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材 料 力 學(xué) 講 義第31講 教學(xué)方案 能量法（） 基本內(nèi)容1. 圖乘法。 教學(xué)目的1. 掌握單位載荷法與圖乘法之間的關(guān)系 。 2. 掌握?qǐng)D乘法的基本原理與推導(dǎo)過(guò)程。 3. 掌握?qǐng)D乘法的應(yīng)用條件。4. 能夠熟練地應(yīng)用圖乘法計(jì)算指定截面的位移。5 了解并掌握?qǐng)D乘法的計(jì)算與應(yīng)用技巧 。重點(diǎn)、難點(diǎn)1. 重點(diǎn)掌握單位載荷法與圖乘法之間的關(guān)系 。 2. 重點(diǎn)掌握?qǐng)D乘法的基本原理與應(yīng)用條件。 3. 要求熟練掌握?qǐng)D乘法的計(jì)算方法與計(jì)算技巧。4. 難點(diǎn)是如何正確理解虛功原理。5 在解決問(wèn)題時(shí)，有時(shí)圖乘法非常簡(jiǎn)單，有時(shí)卻很麻煩。教學(xué)安排本次教學(xué)計(jì)劃學(xué)時(shí)：2學(xué)時(shí)。課堂討論：1. 單位載荷法與莫爾積分之間的關(guān)系。2. 虛位移與虛功的基本概念。 3. 如何理解莫爾積分的另一種推導(dǎo)方法。4莫爾積分與圖乘法的應(yīng)用條件有什么區(qū)別？12- 單位載荷法莫爾積分單位載荷法：用于求結(jié)構(gòu)上某一點(diǎn)某方向上位移的方法。如要求圖11-18剛架A點(diǎn)a-a方向的位移，可將該系統(tǒng)（圖11-18a）真實(shí)位移作為虛位移，而將單位力（廣義力）作用于同一結(jié)構(gòu)上A點(diǎn)a-a方向的結(jié)構(gòu)作為一個(gè)平衡力系（圖11-18b）,則應(yīng)用虛功原理有： （11-23）其中，是單位力系統(tǒng)的內(nèi)力，而d(l)，d、d是原系統(tǒng)的變形，現(xiàn)在被看作是虛變形；是原系統(tǒng)上A點(diǎn)沿a-a方向的真實(shí)位移。對(duì)于以拉壓桿件，則只保留（11-23）式的第一項(xiàng)： （11-24）若桿的內(nèi)力=常數(shù)，則上式改為：對(duì)于有n根桿組成的桁架，則有： （11-25）對(duì)于桿以彎曲為主，則可忽略軸力與剪力的影響，有： （11-26）仿照上述推導(dǎo)，如要求受扭桿某一截面的扭轉(zhuǎn)角，則以單位扭矩作用于該截面，并引起扭矩，以原結(jié)構(gòu)引起微段兩端截面相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為虛位移，則： （11-27）以上諸式中。如求出的為正，則表示原結(jié)構(gòu)位移與所加單位力方向一致。若結(jié)構(gòu)材料是線(xiàn)彈性的，則有：則式（11-25）、（11-26）、（11-27）分別化為 （11-28） （11-29） （11-30）這些式子統(tǒng)稱(chēng)為莫爾定理,式中積分稱(chēng)為莫爾積分，顯然只適用于線(xiàn)彈性結(jié)構(gòu)。當(dāng)需要求兩點(diǎn)的相對(duì)位移時(shí)，如圖11-19a所示截面A與B的相對(duì)位移A+B，則只要在A，B兩點(diǎn)的聯(lián)線(xiàn)方向上加一對(duì)方向相反的單位力（圖11-19b），然后用單位載荷法計(jì)算，即可求得相對(duì)位移，因?yàn)檫@時(shí)的，即是A，B兩點(diǎn)的相對(duì)位移。同理，如需要求兩截面相對(duì)轉(zhuǎn)角，只要在兩截面上加方向相反的一對(duì)單位力偶矩即可。莫爾積分還可用另一方法導(dǎo)出：如欲求梁上C點(diǎn)在載荷P1，P2，作用下的位移（圖11-20a），可在C點(diǎn)假想先只有單位力P0=1作用（圖11-20b），由應(yīng)變能公式（11-12）（對(duì)線(xiàn)彈性材料）得P0作用的應(yīng)變能： （11-31）此后將P1，P2，作用于梁（圖11-20c），由于P1，P2，作用的變形能為。這時(shí)，梁的總變形能為：其中是因?yàn)橐炎饔迷诹荷系膯挝涣υ赑1，P2，作用后引起的位移上所做的功。如果將P1，P2，與P0=1共同作用（圖11-20c），則梁內(nèi)彎矩為，此時(shí)應(yīng)變能為：此兩最后狀態(tài)的應(yīng)變能相等，故有：比較以上諸式，不難得到： （11-32）此即（11-28）。例題11-8 圖11-21簡(jiǎn)單桁架，兩桿截面積為A，材料應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為：。試求結(jié)點(diǎn)B的垂直位移V。解：由結(jié)點(diǎn)B的平衡條件可解得BD桿的應(yīng)力 、應(yīng)變 及伸長(zhǎng) 分別為：,同樣可求得BE桿的應(yīng)力，應(yīng)變 及伸長(zhǎng) 分別為：,設(shè)B點(diǎn)作用有單位力，則與單位力相應(yīng)的BD、BE內(nèi)的軸力分別為：，由單位載荷法莫爾積分，得B點(diǎn)的垂直位移為：若材料是線(xiàn)彈性的，彈性模量為E，則有：,而單位載荷引起的內(nèi)力不變，故得：。12-4 圖形互乘法莫爾積分（11-28）中的EI（或GI）為常量，可提到積分號(hào)外，只需計(jì)算積分：,如有一個(gè)是x的線(xiàn)性函數(shù)，即可采用圖乘法簡(jiǎn)化積分計(jì)算。圖11-22表示直桿AB的圖與圖，其中可用直線(xiàn)式表達(dá)：則莫爾積分可寫(xiě)成：右邊積分中，M(x)dx為微面積，整個(gè)積分為M(x)所圍面積對(duì)y軸的靜矩，若xc為M(x)面積的形心到y(tǒng)軸的距離，則：于是： （11-33）其中是圖中與圖的形心C所對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)，故（11-32）可寫(xiě)成 （11-34）這就是計(jì)算莫爾積分的圖乘法。常用的幾種圖形的面積及形心位置計(jì)算公式見(jiàn)圖11-23。使用（11-34）時(shí)，為了計(jì)算方便，可將彎矩分解成幾部分，對(duì)每一部分使用如圖11-23的標(biāo)準(zhǔn)圖形疊加求和。有時(shí)M(x)為連續(xù)光滑曲線(xiàn)，而圖為折線(xiàn)，則應(yīng)以折線(xiàn)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)為界，將積分分成幾段，逐段使用圖乘法，然后求和。例題11-9 均布載荷作用下簡(jiǎn)支梁如圖11-24，EI為已知常量，試求跨度中點(diǎn)C的撓度f(wàn)c。解：簡(jiǎn)支梁受均布載荷作用彎矩圖為二次拋物線(xiàn)（圖b），求中點(diǎn)