) 得到對(duì)稱圓的圓心 半徑不變 如 求圓 x 1 2 y2 4關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圓的方程 因?yàn)橐阎獔A的圓心是 1 0 它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是 1 0 所以所求的圓的方程為 x 1 2 y2 4 同理求圓關(guān)于直線mx ny p 0對(duì)稱的圓的方程 只需求圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn) 1 2 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 例1 根據(jù)下列條件分別求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 2 以m 4 5 n 6 1 為直徑兩端點(diǎn) 3 圓心為 1 3 經(jīng)過點(diǎn) 3 1 4 圓心為 2 5 且與直線4x 3y 3 0相切 5 圓心在直線x 2上 且與y軸交于點(diǎn)a 0 4 b 0 2 6 求經(jīng)過點(diǎn)a 4 1 且與直線x y 1 0相切于點(diǎn)b 2 1 的圓的方程 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 分析 1 2 3 4 5 根據(jù)各個(gè)條件 分別確定圓心坐標(biāo)和半徑大小 寫出標(biāo)準(zhǔn)方程 6 設(shè)圓的方程為 x a 2 y b 2 r2 根據(jù)題目條件列出關(guān)于a b r的方程組 解方程組求得a b r的值 即得圓的方程 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 反思1 在求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí) 要注意中點(diǎn)坐標(biāo)公式 點(diǎn)到直線的距離公式 兩點(diǎn)的距離公式的正確運(yùn)用 2 列方程組時(shí)要充分借助圓的幾何性質(zhì) 發(fā)現(xiàn)圖中幾何元素的關(guān)系 轉(zhuǎn)化為a b r的方程 3 解方程組時(shí) 要充分利用加減消元法 不要盲目運(yùn)用代入消元法 要將兩者結(jié)合起來 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 變式訓(xùn)練1 求下列圓的方程 1 圓心在直線y 2x上 且與直線y 1 x相切于點(diǎn) 2 1 2 圓心c 3 0 且截直線y x 1所得弦長為4 3 求經(jīng)過點(diǎn)p1 4 9 和p2 6 3 且以p1p2為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 例2 1 圓的直徑端點(diǎn)為 2 0 2 2 求此圓的方程 并判斷a 5 4 b 1 0 是在圓上 圓外 還是在圓內(nèi) 2 若點(diǎn)p 2 4 在圓 x 1 2 y 2 2 m的外部 求實(shí)數(shù)m的取值范圍 分析 1 求出圓心坐標(biāo)和半徑可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 判斷點(diǎn)在圓上 圓外 圓內(nèi)的方法是 根據(jù)已知點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系來判斷 2 利用點(diǎn)在圓的外部建立不等式求m的取值范圍 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 解 1 由已知得圓心坐標(biāo)為c 2 1 半徑r 1 則圓的方程為 x 2 2 y 1 2 1 a b兩點(diǎn)都在圓外 2 點(diǎn)p 2 4 在圓的外部 2 1 2 4 2 2 m 解得m0 因此實(shí)數(shù)m的取值范圍是0 m 5 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 反思一般地 以a x1 y1 b x2 y2 為直徑兩端點(diǎn)的圓的方程是 x x1 x x2 y y1 y y2 0 例如本例 1 中 由于直徑端點(diǎn)分別為 2 0 和 2 2 因此圓的方程為 x 2 x 2 y y 2 0 整理即得 x 2 2 y 1 2 1 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 變式訓(xùn)練2 下列各點(diǎn)中在圓 x 3 2 y 1 2 5的外部的是 a 2 0 b 3 3 c 1 4 d 1 2 解析 因?yàn)?1 3 2 4 1 2 4 9 13 5 所以點(diǎn) 1 4 在圓外部 答案 c 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 分析 對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)變化 半徑不變 另外也可利用相關(guān)點(diǎn)法來求 解 方法一 圓c關(guān)于直線l的對(duì)稱圖形仍然是圓 且半徑不變 故只需求圓心c 關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn) 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 方法二 設(shè)p x y 為所求曲線c 上任意一點(diǎn) p 關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為p x0 y0 則p x0 y0 在圓c上 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 反思本例中方法一更簡單一些 但需掌握點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)的求法 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 變式訓(xùn)練3 