晶體學基礎2.doc

14晶體的對稱性我們知道，晶體是由原子或原子團在三維空間中規(guī)則地重復排列而成的固體。若對晶體實施某種操作，則會使晶體各原子的位置發(fā)生變化。人們定義，當操作使各原子的位置發(fā)生變換，若變換后的晶體狀態(tài)與變換前的狀態(tài)相同，則稱這個操作為對稱操作。對稱操作所依賴的幾何要素叫對稱元素。晶體的對稱性可分為宏觀對稱性和微觀對稱性。宏觀對稱性也就是布喇菲原胞的對稱性，它由宏觀對稱性（或稱點對稱操作）來描述；微觀對稱性指的是無限在晶體的空間對稱性，它由點對稱操作和平移對稱操作的組合來共同描述。下面我們來介紹點對稱操作。1. 4. 1 點對稱操作圖1-4-1 不可能使五邊形互相連接充滿充滿整個平面在一般的對稱操作中，空間有許多點在動，且操作前后狀態(tài)是一樣的，在對稱操作過程中保持空間至少有一個不動點的操作稱為點對稱操作。（1） n度旋轉對稱軸大家知道，一正方形繞中心且與成垂直的軸旋轉后，能夠自身重合，這種軸稱為旋轉軸。如果晶體繞某一旋轉軸旋轉后，仍能自身重合，則稱其為n度旋轉對稱軸。利用晶體周期性的限制，可以證明這里n值只能取1，2，3，4，6共5個整數(shù)，也就是說不具有5度或6度以上的旋轉對稱軸，如圖1-4-1所示，不難設想，如果晶體中有n=5的對稱軸，則垂直于軸的平面上格點的分布至少應是五邊形，但這些五邊形不可能相互拼接而充滿整個平面，從而不能保證晶格的周期性?，F(xiàn)在，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)一些固體具有5次旋轉對稱軸，這些具有5次或6次以上旋轉對稱軸，但又不具備周期性結構的固體稱為準晶體。（2） 中心反演中心反演作用于空間某一位置（x,y,z）后，使之變換為（-x,-y,-z），。常用i表示中心反演操作。如旋轉對稱軸的對稱元素是一條直線一樣，中心反演的對稱元素是一個點，中心反演又稱為對稱心。（3） n度旋轉反演軸晶體繞某一固定軸旋轉后，再經(jīng)過中心反演，晶體能自身重合，則稱該軸為n度旋轉反演軸，通常以來表示n度旋轉反演軸，當然這里n只能取1，2，3，4，6，即不能有5度或6度以上的旋轉反演軸。具有n度旋轉反演軸的晶體不一定具有n度旋轉軸和中心反演的對稱操作。如圖1-4-2分析，就是反演中心i；的對稱元素是垂直于轉軸的對稱面，通常又稱為鏡面操作，常以m或為表示；的對稱性與3度旋轉軸加上對稱心的總效果是一樣的，不是一種獨立的對稱操作；同樣不是一種獨立的對稱操作的是，其對稱性是由3度旋轉軸加上垂直于該軸的對稱面的總效果一樣；這里，是一種獨立的對稱操作，它不能由其他的操作組合得到。所以，晶體的點對稱操作中只有8種獨立的基本操作：1，2，3，4，6，i,m,。下面我們介紹一下立方體的對稱元素：它具有3個互相垂直的4度旋轉軸，4個3度軸（即體對角線），6個2度軸（即面對角線），3個與4度軸垂直的對稱面，6個與2度軸垂直的對稱面，以及1個對稱心。圖1-4-3中只給出了三種對稱軸。這些基本對稱操作的組合能構成32種點群，每一種點群對應于晶體的一種宏觀對稱性。1 平移對稱操作平移對稱操作分為兩類：一類是平移格矢的整數(shù)倍，這類操作與點對稱操作組合可構成73種點式空間群（或稱為簡單空間群）；另一類是平稱格矢的非整數(shù)倍，這類平移與旋轉和鏡像組合產(chǎn)生兩類新的操作，n度螺旋軸和滑移反映面。這兩種操作與點對稱操作組合將得到157種非點式空間群。平移操作和點對稱操作的組合共給出230種空間群。每種空間群唯一地對應一種晶體結構。自然界的晶體結構只能有230種。測定空間群，推斷原子的具體排列方式是晶體結構分析的主要內(nèi)容。圖1-4-3 立方體的旋轉軸 2度 3度 4度142晶系與布喇菲原胞abc圖1-4-4 基矢與基矢的夾角按照宏觀對稱性的不同，可對晶體的空間點陣進行適應分類。晶體的空間點陣又稱為布喇菲格子，可用既反映晶格周期性，又反映晶體對稱性的晶胞（或稱布喇菲原胞）來分析。這類晶胞不一定是體積最小的重復單元，一般結點不僅在頂點，而且可以在體心上以及面心上。而且晶胞的基矢一般沿對稱軸或?qū)ΨQ面的法向，構成晶體的坐標系。基矢的方向就是坐標軸的方向，稱為晶軸?；赋Ｓ胊,b,c來表示，基矢間的夾角為，即a與b間的夾角為，b與c之間的夾角為，而c與a之間的夾角為，如圖1-4-4所示。結晶學中把a, b, c滿足同一類要求的一種或數(shù)種布喇菲格子稱為一個晶系。根據(jù)描述晶胞的坐標系的性質(zhì)，空間點陣可分為七大晶系，即三斜，單斜，正交，正方（四角），立方，三角和六角晶系。每一類晶系又包括一種或數(shù)種特征性的布喇菲格子。七大晶系共有14種布喇菲格子。表1.2列出七大晶系的基本特征。圖1-4-5給出14種布喇菲格子的示意圖。表1.2 七個晶系的特征晶系特征對稱元素晶胞的特征三斜沒有對稱軸或只有一個反演軸單斜一個2度軸而無高度軸正交三個互相垂直的2度軸三方一個3度軸四方一個4度軸六方一個6度軸立方四個3度軸圖1-4-5 14種布拉伐格子示意圖(1)簡單三斜(2)簡單單斜(3)底心三斜(4) 簡單正交(5)底心正交,(6)體心正交(7)面心正交(8)六角(9)三角(10)簡單四方(11)體心四方(12)簡單立方(13)本心立方(14)面心立方15倒易點陣151倒格子基矢定義晶體的幾何結構形成一空間點陣，空間點陣由3個初基原胞的基矢a1,a2,a3來描述。由這套基矢可以定義出3個新矢量： （1-5-1）式（1-5-1）稱為倒易點陣（或倒格子）的基矢，其中，是晶體原胞的體積。固體物理學中把由a1,a2,a33個基矢描述的空間點陣稱為正點陣（或正格子），而由基矢b1,b2,b3描述的空間點陣稱為倒易點陣（或倒格子）。每個正格子都有一個倒格子與之相對應，正格子的量綱為長度，倒格子的量綱為長度-1，與波矢的量綱相同。倒格子空間實