若圓c與圓 x 2 2 y 1 2 1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 則圓c的方程是 a x 2 2 y 1 2 1b x 2 2 y 1 2 1c x 1 2 y 2 2 1d x 1 2 y 2 2 1解析 圓c與圓 x 2 2 y 1 2 1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 則圓心c 2 1 故圓c的方程為 x 2 2 y 1 2 1 答案 a 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 例4 如圖 一座圓拱橋 當(dāng)水面在l位置時(shí) 拱頂離水面2m 水面寬12m 當(dāng)水面下降1m后 水面寬多少米 分析 建立平面直角坐標(biāo)系 求出圓拱橋所在圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 再利用方程解決相關(guān)問題 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 解 以圓拱橋拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn) 以過拱頂?shù)呢Q直直線為y軸 建立平面直角坐標(biāo)系 如圖 設(shè)圓心為c 水面所在弦的端點(diǎn)為a b 則由已知得a 6 2 設(shè)圓的半徑為r 則c 0 r 即圓的方程為x2 y r 2 r2 將點(diǎn)a的坐標(biāo) 6 2 代入方程 得36 r 2 2 r2 解得r 10 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 所以圓的方程為x2 y 10 2 100 當(dāng)水面下降1m后 可設(shè)點(diǎn)a 的坐標(biāo)為 x0 3 x0 0 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 反思建立的平面直角坐標(biāo)系不同 圓的方程也不同 建立平面直角坐標(biāo)系時(shí) 要盡量使方程簡單 并有利于目標(biāo)實(shí)現(xiàn) 本題若選擇其他方法建立平面直角坐標(biāo)系也不影響結(jié)論 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 變式訓(xùn)練4 已知某隧道的截面是半徑為4m的半圓 車輛只能在道路中心線一側(cè)行駛 一輛寬為2 7m 高為3m的貨車能不能駛?cè)脒@個(gè)隧道 解 以截面半圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn) 半圓的直徑ab所在直線為x軸 建立直角坐標(biāo)系如圖 則半圓的方程為x2 y2 16 y 0 將處 隧道的高度低于貨車的高度 因此貨車不能駛?cè)脒@個(gè)隧道 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 易錯(cuò)點(diǎn)一 對(duì)幾何關(guān)系把握不準(zhǔn)確致錯(cuò) 例5 已知圓c的半徑為2 且與y軸和直線4x 3y 0都相切 試求圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程 錯(cuò)解 由題意可設(shè)圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x a 2 y b 2 4 因?yàn)閳Ac與y軸相切 可知a 2 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 錯(cuò)因分析 圓c與y軸相切意味著 a 2 而不是a 2 正解 設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x a 2 y b 2 4 由題意可得 a 2即a 2 當(dāng)a 2時(shí) 由圓c與4x 3y 0相切 得 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 易錯(cuò)點(diǎn)二 對(duì)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程理解不深致錯(cuò) 例6 已知圓的方程是 3x 3 2 3y 4 2 9 則該圓的圓心坐標(biāo)為 半徑等于 錯(cuò)解 由圓的方程知圓心坐標(biāo)為 3 4 半徑r 3 錯(cuò)因分析 對(duì)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式理解不深刻 所給出的圓的方程中 x與y的系數(shù)不是1 故不是標(biāo)準(zhǔn)方程 因此所得結(jié)論錯(cuò)誤 1 2 3 4 5 1 圓c x a 2 y 1 2 3的圓心坐標(biāo)是 a a 1 b a 1 c a 1 d a 1 答案 b 1 2 3 4 5 2 以點(diǎn)a 5 4 為圓心 且與x軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 a x 5 2 y 4 2 16b x 5 2 y 4 2 16c x 5 2 y 4 2 25d x 5 2 y 4 2 25解析 因?yàn)閳A與x軸相切 所以r 4 故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x 5 2 y 4 2 16 答案 a 1 2 3 4 5 3 圓 x 2 2 y2 5關(guān)于原點(diǎn) 0 0 對(duì)稱的圓的方程為 a x 2 2 y2 5b x2 y 2 2 5c x 2 2 y 2 2 5d x2 y 2 2 5解析 求圓關(guān)于某點(diǎn)或直線的對(duì)稱圖形的方程 主要是求圓心關(guān)于點(diǎn)或直線的對(duì)稱點(diǎn) 求得圓心 2 0 關(guān)于 0 0 的對(duì)稱點(diǎn)為 2 0 則所求的圓的方程為 x 2 2 y2 5 答案 a 1 2 3 4 5 4 圓心在直線y x上且與x軸相切于點(diǎn)a